带交易费用的证券组合投资的模糊多目标优化模型

第１６卷第１期　云南民族大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．１６　Ｎｏ．１　２００７年１月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙｕｎｎａｎ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒｌａ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｊａｎ．２００７　带交易费用的证券组合投资的模糊多目标优化模型　何树红　乐晓梅毛娟芳　（云南大学数学与统计学院，云南昆明６５００９１）　摘要利用在约束条件中加人证券多样化选择约束的方法来抵减非系统风险，建立了带交易费用的综合考虑收益和　风险的模糊多目标规划模型．在此模型中，考虑到证券投资的预期收益和风险的模糊性，把目标函数和约束系数均作为模糊　数处理，并给出了模型的求解方法和问题的一个算例．　关键词证券组合投资；交易费用；模糊数；模糊多目标规划　【中图分类号】Ｆ８３０　【文献标识码】Ａ　【文章编号】ｌ６７２—８５ｌ３（２００７）０ｌ一００２５—０４　Ａ　Ｆｕｚｚｙ　Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　Ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　Ｏｐｔｉｍａｌ　Ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ］ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ　ｗｉｔｈ　ｆｒａｎｓ　ａｃｔｉｏｎ　Ｃｏｓｔｓ　Ｈｅ　Ｓｈｕｈｏｎｇ　Ｌｅ　Ｘｉａｏｍｅｉ　Ｍａｏ　Ｊｕａｎｆａｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｙｕｎｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ　６５００９　１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｆｕｚｚｙ　ｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ　ｗｉｔｈ　ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ　ｃｏｓｔｓ　ｉｓ　ｂｕｉｌｔ　ｉｎ　ｖｉｅｗ　ｏｆ　ｒｅｔｕｒｎ　ａｎｄ　ｒｉｓｋ，Ｉｎ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅ　ｄｉｖｅｒｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ　ａｒｅ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｃｏｕｎｔｅｒａｃｔ　ｔｈｅ　ｎｏｎ　ｓｙｓｔｅｍ　ｒｉｓｋ．　Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｆｕｚｚｙ　ｅｘｐｅｃｔｅｄ　ｒｅｔｕｒｎ　ａｎｄ　ｒｉｓｋ　ｆｏｒ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ，ｔｈｅ　ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓ　ｏｆ　ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｎｔｉ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ　ａｒｅ　ａｌｌ　ｆｕｚｚｙ　ｎｕｍｂｅｒｓ．