2023年中考数学一轮复习满分突破专题05 二次根式-【题型方法解密】

【热考题型】

【知识要点】

知识点一 二次根式相关概念和性质 二次根式的概念：一般地，我们把形如【注意】1）二次根式

2）二次根式

（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号。

中，被开方数a可以是具体的数或代数式。 中a是一个非负数。

有意义。

二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，考查题型一 二次根式有意义的条件

题型1．（2022·贵州贵阳·中考真题）若式子√x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A．x≥3

B．x≤3

C．x＞3

1√𝑥+1D．x＜3

题型1-1．（2022·广东广州·中考真题）代数式A．𝑥≠−1

B．𝑥>−1

有意义时，𝑥应满足的条件为（ ）

D．𝑥≤-1

C．𝑥<−1

题型1-2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子√𝑥+1+𝑥−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A．𝑥>−1

B．𝑥⩾−1

C．𝑥⩾−1且𝑥≠0

D．𝑥⩽−1且𝑥≠0

题型1-3．（2022·四川雅安·中考真题）使√𝑥−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）

A． B．

C． D．

𝑥√𝑥+3

+1𝑥−1

题型1-4．（2022·湖北黄石·中考真题）函数𝑦=A．𝑥≠−3且𝑥≠1

B．𝑥>−3且𝑥≠1

的自变量x的取值范围是（ ）

D．𝑥≥−3且𝑥≠1

1

C．𝑥>−3

题型1-5．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=√𝑥−2＋√2−𝑥＋，则√𝑥⋅√𝑦的8值是______． 易错点总结：

二次根式的性质：1）

a，（a0）2 2）aa0，（a0），即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。

a，（a0）【扩展】

与

的区别于联系

区别：

联系：1）两者都需要进行平方和开方。2）两者的结果都是非负数。3）当a≧0时，

知识点二 二次根式的估值

一般步骤：1）先对二次根式进行平方，如(√6)=6；

2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<6<9； 3）对这两个完全平方数开方，如42，93；

2

4）这个二次根式的值在这两个相邻整数之间，如

考查题型二 二次根式的性质与化简

题型2．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（ ） A．√4+9=2+3

B．√4×9=2×3

C．√94=√32

。

D．√4.9=0.7

题型2-1．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式𝑣=√2𝑎𝑠进行计算，其中𝑎为子弹的加速度，𝑠为枪筒的长．如果𝑎=5×105m/s2，𝑠=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ） A．0.4×102m/s C．4×102 m⁄s

B．0.8×102m/s D．8×102m/s

题型2-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则√𝑎2+1+|𝑎−1|的化简结果是（ ）

A．1

B．2

C．2a

D．1﹣2a

题型2-3．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：√6+3=3，√6+√6+3=3，√6+√6+√6+3=

3，…，√6+√6+√6+⋯+√6+√6+3=3，一般地，对于正整数𝑎，𝑏，如果满足

⏟

𝑛个根号

√𝑏+√𝑏+√𝑏+⋯+√𝑏+√𝑏+𝑎=𝑎时，称(𝑎,𝑏)为一组完美方根数对．如上面(3,6)是一组完美方根数⏟

𝑛个根号

对．则下面4个结论：①(4,12)是完美方根数对；②(9,91)是完美方根数对；③若(𝑎,380)是完美方根数对，则𝑎=20；④若(𝑥,𝑦)是完美方根数对，则点𝑃(𝑥,𝑦)在抛物线𝑦=𝑥2−𝑥上．其中正确的结论有（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

题型2-4．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|𝑎+1|−√(𝑏−1)2+√(𝑎−𝑏)2=______．

题型2-5．（2022·四川南充·中考真题）若√8−𝑥为整数，x为正整数，则x的值是_______________．

题型2-6．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为𝑆=√[𝑐2𝑎2−(4

1

𝑐2+𝑎2−𝑏222

)]．现有周长为18的三角形的三边满足𝑎:𝑏:𝑐=4:3:2，则用以上给出的公式求得这

个三角形的面积为______． 易错点总结：

知识点三 二次根式的运算

二次根式的乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 即：【注意】 1）要注意

这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。

2）多个二次根式相乘，乘法法则依然成立，表示为：3）乘法交换律在二次根式中仍然适用。 4）逆用公式：

化简二次根式的步骤（易错点）： 1）把被开方数分解因式(或因数) ；

2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积； 3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式式化简。

