高考前知识点梳理

给高三同学提个醒

在高考备考的过程中，熟悉这些解题小结论，防止解题易错点的产生，对提升高考数学成绩将会起到较大的作用，希望能引起高三全体同学的高度注意！

1． 集合 A、B，AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；求集合的子

集时是否忘记.

2． 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为

nn2n，2n1，， 21 22.

3．

U(AB)＝

UAUB ，

U(AB)＝

UAUB

4． 你考虑用补集思想（正难则反）解题了吗？

5． 解决集合运算时要先弄清集合中的代表元素（是数还是点等）。 6． 你知道怎样用原命题与其逆否命题的等价性解决问题吗？

7． 你知道“否命题”与“命题的否定”是不同的吗？区别主要在哪里呢？

8． 证明数学命题时，可千万不能忘了“反证法”这个精当武器呀！你知道吗，列举反例也是一

种能力呀。

9． 函数的几个重要性质：

①如果函数yfx对于一切xR，都有faxfax，那么函数yfx的图象关于直线xa对称.

②函数yfx与函数yfx的图象关于直线x0对称； 函数yfx与函数yfx的图象关于直线y0对称； 函数yfx与函数yfx的图象关于坐标原点对称. ③函数yfax与函数yfax的图象关于直线x0对称. ④函数yfxa与yfax的图象关于直线xa对称. 注：①是fx本身图像对称问题，②③则是两个函数的图像的对称问题

⑤若偶函数yfx在区间0,上是递增函数，则yfx在区间,0上是递减函数． ⑥若奇函数yfx在区间0,上是递增函数，则yfx在区间,0上也是递增函数． ⑦函数yfxa(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴向左平移a个单位得到的； 函数yfxa((a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴向右平移

a个单位得到

的；函数yfx+a(a0)的图象是把函数yfx的图象沿y轴向上平移a个单位得到的; 函数yfx+a(a0)的图象是把函数yfx的图象y轴向下平移a个单位得到的. ⑧yfx与yf直线yx对称

⑨函数yf(xa)与yf11(x)的图像关于直线yx对称；.yfx与yf1(x)的图像关于

(xa)一般不是互为反函数, yf1(xa)的反函数是

yf(x)a.

⑩函数yfax(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴伸缩为原来的

1倍得到的； a函数yafx(a0)的图象是把函数yfx的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的. 10.求一个函数的解析式（包括实际问题）和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域吗？ 11.函数与其反函数之间的一个有用的结论：f1abf(b)a

12．互为反函数的两函数若有公共点，这公共点一定在直线yx上吗？

13.如果函数fx对于定义域内的一切x，都存在非零常数T使fxTfx恒成立，则

fx是周期函数且周期为T。如果函数fx对于定义域内的一切x，都存在非零常数T使

①fxTfx; ②fxTfx1 ③f(xT)是周期函数,你知道周期分别是多少吗?

14．原函数yfx在区间a,a上单调递增，则一定存在反函数，且反函数yf11f(x)恒成立，则fx

1f(x)x也单

调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．函数fx存在反函数的充要条件是

fx的对应关系是从定义域集合到值域集合的一一对应。

15判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？奇函数中一定有f(0)0吗？

16根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)

17.由函数单调性的定义你能否想到它与直线的斜率、导数的定义以及等差数列的性质

daman的联系吗？

mnb18．你知道函数yaxx上单调递增；在bba0,b0的单调区间吗？（该函数在,和,aabb,0和0,上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！ aa19．解对数函数问题时，你注意到真数与底数的条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不

等于1）字母底数还需讨论呀.

