灵寿县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（ ） A．1

B．

C．

D．2

的定义域为（ ）

B．

C．

2． 函数A．

D．（，1）

3． 数列{an}满足a1=3，an﹣an•an+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2016的值为（ ） A．﹣ B．

C．﹣1 D．1

4． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A． 2 B．4 C．

48 D． 33

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.

5． 若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（ ） A．（﹣∞，）

B．（﹣，+∞）

C．（0，+∞）

D．（﹣∞，﹣）

6． 抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（ ） A．

B．

C．

D．3

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7． 已知向量=（1，A．1

B．

），=（

C．

，x）共线，则实数x的值为（ ） tan35°

D．tan35°

8． 四面体ABCD 中,截面 PQMN是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）

A．ACBD B．ACBD

C.ACPQMN D．异面直线PM与BD所成的角为45 9． 设函数F（x）=

是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）对于x

∈R恒成立，则（ ） A．f（2）＞e2f（0），f C．f（2）＞e2f（0），f

B．f（2）＜e2f（0），f D．f（2）＜e2f（0），f

＜1，则￢p是（ ）

＜1

B．对任意x≤0，都有2x＜1

10．已知命题p：存在x0＞0，使2A．对任意x＞0，都有2x≥1 C．存在x0＞0，使2

≥1 D．存在x0≤0，使2

11．如图，程序框图的运算结果为（ ）

A．6 B．24 C．20 D．120

12．设集合A{x|1x2}，B{x|xa}，若AB，则的取值范围是（ ） A．{a|a2} B．{a|a1} C．{a|a1} D．{a|a2}

二、填空题

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13．从等边三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+的最小值为 ．

，则这两个正方形的面积之和

14．数列{ an}中，a1＝2，an＋1＝an＋c（c为常数），{an}的前10项和为S10＝200，则c＝________． 15．直线x2yt0与抛物线y216x交于A，B两点，且与x轴负半轴相交，若O为坐标原点，则

OAB面积的最大值为 . 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.

16．设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|，则

17．已知f（x）＝x（ex＋ae－x）为偶函数，则a＝________．

18．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．

= ．

的直线与抛物线C

三、解答题

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点． （1）证明：EF∥平面PAC； （2）证明：AF⊥EF．

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20．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=﹣1． （1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数； （2）求函数f（x）的解析式．

21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA﹣sinC（cosB+（1）求角C的大小； （2）若c=2，且△ABC的面积为

22．（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn3an3，（nN）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn，求a，b的值．

sinB）=0．

4n1，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn. an【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前n项和.重点突出对运算及化归能力的考查，属于中档难度.

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23．设函数f（x）=lg（ax﹣bx），且f（1）=lg2，f（2）=lg12 （1）求a，b的值．

（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值．

xx

（3）m为何值时，函数g（x）=a的图象与h（x）=b﹣m的图象恒有两个交点．

24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc． （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）如果cosB=

，b=2，求a的值．

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灵寿县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点， 可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1． 故选：A．

【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查．

2． 【答案】C 【解析】解：要使原函数有意义，则log2（4x﹣1）＞0， 即4x﹣1＞1，得x∴函数故选：C．

．

的定义域为

．

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．

3． 【答案】D

【解析】解：∵a1=3，an﹣an•an+1=1， ∴…

∴数列{an}是以3为周期的周期数列，且a1a2a3=﹣1， ∵2016=3×672，

672

∴A2016 =（﹣1）=1．

，得，，a4=3，

故选：D．

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4． 【答案】B

5． 【答案】D

2

【解析】解：当x∈（0，）时，2x+x∈（0，1），

∴0＜a＜1，

22

∵函数f（x）=loga（2x+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=logat和t=2x+x复合而成，

0＜a＜1时，f（x）=logat在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间． t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣）， ∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣）， 故选：D． 大于0条件．

6． 【答案】A 【解析】解：由

2

，得3x﹣4x+8=0．

【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数

2

△=（﹣4）﹣4×3×8=﹣80＜0．

2

所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x无交点．

设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0

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联立，得3x﹣4x﹣m=0．

2

2

由△=（﹣4）﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，

得m=﹣．

2

所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x相切的直线方程为4x+3y﹣=0．

所以抛物线y=﹣x上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是

2=．

故选：A． 中档题．

7． 【答案】B

），=（

=

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是

【解析】解：∵向量=（1，∴x=故选：B．

=

，x）共线， =

，

【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础题．

8． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为截面PQMN是正方形，所以PQ//MN,QM//PN，则PQ//平面ACD,QM//平面BDA，所以PQ//AC,QM//BD,由PQQM可得ACBD，所以A正确；由于PQ//AC可得AC//截面

PQMN，所以C正确；因为PNPQ，所以ACBD，由BD//PN，所以MPN是异面直线PM与BDPNANMNDN0,所成的角，且为45，所以D正确；由上面可知BD//PN,PQ//AC，所以，而BDADACADANDN,PNMN，所以BDAC，所以B是错误的，故选B. 1