把这个因式(或因数)开出来，将二次根

二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即aa（a≥0，b＞0）。

bb【注意】1）要注意

2）逆用公式：

考查题型三 二次根式的乘除

这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。

。

题型3．（2022·广西柳州·中考真题）计算：√2×√3=______．

题型3-1．（2022·天津·中考真题）计算(√19+1)(√19−1)的结果等于___________． 题型3-2．（2022·山西·中考真题）计算√18×√2的结果是________． 题型3-3．（2022·浙江湖州·中考真题）计算：(√6)+2×(−3)．

易错点总结：

最简二次根式的特点：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例：

、

、 不是 二次根式（易错）。

21

2a2分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。 【分母有理化方法】

aa 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。即：1aaa•a2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。 即：

1abab；

aba-b(ab)(ab)练：尝试写出的有理化因式_______________

考查题型四 最简二次根式

题型4．（2022·广西桂林·中考真题）化简√12的结果是（ ） A．2√3 B．3

C．2√2 D．2

题型4-1．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（ ） A．√2

1

B．√3

45

1

C．√4

1

D．√5 1

题型4-2．（2021·湖南益阳·中考真题）将√2化为最简二次根式，其结果是（ ） A．

√45 2

B．

√90 2

C．

9√102

D．

3√10 2

题型4-3．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A．√9

1

B．√4

C．√𝑎2

D．√𝑎+𝑏 题型4-4．（2022·广西·中考真题）化简：（1）√8=_____． 易错点总结：

同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

同类二次根式合并的方法：将系数相加减，被开方数和二次根式部分不变。

二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，不能合并的直接抄下来。 【口诀】一化、二找、三合并。 二次根式比较大小：1）若

2）若

，则有，则有

；

；

3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。

二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再算乘方（开方），再算乘除，最后再算加减。 【注意】运算结果含根号的必须为最简二次根式。 考查题型五 二次根式的加减

题型5．（2022·四川泸州·中考真题）与2+√15最接近的整数是（ ） A．4

B．5

C．6

D．7

题型5-1．（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（ ） A．√2+√3=√5 B．4√3−3√3=1

C．√2×√3=√6 D．√12÷2=√6

题型5-2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．

题型5-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设𝑥1与𝑥2为一元二次方程𝑥2+3𝑥+2=0的两根，则(𝑥1−𝑥2)2

21

的值为________．

题型5-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算√3+3√3的结果是___________． 易错点总结：

1

考查题型六 二次根式的混合运算

题型6．（2022·重庆·中考真题）估计√3×(2√3+√5)的值应在（ ） A．10和11之间

B．9和10之间

C．8和9之间

1

D．7和8之间

题型6-1．（2022·山东青岛·中考真题）计算(√27−√12)×√3的结果是（ ） A．3 √3B．1 C．√5

15

D．3

题型6-2．（2022·贵州安顺·中考真题）估计(2√5+5√2)×√的值应在（ ） A．4和5之间

B．5和6之间

C．6和7之间

D．7和8之间

题型6-3．（2022·贵州毕节·中考真题）计算√8+|−2|×cos45°的结果，正确的是（ ） A．√2

B．3√2 C．2√2+√3

D．2√2+2

（2022·湖北荆州·中考真题）若3−√2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式√2√2√2题型6-4．

(2+√2𝑎)⋅𝑏的值是______．

题型6-5．（2022·山东泰安·中考真题）计算：√8⋅√6−3√3=__________． 题型6-6．（2022·辽宁朝阳·中考真题）计算：√63÷√7−|−4|＝_____． 题型6-7．（2022·四川达州·中考真题）人们把的“0.618法”就应用了黄金比．设𝑎=

1001+𝑎100

100

√5−1，𝑏2

√5−12

4

≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中

=

11+𝑎

=

√5+1，记𝑆12

+

11+𝑏

，𝑆2=

21+𝑎

2+

21+𝑏2，…，𝑆100=

+1+𝑏100，则𝑆1+𝑆2+⋯+𝑆100=_______．

题型6-8．（2022·江苏泰州·中考真题）计算: (1)计算：√18−√3×√；

32

(2)按要求填空：

小王计算𝑥2−4−𝑥+2的过程如下： 解：𝑥2−4−𝑥+2

=

2𝑥1

−−−−−−−−第一步

(𝑥+2)(𝑥−2)𝑥+2

2𝑥𝑥−2

=−−−第二步(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+2)(𝑥−2)2𝑥

12𝑥

1

2𝑥−𝑥−2

−−−−−−−−−−−第三步

(𝑥+2)(𝑥−2)𝑥−2

=−−−−−−−−−−−第四步 (𝑥+2)(𝑥−2)𝑥−2=−−−−−−−−−−−−−−−−第五步𝑥+2=

小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .

易错点总结：

专题05 二次根式

【热考题型】

【知识要点】

知识点一 二次根式相关概念和性质 二次根式的概念：一般地，我们把形如【注意】1）二次根式

2）二次根式

（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号。

中，被开方数a可以是具体的数或代数式。 中a是一个非负数。

有意义。

二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，考查题型一 二次根式有意义的条件

题型1．（2022·贵州贵阳·中考真题）若式子√x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A．x≥3

B．x≤3

C．x＞3

D．x＜3

【详解】解：由题意得𝑥−3≥0．解得x≥3，故选：A． 题型1-1．（2022·广东广州·中考真题）代数式A．𝑥≠−1

B．𝑥>−1

1√𝑥+1有意义时，𝑥应满足的条件为（ ）

D．𝑥≤-1

C．𝑥<−1

【详解】解：由题意可知：𝑥+1>0，∴𝑥>−1，故选：B． 题型1-2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子√𝑥+1+𝑥−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A．𝑥>−1

B．𝑥⩾−1

C．𝑥⩾−1且𝑥≠0

D．𝑥⩽−1且𝑥≠0

【详解】解：由题意得：x+1≥0且x≠0，∴x≥-1且x≠0，故选： C．

题型1-3．（2022·四川雅安·中考真题）使√𝑥−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）

A． B．

C． D．

【详解】解：由题意知，𝑥−2≥0，解得𝑥≥2，∴解集在数轴上表示如图，

故选B．

题型1-4．（2022·湖北黄石·中考真题）函数𝑦=A．𝑥≠−3且𝑥≠1

B．𝑥>−3且𝑥≠1

𝑥√𝑥+3+1

𝑥−1

的自变量x的取值范围是（ ）

D．𝑥≥−3且𝑥≠1

C．𝑥>−3

𝑥+3>0 【详解】解：依题意，{∴𝑥>−3且𝑥≠1故选B

𝑥−1≠0

题型1-5．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=√𝑥−2＋√2−𝑥＋8，则√𝑥⋅√𝑦的值是______．

𝑥−2≥0 【详解】解：∵由二次根式的定义得{，解得：x=2， 2−x≥0∴𝑦=0+0+8，即：𝑦=8， ∴√𝑥⋅√𝑦=√2×√=√2×=√=. 88421111111

二次根式的性质：1）

a，（a0）2 2）aa0，（a0），即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。

a，（a0）【扩展】

与

的区别于联系

区别：

联系：1）两者都需要进行平方和开方。2）两者的结果都是非负数。3）当a≧0时，

知识点二 二次根式的估值

一般步骤：1）先对二次根式进行平方，如(√𝟔)=𝟔；

𝟐

2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<6<9； 3）对这两个完全平方数开方，如42，93； 4）这个二次根式的值在这两个相邻整数之间，如

考查题型二 二次根式的性质与化简

题型2．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（ ） A．√4+9=2+3

B．√4×9=2×3

C．√94=√32 D．√4.9=0.7

。

【详解】解：A.√4+9=√13≠2+3，故错误；B.√4×9=2×3，故正确；C.√94=√38≠√32，故错误；D.√4.9≠0.7，故错误；故选：B． 题型2-1．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式𝑣=√2𝑎𝑠进行计算，其中𝑎为子弹的加速度，𝑠为枪筒的长．如果𝑎=5×105m/s2，𝑠=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ） A．0.4×102m/s C．4×102 m⁄s

B．0.8×102m/s D．8×102m/s

【详解】解：𝑣=√2𝑎𝑠=√2×5×105×0.64=8×102(m⁄s)，故选：D． 题型2-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则√𝑎2+1+|𝑎−1|的化简结果是（ ）