Ａｔ　ｌａｓｔ，ａｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ａｎｄ　ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｐｒｏｂｌｅｍ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ；ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ　ｃｏｓｔｓ；ｆｕｚｚｙ　ｎｕｍｂｅｒ；ｆｕｚｚｙ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　０　引言　Ｍａｒｋｏｗｉ￣于１９５２年发表的著名沦文“资产组合选择”首次提出了均值一方差（Ｍｅａｎ—Ｖａｒｉａｎｃｅ，ＭＶ）模　型．此模型为人们进行现代组合投资理论的研究和应用奠定了基础．但Ｍ—Ｖ模型在应用中存在着两方面的　困难．一是我们必须已知每种资产的期望收益和任两种资产收益之间的协方差．二是计算量太＿人且含有二次　函数．与Ｍ—Ｖ模型理论相比，ＣＡＰＭ模型则侧重于证券或证券组合的系统风险的度量和资产的价格行为．随　后许多研究表明，在分散程度相当好的证券组合中，　系数是系统风险的恰当度量，因为此时证券组合的非　系统性风险趋于零．　在单因子模型中以市场指数作为单因子，则证券收益可表现为如下回归方程　ｒ　＝ｃＹ　＋　ｒ　＋占　式中　为证券ｉ的　系数；ｒｍ为市场证券组合的收益率；占　为随机变量，它表示随机因素对单个证券收益　的影响，如。＝Ｅ（ｒｍｅ．　）＝０，且不同的证券随机误差不相关，即ＣＯＶ（占　，占　）＝０（　≠　）．在此情形下，证券组合的　ｎ　ｎ　期望收益和风险分别为Ｅ（ｒ』Ｊ）＝ＯＬ　＋　Ｅ（　），　；＝　２　２　＋∑　２　，其中　＝∑Ｏｔｉ０．）　，　＝∑卢　为证　券组合的　系数．　在现实的证券市场中，由于诸多因素影响，某证券的预期收益与风险损失率难以精确得到，故采用模糊　数来刻画某证券的预期收益与风险损失率，则显得更为合理与实际．文献［１］讨论了系数为常系数的带交易　费用的多目标规划问题．：史献［２］提出了一种目标函数系数为模糊数的多目标模糊规划，并给出了求其模糊　最优解的方法．文献［３］讨论了目标函数中的　系数和约束系数为模糊数的多目标模糊规划问题，并给出了　收稿日期：２００６—０６—２６．　基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０５６１００９）；云南大学“中青年骨干教师培养计划”专项经费资助项目．　作者简介：何树红（１９６６一），男，博士，教授，主要从事金融工程教学与研究．　２５　维普资讯 http://www.cqvip.com

云南民族大学学报（自然科学版）　一第１６卷　种模糊折中方法．在本文中就证券组合投资的选择问题，建立了带交易费用的综合考虑收益和风险的模糊　多目标规划模型，并把目标函数和约束系数均看作模糊数，通过将模型转化为一般的多目标规划问题进行求　解　引，最后给出了问题的一个算例．　１数学规划模型　设投资者选择了ｎ种证券进行投资．以ａ表示总的投资金额．以尺表示证券组合的模糊收益，　ｒ　（ｉ＝１，２，…，ｎ）表示证券ｉ的模糊收益；以　（ｉ＝１，２，…，ｎ）表示投资在证券ｉ上的金额，以卢　（ｉ＝１，２，…，　ｎ）表示证券ｉ的模糊卢值，以‘　（ｉ＝１，２，…，ｎ）表示证券ｉ的单位交易成本．又设　０（ｉ＝１，２，…，凡）为投资者　目前在证券　上已经持有的投资金额，则证券　的买卖交易费用可表示为：　ｄ　＝Ｌ　ｌ　一　Ｉ，ｉ＝１，２，…，ｎ　总的交易费用为：　ｄ＝∑ｄ　＝∑　件：　一　ｌ　对于非系统性风险，利用在约束条件中加入证券多样化选择约束的方法加以抵减．引入下列递减约束条　０＜－ｘ　ｋ，ｉ＝１，２，…，ｎ　式中ｋ为每种证券的投资金额的模糊上限的最大值．　根据卢的期望值将资产进行分类，若Ｅ（卢　）＞１，则称证券　属于高风险资产　；若Ｅ（卢　）＜１，则称证券　属于低风险资产Ｌ．则引入下列约束条件：　∑　ｆ≤　；∑　＾　ｌＥ１４　‘Ｅ１　式中Ｊ．