2010年上海市高考理科数学试卷及答案(打印版)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

数学（理科）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1.不等式

2x0的解集是 。 x42.若复数z12i（i为虚数单位），则zzz 。

3. 动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则P的轨迹方程为 。

cos4.行列式

3sincos26sin326的值是 。

5. 圆C:xy2x4y40的圆心到直线l:3x4y40的距离

d 。

6. 随机变量的概率分布率由下图给出：

则随机变量的均值是

7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白

的执行框内应填入 。 8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)=loga(x3)的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是

9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”， 事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（AB）= （结果用最简分数表

示）

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n123n2n1234n1n110．在n行n列矩阵345n12中，

n12n3n2n1记位于第i行第

j列的数为aij(i,j1,2,n)。当n9时，

a11a22a33a99 。

*11. 将直线l2:nxyn0、l3:xnyn0（nN，n2）

x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为Sn，则limSn 。

n12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD 相交于O,剪去AOB,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB 重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为 。 13。如图所示，直线x=2与双曲线:24y21的渐近线交于E1,E2两

点，记OE1e1,OE2e2，任取双曲线上的点P，若

OPae1,be2(a、bR)，则a、b满足的一个等式是

14.以集合U=a，b，c，d的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：

（1）a、b都要选出；

（2）对选出的任意两个子集A和B，必有AB或BA，那么共有 种不同的选法。

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须

在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。 15．“x2k4（ ） kZ”是“tanx1”成立的 【答】

（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.

（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件. 16.直线l的参数方程是x=1+2t(tR)，则l的方向向量是dy=2-t可以是 【答】（ ）

(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)

11x17.若x0是方程()x3的解，则x0属于区间 【答】（ ）

2第2页

212111,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,) 32332311118. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为,,，则此人能 【答】

13115(A)(

（ ）

（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形 （C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。 19.（本题满分12分） 已知0x2，化简：

xlg(cosxtanx12sin2)lg[2cos(x)]lg(1sin2x).

24

20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。 已知数列an的前n项和为Sn，且Snn5an85，nN* （1）证明：an1是等比数列；

（2）求数列Sn的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由。

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21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）;

（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线A1B3与A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）

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22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。

若实数x、y、m满足xm＞ym，则称x比y远离m. （1）若x21比1远离0，求x的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3b3比a2bab2远离2abab； （3）已知函数f(x)的定义域D=｛x|x≠kππ.任取xD，f(x)等+，k∈Z，x∈R ｝24于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.

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23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

x2y2已知椭圆的方程为221(ab0)，点P的坐标为（-a，b）.

ab1（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足PM=(PA+PB),求点M的坐标；

2（2）设直线l1:yk1xp交椭圆于C、D两点，交直线l2:yk2x于点E.若

b2k1k22，证明：E为CD的中点；

a（3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点P1、P2满足PP1+PP2=PQ,写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值范围.

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

答案

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1.（-4,2）

解析：考查分式不等式的解法2. 6-2i

解析：考查复数基本运算zzz(12i)(12i)12i62i 3.y8x。

解析：考查抛物线定义及标准方程

定义知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y28x 4. 0

22x0等价于（x-2）(x+4)<0,所以-43sincos6sin5. 3

解析：考查点到直线距离公式

36=coscosπ3πππsinsincos0 6362圆心（1,2）到直线3x4y40距离为6. 8.2

3142453

解析：考查期望定义式E=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2 7. S S+a 8.（0，-2）

解析：f(x)=loga(x3)的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2） 9．

7（ 26解析：考查互斥事件概率公式 P（AB）= 10．45

1137 525226解析：a11a22a33a991+3+5+7+9+2+4+6+8=45 11. 1 解析：B(nn,) 所以BO⊥AC， n1n1第7页

1nn1Sn=2 所以limSn 2n22n1n1

12．

3解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为22的正三棱锥，

82高为

261132682所以该四面体的体积为16

33223313。4ab=1

解析：E1(2,1),E2(2,1)

OPae1be2=(2a2b,ab)，点P在双曲线上

(2a2b)2(ab)21，化简得4ab1

414. 36

解析：列举法 共有36种 15． A 解析：tan(2k4)tan41，所以充分； 51，所以不必要 41，所以C正确 211,) 32但反之不成立，如tan16. C

解析：直线l的一般方程是x2y50，k17. C

解析：结合图形,，∴x0属于区间(18. D

解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知

1213113213121213111abc,a:b:c13:11:5 13115521121320，所以角A为钝角 由余弦定理得cosA251119.（本题满分12分） 略 20. (本题满分13分)

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5解析：(1) 当n1时，a114；当n≥2时，anSnSn15an5an11，所以an1(an11)，

6又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列； 5(2) 由(1)知：an11565Sn756n1n15，得an1156n1，从而

n90(nN*)；

n15解不等式Sn所以当r0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；

(2) 当r0.3时，l0.6，建立空间直角坐标系，可得A1B3(0.3,0.3,0.6)，A3B5(0.3,0.3,0.6)，

设向量A1B3与A3B5的夹角为，则cosA1B3A3B5|A1B3||A3B5|2， 32所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为arccos．

322.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。

解析：(1) x(,2)(2.)；

(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有a3b32abab，a2bab22abab， 因为|a3b32abab||a2bab22abab|(ab)(ab)20，

所以|a3b32abab||a2bab22abab|，即a3b3比a2bab2远离2abab；

3sinx,x(k,k)44(3) f(x)，

cosx,x(k,k)44性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期T3函数f(x)在区间(2，

kkkk,]单调递增，在区间[,)单调递减，kZ， 242224第9页

2,1]． 223（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

4函数f(x)的值域为(ab解析：(1) M(,)；

22yk1xp(2) 由方程组x2y2，消y得方程(a2k12b2)x22a2k1pxa2(p2b2)0，

221ba因为直线l1:yk1xp交椭圆于C、D两点， 所以>0，即a2k12b2p20，

设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，

x1x2a2k1p22x02ak1b2则， 2ykxpbp100a2k12b2yk1xp由方程组，消y得方程(k2k1)xp，

ykx2a2k1pp22x0x2kkakbb2211又因为k22，所以， 2ak1bpykxy02222akb1故E为CD的中点；

(3) 求作点P1、P2的步骤：1求出PQ的中点E(2求出直线OE的斜率k2b(1sin)，

a(1cos)a(1cos)b(1sin),)， 22b2b(1cos)3由PP根据(2)可得CD的斜率k12， 1PP2PQ知E为CD的中点，

ak2a(1sin)4从而得直线CD的方程：yb(1sin)b(1cos)a(1cos)(x)， 2a(1sin)25将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标． 欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，

(1cos)2(1sin)221所以， 1，化简得sincos，sin()44442第10页

又0< <，即4423，所以arcsin，

44442)． 4故 的取值范围是(0,

4arcsin第11页