A．1

B．2

C．2a

D．1﹣2a

【详解】解∶∵根据数轴得∶ 00， a-1<0， ∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1- a=2．故选∶B． 题型2-3．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：√6+3=3，√6+√6+3=3，√6+√6+√6+3=

3，…，√6+√6+√6+⋯+√6+√6+3=3，一般地，对于正整数𝑎，𝑏，如果满足

⏟

𝑛个根号

√𝑏+√𝑏+√𝑏+⋯+√𝑏+√𝑏+𝑎=𝑎时，称(𝑎,𝑏)为一组完美方根数对．如上面(3,6)是一组完美方根数⏟

𝑛个根号

对．则下面4个结论：①(4,12)是完美方根数对；②(9,91)是完美方根数对；③若(𝑎,380)是完美方根数对，则𝑎=20；④若(𝑥,𝑦)是完美方根数对，则点𝑃(𝑥,𝑦)在抛物线𝑦=𝑥2−𝑥上．其中正确的结论有（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【详解】解：∵√12+4=4，∴ (4,12)是完美方根数对；故①正确； ∵ √91+9=10 ≠9∴ (9,91)不是完美方根数对；故②不正确； 若(𝑎,380)是完美方根数对，则√380+𝑎=𝑎即𝑎2=380+𝑎解得𝑎=20或𝑎=−19 ∵𝑎是正整数，则𝑎=20 故③正确； 若(𝑥,𝑦)是完美方根数对，则√𝑦+𝑥=𝑥∴𝑦+𝑥=𝑥2,即𝑦=𝑥2−𝑥故④正确故选C 题型2-4．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|𝑎+1|−√(𝑏−1)2+√(𝑎−𝑏)2=______．

【详解】解：由数轴可得：−1<𝑎<0，1<𝑏<2， 则𝑎+1>0,𝑏−1>0,𝑎−𝑏<0 ∴|𝑎+1|−√(𝑏−1)2+√(𝑎−𝑏)2 =|𝑎+1|−|𝑏−1|+|𝑎−𝑏| =𝑎+1−(𝑏−1)−(𝑎−𝑏) =𝑎+1−𝑏+1−𝑎+𝑏 =2．

题型2-5．（2022·四川南充·中考真题）若√8−𝑥为整数，x为正整数，则x的值是_______________． 【详解】解：∵8−𝑥≥0∴𝑥≤8 ∵𝑥为正整数∴𝑥可以为1、2、3、4、5、6、7、8 ∵√8−𝑥为整数∴𝑥为4或7或8 题型2-6．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为𝑆=√

14

[𝑐2𝑎2−(

𝑐2+𝑎2−𝑏222

)]．现有周长为18的三角形的三边满足𝑎:𝑏:𝑐=4:3:2，则用以上给出的公式求得这

个三角形的面积为______．

【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足𝑎:𝑏:𝑐=4:3:2，设𝑎=4𝑘,𝑏=3𝑘,𝑐=2𝑘 ∴4𝑘+3𝑘+2𝑘=18解得𝑘=2 ∴ 𝑎=8,𝑏=6,𝑐=4 ∴ 𝑆=√14[𝑐2𝑎2−(𝑐2+𝑎2−𝑏222)]=√41[42×82−(42+82−6222)]=√4(1024−484)=√135= 3√15 故答案1为：3√15 知识点三 二次根式的运算 二次根式的乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 即：

【注意】 1）要注意

这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。

2）多个二次根式相乘，乘法法则依然成立，表示为：3）乘法交换律在二次根式中仍然适用。 4）逆用公式：

化简二次根式的步骤（易错点）： 1）把被开方数分解因式(或因数) ；

2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积； 3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式式化简。

把这个因式(或因数)开出来，将二次根

二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即aa（a≥0，b＞0）。

bb【注意】1）要注意

2）逆用公式：

考查题型三 二次根式的乘除

这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。

。

题型3．（2022·广西柳州·中考真题）计算：√2×√3=______． 【详解】解：√2×√3=√6；故答案为√6． 题型3-1．（2022·天津·中考真题）计算(√19+1)(√19−1)的结果等于___________． 【详解】解：(√19+1)(√19−1)=(√19)2−12=19−1=18， 题型3-2．（2022·山西·中考真题）计算√18×√的结果是________．