20．函数ylg(axbxc)(a0)的定义域为Ra,b,c满足什么条件？值域为Ra,b,c满足

什么条件？引起你的注意了吗？

21．对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（logab2logcb,loganbnlogab， logcalogab1）

logbaloagb22．你还记得对数恒等式a2logax2logax对吗？

logaxxb吗？ylog是同一函数吗？aa与ya23．“实系数一元二次方程axbxc0有实数解”转化为“b4ac0”，你是否注

2意到必须a0；当a＝0时，“方程有解”不能转化为b4ac0．若原题中没有指

22出是“二次方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

24在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函

数的有界性了吗？

25.一般说来，基本三角函数加绝对值或平方，其周期减半，但正切除外．（如ysin2x,ysinx的周期都是, 但ysinxcosx的周期为

.） 226.函数ysinx2,ysinx,ycosx是周期函数吗？（都不是）

27.在三角函数中，你知道1等于什么吗？（1sinxcosxsecxtanx

2222tanxcotxtan广泛的应用．

4sin2cos0这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着

28。在三角式的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．如：

(),22,12，(),等 222229你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）

30你还记得三角化简的通性通法吗？（变名、变角、遇平方降次、遇切割化弦、对方程组给出的已知要对方程组的两边实施四则运算。） 31你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ （sin15cos75626251,sin75cos15,sin18） 44411lr||r2) 2232你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr,S扇形33. 辅助角公式：asinxbcosx定，角的值由tana2b2sinx(其中角所在的象限由a,b的符号确

b确定)在求最值、化简时起着重要作用. a34.在同一个三角式中即有sincos又有sincos的式子，怎样用换元法？

在ABC中，sinAsinBAB你知道吗？

35.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是0,,[0,],(0,].22异面直线所成角的余弦值的范围是什么？在几何体中做异面直线所成的角，若平行线作在几何体的外面则可以再并拼上一个形状大小完全相同的几何体，只要连结某两点即可得到所要的平行线。

②直线的倾斜角、l1到l2的角、l1与l2的夹角的取值范围依次是[0,),[0,),(0,③反正弦、反余弦、反正切值的范围分别是[2]．

,],[0,],(,)．

222236.你向量的“双重身份”了吗？零向量和单位向量的作用，平面向量基本定理及其唯一性有什么

用处？

37.平面两点间的距离公式

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

38.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则 a∥bb=λa x1y2x2y10. ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.

你知道“若OAxOByOB则A,B,C共线的充要条件是x+y=1”这一结论了吗？

是实数，且39.线段的定比分公式 设P12的分点,1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PPPP1PP2，则

x1x2x1OP11OP2t（）. OPOPtOP(1t)OP12yy112y1140. 在利用定比分点解题时，（起点，终点，分点以及值可要搞清），你注意到1了吗？ 41. 三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则

x1x2x3y1y2y3,). 33'''xxhxxh'42.点的平移公式 'OPOPPP (图形F上的任意一点P(x，y)'yykyyk'''''在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k)).

abc2R 43. 正弦定理

sinAsinBsinC22222222244. 余弦定理abc2bccosA;bca2cacosB; cab2abcosC.

11145.面积定理（1）Sahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.

222△ABC的重心的坐标是G(（2）S(3)SOAB111absinCbcsinAcasinB. 2222211(|OA||OB|)(OAOB)=OAOBtan(为OA,OB的夹角) 22CAB2C22(AB). 22246.三角形内角和定理 在△ABC中，有

ABCC(AB)47.不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式还有方程的解集、函数的定

义域等）函数的单调区间不可以用集合的描述法、多个单调增（减）区间之间不能用连接 48.分式不等式

fxaa0的一般解题思路是什么？（移项通分） gx49.解分式不等式

f(x)g(x)0fx0的一般思路是再数轴标根。

gxg(x)050.解无理不等式有哪几种常规题型？它们的等价不等式组是怎样的？

fx0gx0fxgx或2gx0fxgx；

fx0fxgxgx0;2fxgxfx0fxgxgx0.

fxgx51.解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.） 52.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是分类讨论，零点分区间)

ab53.利用重要不等式ab2ab以及变式ab等求函数的最值时，你是否注意到a，

2bR（或a,b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？注意

2ab2a2b2()(a,b,cR)在求最值中的应用 22.在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底0a1或a1）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是„„．（要分类作答）