考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键. 9． 【答案】B

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【解析】解：∵F（x）=∴函数的导数F′（x）=∵f′（x）＜f（x）， ∴F′（x）＜0，

即函数F（x）是减函数，

，

=

，

2

则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜ef（0），f，

故选：B

10．【答案】A

【解析】解：∵命题p：存在x0＞0，使2故选：A

11．【答案】 B

【解析】解：∵循环体中S=S×n可知程序的功能是： 计算并输出循环变量n的累乘值，

∵循环变量n的初值为1，终值为4，累乘器S的初值为1， 故输出S=1×2×3×4=24， 故选：B．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．

12．【答案】D 【解析】

试题分析：∵AB，∴a2．故选D． 考点：集合的包含关系．

＜1为特称命题，

x

∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2≥1．

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）． 则

+x+y+

=3+

，

化为：x+y=3．

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22则x+y

=，当且仅当x=y=时取等号．

∴这两个正方形的面积之和的最小值为． 故答案为：．

14．【答案】

【解析】解析：由a1＝2，an＋1＝an＋c，知数列{an}是以2为首项，公差为c的等差数列，由S10＝200得 10×9

10×2＋×c＝200，∴c＝4.

2答案：4 15．【答案】【

5123 9解

析

】

16．【答案】

2

【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，

．

过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，

直线AO与l相交于D， ∴直线AB的方程为y=联立

（x﹣），l的方程为x=﹣， ，解得A（﹣

，

P），B（，﹣

）

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∴直线OA的方程为：y=，

联立，解得D（﹣，﹣）

∴|BD|==，

∵|OF|=，∴ ==．

故答案为：．

【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．

17．【答案】

【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立， 即（－x）（e－x＋aex）＝x（ex＋ae－x）， ∴a（ex＋e－x）＝－（ex＋e－x），∴a＝－1. 答案：－1

18．【答案】 4+ ．

【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图， ∵底面边长为6，∴BC=则∴

∴正四棱柱容器的高的最小值为4+

．

，

，

=

，

，

球O的半径为3，球O1 的半径为1， 在Rt△OMO1中，OO1=4，

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故答案为：4+．

【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（1）证明：如图， ∵点E，F分别为CD，PD的中点， ∴EF∥PC．

∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，

∴EF∥平面PAC．

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 又ABCD是矩形，∴CD⊥AD， ∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD． ∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．

∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD． 又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC． ∵EF⊂平面PDC， ∴AF⊥EF．

【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

20．【答案】

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【解析】（1）证明：设x2＞x1＞0，∵f（x1）﹣f（x2）=（

﹣1）﹣（﹣1）=，

由题设可得x2﹣x1＞0，且x2•x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， 故f（x）在（0，+∞）上是减函数． （2）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=

﹣1=﹣f（x），∴f（x）=+1．

又f（0）=0，故函数f（x）的解析式为f（x）=．

21．【答案】

【解析】（本题满分为12分）

解：（1）∵由题意得，sinA=sin（B+C）， ∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣即sinB（cosC﹣∵sinB≠0， ∴tanC=

，故C=

=

．…（6分） ， sinC）=0，

sinBsinC=0，…（2分）

（2）∵ab×∴ab=4，①

又c=2，…（8分）

22

∴a+b﹣2ab×=4，

∴a2+b2=8．②

∴由①②，解得a=2，b=2．…（12分）

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．

22．【答案】

【解析】（1）当n1时，2S13a132a1a13；………………1分 当n2时，2Sn3an3,2Sn13an13，

∴当n2时，2Sn2Sn13(anan1)2an，整理得an3an1.………………3分

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∴数列{an}是以3为首项，公比为3的等比数列. ∴数列{an}的通项公式为an3n.………………5分

23．【答案】

x

x

【解析】解：（1）∵f（x）=lg（a﹣b），且f（1）=lg2，f（2）=lg12，

22

∴a﹣b=2，a﹣b=12，

解得：a=4，b=2；

x

x

xx

（2）由（1）得：函数f（x）=lg（4﹣2），

当x∈[1，2]时，4﹣2∈[2，12]， 故当x=2时，函数f（x）取最大值lg12，

xxx

则4﹣2=m有两个解，令t=2，则t＞0，

xx

（3）若函数g（x）=a的图象与h（x）=b﹣m的图象恒有两个交点．

则t﹣t=m有两个正解；

2

则，

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解得：m∈（﹣，0）

【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．

24．【答案】

222222

【解析】解：（Ⅰ）∵b+c=a+bc，即b+c﹣a=bc，

∴cosA=

又∵A∈（0，π）， ∴A=

；

=，

（Ⅱ）∵cosB=∴sinB=

，B∈（0，π）， =

，

由正弦定理=，得a===3．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．

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