21【详解】解：原式＝√18×2＝√9＝3． 题型3-3．（2022·浙江湖州·中考真题）计算：(√6)+2×(−3)． (√6)+2×(−3)【详解】=6+(−6) =6−6=0最简二次根式的特点：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 例：

、

、2212a2 不是 二次根式（易错）。

分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。 【分母有理化方法】

aa 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。即：1aaa•a2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。 即：

1abab；

aba-b(ab)(ab)练：尝试写出的有理化因式_______________

考查题型四 最简二次根式

题型4．（2022·广西桂林·中考真题）化简√12的结果是（ ） A．2√3 B．3

C．2√2 D．2

【详解】解：√12=√4×3=√22×3＝2√3，故选：A． 题型4-1．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（ ） A．√

21

B．√

3

1

C．√

4

1

D．√ 5

1

【详解】解： A、√2=B、√3=14111√2√是无理数 ∵2是无理数，故√221√3√是无理数 ∵3是无理数，故√3312C、√=为有理数 D、√=511√5∵√5是无理数，故√是无理数 55故选：C 题型4-2．（2021·湖南益阳·中考真题）将√化为最简二次根式，其结果是（ ）

245A．

√45 2

B．

2×2√90 2

C．

9√102

D．

3√10 2

【详解】解：原式=√9×5×2，=3√10，故选：D． 2题型4-3．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A．√9

191

B．√4

C．√𝑎2

D．√𝑎+𝑏 【详解】A、√被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、√4=2是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、√𝑎2=|𝑎|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确． 故选：D． 题型4-4．（2022·广西·中考真题）化简：（1）√8=_____． 【详解】解：√8=√4×2=√4×√2=2√2． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

同类二次根式合并的方法：将系数相加减，被开方数和二次根式部分不变。

二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，不能合并的直接抄下来。 【口诀】一化、二找、三合并。 二次根式比较大小：1）若

2）若

，则有，则有

；

；

3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。

二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再算乘方（开方），再算乘除，最后再算加减。 【注意】运算结果含根号的必须为最简二次根式。 考查题型五 二次根式的加减

题型5．（2022·四川泸州·中考真题）与2+√15最接近的整数是（ ） A．4

B．5

C．6

D．7

【详解】解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜√15＜4，∴5.5＜2+√15＜6，∴最接近的整数是6，故选：C． 题型5-1．（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（ ） A．√2+√3=√5 B．4√3−3√3=1

C．√2×√3=√6 D．√12÷2=√6

【详解】解：A、√2+√3≠√5原计算错误，该选项不符合题意； B、4√3−3√3=√3原计算错误，该选项不符合题意； C、√2×√3=√6正确，该选项符合题意； D、√12÷2=2√3÷2=√3原计算错误，该选项不符合题意；故选：C． 题型5-2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．

【详解】解：由题意可得：𝐷𝐸=1,𝐷𝐶=15−12=3, ∵∠𝐴=60°,∠𝐴𝐵𝐶=90°, ∴𝐴𝐵=tan60°=𝐵𝐶3√3=√3, 同理：𝐴𝐷=𝐷𝐸tan60°=1√3=√3, 3√33 2√33∴𝐵𝐷=𝐴𝐵−𝐴𝐷=√3−故答案为：2√3 3=, 题型5-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设𝑥1与𝑥2为一元二次方程𝑥2+3𝑥+2=0的两根，则(𝑥1−𝑥2)22

1的值为________．

【详解】解：∵2𝑥2+3𝑥+2=0 △=9-4=5＞0， ∴𝑥1=−3+√5，𝑥2=−3−√5， ∴(𝑥1−𝑥2)2=(−3+√5+3+√5)=(2√5)=20， 故答案为：20； 题型5-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算√3+3√的结果是___________．

31221【详解】解：√3+3√3=√3+√3 =2√3，故答案为：2√3． 考查题型六 二次根式的混合运算 题型6．（2022·重庆·中考真题）估计√3×(2√3+√5)的值应在（ ） A．10和11之间

B．9和10之间

C．8和9之间

D．7和8之间

1【详解】 √3×(2√3+√5)=6+√15， ∵√9＜√15＜√16，∴3＜√15＜4，∴9＜6+√15＜10，故选：B． 题型6-1．（2022·山东青岛·中考真题）计算(√27−√12)×√3的结果是（ ） A．3 √31B．1