55..解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”

*56.等差数列中的重要性质：若mnpq，则amanapaq；(m,n,p,qN)

*等比数列中的重要性质：若mnpq，则amanapaq． (m,n,p,qN)

57.你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（q1时，Snna1；q1时，

a1(1qn)）另外q1 时Sn有什么特点？（SnAAqn） Sn1q58.等比数列的一个求和公式：设等比数列an的前

n项和为Sn，公比为q, 则

SmnSmqmSn．

59.等差数列的一个性质：设Sn是数列an的前n项和，an为等差数列的充要条件是

Snan2bn （a, b为常数）其公差是2a.Sn一定是n的二次函数吗？

60.你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若cnanbn，其中an是等差数列，bn是等比数列，求cn的前n项的和）

61.用anSnSn1求数列的通项公式时，你注意到n2了吗？你注意到a1S1了吗？ 62.你还记得裂项求和吗？（如

111 .）你还能列举几个也可裂项求和例子吗?

n(n1)nn163.你知道无穷等比数列所有项的和Sa1公式中各字母的范围吗? 1q.qn有极限时，则q1或q1，在求数列qn的极限时，你注意到q＝1时，qn1这种特例了吗？（例如：数列的通项公式为an3x1，若an的极限存在，求x的取植范围. 正

n确答案为0x2.）若数列an为等比数列，还要注意什么？ 365.你理解在分期付款中的规定：各期所付的款额连同最后一次付款时所产生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。（简记为本息和等于本息和）

66.你在进行数列的有关运算中,运用了如下数学思想了吗?函数思想,数形结合,整体思想等. 67.在用数学归纳法证明n＝k1命题成立题时，你把归纳假设（n＝k成立）作为已知条件利用了吗？

特别证明不等式时，在“nknk1”时，你想用如下的转化技巧了吗？（放缩、比较、反证、分析、综合等），你知道与指数有关的正整数不等式，不一定非用“数归”法，有时可以

考虑“二项式定理”吗？

68.解排列组合问题的依据是：分类计数相加，分步计数相乘，有序问题排列，无序问题组合．弄清做“一件事情”的含义，让你做是“分类”还是“分步”呢？有可能类中有步、步中有类，这些是最重要的，你知道吗？

69.解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；平均分组平均分配区分对待法；选取问题先选后排法；名额分配闸板法；至多至少问题间接法；你想想围圈入座什么法？ 70.解复数问题的两个转化：代数化，几何化．

71.实系数一元二次方程ax2bxc0a0若有虚根，则必有一对共轭虚根，在这个方程中，根与系数的关系、求根公式仍然成立，.

b,cC）72.在解一元二次方程ax2bxc0a0 （a，时，一般设xmni(m,nR)代入方程利用复数相等求实数m,n的值，从而求出解

ac73.复数相等的充要条件：abicdi，要注意a,b,c,dR.

bd74.复数运算的几个基本公式：1i2i,1i2i,221i1iabii,i，i 1i1ibai若11，则313i,120,2. 2275.作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.

76.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、转化法） 77.求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）

78.你知道立体几何中高考中用的最多的是:三垂线定理和面面垂直的性质定理吗? 79..共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．

80.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC， 则四点P、A、B、C是共面xyz1．

a1b1a2b2a3b381.. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a，b〉=（a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)）.

aaa212223bbb212223

ABm(m为平面的法向量). 82..直线AB与平面所成角arcsin|AB||m|mnmn83.二面角l的平面角arccos或arccos（m，n为平面，的

|m||n||m||n|法向量）.

84.设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则coscos1cos2.

85.若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是θ，则有sin2sin2sin21sin222sin1sin2cos ;

|12|180(12)(当且仅当90时等号成立).

