涂色问题的解题策略

一、区域涂色问题

解答区域涂色问题，常采用以下三种方法：一是根据分步计数原理，对各个区域分步涂色；二是根据共用了多少种颜色分类讨论；三是根据相间区域使用颜色的种数分类.以上三种方法有时也会结合起来使用.

例1 如图1，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种.(用数字作答)

解析 (解法一)根据相间区域使用颜色的种数分类.

(1)当区域1与3同色时，区域1、3有种，区域2、4各有种，共有种；(2)当区域1与3不同色时，区域1、3有种，区域2有种，区域4与区域1相同或区域2相同，于是共有种. 综上可知，不同的涂色方法共有150+240=390种. (解法二)根据共用了多少种颜色分类讨论.

(1)当用2种颜色时，有种方法.(2)当用3种颜色时，先选颜色，有种；四个区域必有两个同色，区域1与区域3同色，或区域1与区域4同色，或区域2与区域4同色，每一类都有种方法，故用3种颜色时共有种方法.由加法原理可知，不同的涂色方法共有+种. 例2 如图2，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 A.96 B.84 C.60 D.48

解析 根据相间区域使用颜色的种数分类.当A、C同花时，有种；当A、C不同花时，有种.故不同的种法共有36+48=84种.选B.

例3 如图3所示，一个地区分为5个行政区域，现给地 图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供 选择，则不同的着色方法共有多少种？

解析 据题意可知至少要用3种颜色，根据共用了多少种 颜色分类讨论.

(1)当先用3种颜色时，区域2与区域4必须同色，区域3与区域5必须同色，故有种方法.(2)当用4种颜色时，若区域2与区域4同色，则区域3与区域5不同色，有种方法；若区域3与区域5同色，则区域2与区域4不同色，有种方法，故用4种颜色时共有2种方法. 由加法原理可知，满足题意的着色方法共有+2=24+224=72种. 二、点的涂色问题

解答点的涂色问题的常用方法有：(1)根据共用了多少种颜色分类讨论；(2)根据相对顶点是否同色分类讨论；(3)空间问题平面化，将点的涂色问题转化为区域涂色问题求解. 例4 如图4，在正五边形ABCDE中，若把顶点染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不同，则不同的染色方法共有 种.

解析 (1)当A与C同色或A与D同色时，有种；(2)当A与C、D都不同色时，有种.故不同的染色方法共有24+6=30种. 三、线段涂色问题

解答线段涂色问题的主要方法有：(1)根据共用了多少种颜色分类讨论；(2)根据相对线段是否同色分类讨论.

例5 用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

解析 (1)使用四种颜色涂色，共有种方法；(2)使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，共有种方法；(3)使用两种颜色涂色时，则两组对边必须分别同色，共有种方法. 故不同的涂色方法共有种. 四、面的涂色问题

例6 如图5所示，已知四棱锥，从

给定的4种不同颜色中选用若干种颜色涂在四棱锥的 各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？

解析 这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题来求解.如图6 所示，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面，根据 共用多少种颜色进行分类：(1)若只用3种颜色，即1与3同色、2 与4同色，则有种方法；(2)若用4种颜色，则1与3、2与4两 组中只能有一组同色，此时有种方法. 故满足题意的涂色方法数为.

【高考预测题】

1.如图7，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色， 要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择， 则不同的着色方法共有 种.(用数字作答)

2.在如图8所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻 两个区域涂不同的颜色，有四种颜色可选，则共有 种不 同的涂色方法.

3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部 分，如图9所示.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种 一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法 有 种.(用数字作答)

参考答案 1.72 2.84 3.120 ?? ?? ?? ??