1C．√5 D．3

【详解】解：(√27−√12)×√3=√9−√4=3−2=1 故选：B． 题型6-2．（2022·贵州安顺·中考真题）估计(2√5+5√2)×√5的值应在（ ） A．4和5之间

B．5和6之间

111C．6和7之间 D．7和8之间

【详解】解：原式=2√5×√+5√2×√＝2+√10， 55∵3<√10<4，∴5<2+√10<6，故选B． 题型6-3．（2022·贵州毕节·中考真题）计算√8+|−2|×cos45°的结果，正确的是（ ） A．√2

B．3√2 C．2√2+√3

D．2√2+2

【详解】解：8+|−2|×cos45°＝22+2×22＝2√2+√2＝3√2．故选：B 题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）若3−√2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(2+√2𝑎)⋅𝑏的值是______．

【详解】解：∵ 1<√2<2， ∴1<3−√2<2， ∵ 3−√2的整数部分为a，小数部分为b， ∴𝑎=1，𝑏=3−√2−1=2−√2． ∴(2+√2𝑎)⋅𝑏=(2+√2)×(2−√2)=4−2=2， 故答案为：2． 题型6-5．（2022·山东泰安·中考真题）计算：√8⋅√6−3√=__________．

34【详解】解：√8⋅√6−3√3=√48−3×42√33=4√3−2√3=2√3， 题型6-6．（2022·辽宁朝阳·中考真题）计算：√63÷√7−|−4|＝_____． 【详解】解：√63÷√7−|−4|=√9−4 =3−4=-1 题型6-7．（2022·四川达州·中考真题）人们把的“0.618法”就应用了黄金比．设𝑎=

100

100

√5−1，𝑏2

√5−12

≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中=1+𝑎+1+𝑏，𝑆2=1+𝑎2+1+𝑏2，…，𝑆100=

1

1

2

2

=

√5+1，记𝑆12

+1+𝑏100，则𝑆1+𝑆2+⋯+𝑆100=_______． 1+𝑎100【详解】解：∵ 𝑎=∵𝑆1=11+𝑎2√5−1，𝑏22+𝑎+𝑏1+𝑎+𝑏+𝑎𝑏==√5+1，∴22+𝑎+𝑏2+𝑎+𝑏𝑎𝑏=√5−1√5+1×22=1， +11+𝑏2==1， 2+𝑎2+𝑏2𝑆2=1+𝑎2+1+𝑏2=2×1+𝑎2+𝑏2+𝑎2𝑏2=2×2+𝑎2+𝑏2=2， …， 𝑆1001001001+𝑎100+1+𝑏100=+=100×=100 1+𝑎1001+𝑏1001+𝑎100+𝑏100+𝑎100𝑏1002+𝑎2+𝑏2∴ 𝑆1+𝑆2+⋯+𝑆100= 1+2+⋯…+100=5050 故答案为：5050 题型6-8．（2022·江苏泰州·中考真题）计算: (1)计算：√18−√3×√3； (2)按要求填空：

小王计算𝑥2−4−𝑥+2的过程如下： 解：𝑥2−4−𝑥+2

=

2𝑥1

−−−−−−−−第一步

(𝑥+2)(𝑥−2)𝑥+2

2𝑥𝑥−2

=−−−第二步(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+2)(𝑥−2)2𝑥

12𝑥

1

2

2𝑥−𝑥−2

−−−−−−−−−−−第三步

(𝑥+2)(𝑥−2)𝑥−2=−−−−−−−−−−−第四步 (𝑥+2)(𝑥−2)𝑥−2=−−−−−−−−−−−−−−−−第五步𝑥+2=

小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 . 【答案】(1)2√2 （1）解：原式=3√2−√3×（2）解：由题意可知： 2𝑥12𝑥1−=−−−−−−−−第一步𝑥2−4𝑥+2(𝑥+2)(𝑥−2)𝑥+22𝑥𝑥−2=−−−第二步(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+2)(𝑥−2)2𝑥−𝑥+2 =−−−−−−−−−−−第三步(𝑥+2)(𝑥−2)𝑥+2=−−−−−−−−−−−第四步(𝑥+2)(𝑥−2)1=−−−−−−−−−−−−−−−−第五步𝑥−2故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为𝑥−2. 故答案为：因式分解，第三步和第五步， 1𝑥−21√63=3√2−3√23=2√2；