86.空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2. dA,B=

122(|a||b|)(ab)(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，87.点Q到直线l距离h|a|向量b=PQ).

|CDn|(l1,l2是两异面直线，88.异面直线间的距离 d其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任|n|一点，d为l1,l2间的距离).

|ABn|B.点到平面的距离 d（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，

|n|A）.

290. l2l12l2l32cos21cos22cos231

（长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为（立几中长方体对角线长的公式是其特例）. 1、2、3）

S'91. 面积射影定理 S

cos(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为). 92.球的半径是R，则其体积是V93.V锥'4R3,其表面积是S4R2． 31Sh,V柱Sh, 394.你记住倾斜角和斜率的概念了吗？.斜率公式和直线方向向量的概念呢？（ k（P；直线的方向向量v=(a,b),则直线的斜率为k=1(x1,y1)、P2(x2,y2)）

y2y1x2x1b(a0)） a95..应注意向量在三角（夹角）、解析几何（坐标运算）中的广泛应用

96.设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？（例如：一条直线经过点3,，且被圆x2y225截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。

该题就要注意，不要漏掉x+3＝0这一解.）

97.线性规划中的平面区域你可要找准呀！注意实线与虚线的区别。

98.在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合。（平行向量呢）

99.直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线）

100.对不重合的两条直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，有

32A1B2A2B1； l1l2A1A2B1B20． l1//l2ACAC或BCAC21122112101.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. 102.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为线y＝kxy1，但不要忘记当a=0时，直aax（k0）在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等．

103.处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）圆心到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式.一般来说，前者比后者简捷的很呀！

104.处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系. 105.在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.

106.在利用圆锥曲线统一定题时（注意定点和定直线的位置关系），你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？

107.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式0的．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在0下进行）. 108.椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．（a，b，c的几何意义）注意a，

b，c与2a，2b，2c的区别。

109.你注意到双曲线定义中的绝对值了吗？

110你还记得以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆与该圆锥曲线相应的准线的位置关系吗？ 111.你记得圆锥曲线的焦点半径和焦点弦长公式吗？如果你忘了你能用定义推出来吗？ 112.特殊的焦点弦:“通径”：①是抛物线的所有焦点弦中最短的弦；②椭圆焦点的所有弦中垂直

2b22b2、2a中于长轴的弦最短；③过双曲线焦点的所有弦中垂直于实轴的弦或实轴长最短，即

aa最小的

113你注意到如下几个问题了吗？①焦点三角形的面积 ②中点弦的斜率问题 ③过顶点与圆锥曲线只有一个公共点的直线的条数问题 ④双曲线过焦点长度为定值的直线的条数问题。各有什么结论？

114解决圆锥曲线的问题时，你注意运用设“点参数”（圆锥曲线的参数方程）了吗？是怎么设的。

115解析几何中常见的方法有那些？

116.要正确区分等可能性事件、相互事件、互斥事件和重复试验的概率

117.你要会求八个基本函数的导数、复合函数的导数、分段函数的导数等、导数的几何意义。 118.

在

变

形

中

你

注

意

到

2(x0)xx2(x0)x了吗？如

x0时xx121x1x2111x2。

119.导数的应用（求最值、斜率、单调性） 120.你知道下面的类比吗？（→表示类比到）

等差数列类比到等比数列： 差→比、和→积、倍→乘方、算术平均数→几何平均数、 平面类比到空间：线→面、角→二面角、三角形→三棱锥、矩形→长方体、正方形→正方体、 圆→球、周长→表面积、面积→体积

121.解答选择题的特殊方法是什么？(数形结合、顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等)

122.解答填空题时应注意什么？（特殊化，图解，等价变形）。要审准题、结果要简明要符合要

求。如：从小到大、从大到小排列，错误（正确）命题是‥‥‥还有单位等

123.解答应用型问题时，最基本要求是什么？（审题、找准题目中的关键词，设未知数、列出函数关系式、代入初始条件、注明单位、答）

124.解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．特别注意从特殊到一般的思维方法运用。

125.解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．

126.解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量, 想方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．