表示高风险资产投资金额的模糊上限，ｈ表示低风险资产投资金额的模糊下限．　投资者总希望证券组合的收益最大，同时交易费用和风险最小．假定不允许卖空，则证券选择问题可表　示为下面的模糊多目标规划问题：　：　ｍａｘＲ　＝厶“；　（＼等）。／　ｉ＝ｌｍｉｎｄ：∑‘。ｌ　一　０　ｌ　ｉ＝１　（Ｐ１）　ｍｉｎｌｆ＝∑卢　（等）　ｌ　ｌ　ｎ　ｓ．ｔ．∑　＝Ⅱ；０－＜－Ｘ　ｋ，ｉ＝ｌ，２，・－－，　∑　≤　；∑　＾，　对于一个新的投资者，可以取　？＝０，ｉ＝１，２，…，　假定（Ｐ１）中的模糊数ｒ　，　，ｋ，　，ｈ都为梯形模糊数．例如ｒ　＝　（０１，口２，０３，０４），图１为ｒ　的可能性分布，用　（０　。　１）表示ｒ；发ｎ　图ｌ疗的可能性分布　生的可能性．则ｒ　为区间［ａ　，ａ　］中的值的可能性较高，此时　；　＝１；　而ｒ　为ａ　，ａ　的可能性为零．在本文中，通过对历史数据用统计方法得　出收益ｒＩ的估计值必定包含在［ａ　，ａ　］中．　２模型求解　设（Ｐ）　是模糊数Ｐ的　一截集，定义为（Ｐ）　＝｛ｐ　Ｅ　（ｐ）Ｃｐ　ｆ　（ｐ）兰　），式中　（Ｐ）是Ｐ的支撑．设　（　）：和（　）　分别是　的　截集的左右边界，即（Ｊｌ；）　（　）　（　）　由于（　）：　（　）　，（声）：ｓ（声）。，故在“条件下原问题中可能得到的最好规划应由参数（　）　和（扫）：　组成其目标函数为：　２６　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　何树红等：带交易费用的证券组合投资的模糊多目标优化模型　ｍａｘ（　Ｍ　）　ｍｉｎｄ＝∑　』　‘……。一　？ｌ　（ｐ２）、　　ｍｉｎ（　）　＝　（　（等）　约束条件可松弛为：　＝。；ｏ　≤（　）　，　＝ｌ，２，…，凡，∑　（　）　；∑　（五）　，　下面用ｘ　表示（Ｐ２）中的约束条件．。　一　　ｍａｘＡ　＃Ｅ　ｎ　Ｉ　ｅ　Ｌ　（Ｐ２）可视为多目标规划的参数模型，当　给定时，我们可用两阶段算法对其求解．与之等价的数学模型为：　ｓ・ｃ－Ａ－＜／￣　（　）＝【　（　（警）一（矗）　】／【（　～（　）　Ｊ　Ａ≤　（　）＝　一∑‘　Ｉｘ　一　０　Ｉ／［ｄ　一　］】　ｉ＝ｌ（Ｐ３）　Ａ　ｓ　（卢）　［（　）：一　（　（　ａ）】／【（　）　一（　）　Ａ∈ｆ０，ｉ】；　∈Ｘ　，　其中（尺）：、（尺）　和（卢）　、（　）　分别为　、　的理想解和负理想解，可求解下面相应的规划来获得：　ａｘ（ｋ）　＝　ｍ（　）　＝　ｍ吨哦ａｘ　（ｒ　ｉ）　（等），（　）　＝　（　）　＝　ａｒ　ｉｎ　主（ｉ；　）　（等）　＝１（　）：　￣　－　Ｌ＝　ｍｉｎ　战（　）　（　ａ），（　）　＝　ｍ　ａｘ（￣）Ｌ　ｍ　ａｘ　ｎ（声　）　（　）　ｍａｘ　ｄ　ｍａｘ　Ｉｘ　０　　Ｉ，，ａｒｉｎ　Ｉｘ　０　　Ｉ假定所有的模糊系数都是梯形模糊数任意模糊数卢可用四元数（Ｐ　”ｐ（２）Ｐ㈤Ｐ（４’）表示，具有隶属函数　，０，　Ｐ　Ｐ（　）　Ｊｐ（　）　Ｐ　Ｐ（　）　Ｐ（　）　Ｐ　Ｐ（　）　Ｐ（。）ＳＰ曼Ｐ（　）　Ｐ　Ｐ（　）　（Ｐ—Ｐ　）／（Ｐ　一Ｐ　），　（Ｐ）＝　１．　（Ｐ　～Ｊｐ）／（Ｐ　一Ｐ　’’）．　（），　则Ｐ的　一截集可表示为下面的区间形式：　（Ｊｐ）　：【（Ｊｐ）　，（Ｊｐ）　】＝【Ｐ　’＋（Ｐ　一Ｐ¨’）　，Ｐ　一（Ｐ　一Ｊｐ（’’）　】　容易看出，若Ｐ　＝Ｐ‘　则卢退化为…个三角模糊数若Ｐ（　）＝Ｐ（　）：Ｐ（　）：Ｐ（　则卢退化为一个实数．　利用模糊参数　一截集的区间表现形式，问题（Ｐ３）被改写为：　，ｍ　（　）　：　ａｒｉｎ（／３）　＝∑　ｍａｘＡ　’一（ｒ　“’　∞’）　】（等）　（Ｐ４）　ｍｉｎｄ＝∑‘。　－Ｘ　ｌ　＋（　一　）　】（等）　ｓ・¨　｛　＿（ｒ　）　警）＿＿（　）　）／［（　）　一（　，　２７　维普资讯 http://www.cqvip.com

云南民族大学学报（自然科学版）　第１６卷　Ａ　（ｄ）＝　ｄ一∑ｃ　ｌＸ　－Ｘ？Ｉ］／［ｄ一一ｄ　］，　Ａ　｛（声）：一　［　（　一　等））／［（声）　一（声）　］，　：一　（　（　／【（　一（　，Ａ∈…】，　∑Ｘ　＝０，０　。　一（ｋ‘　一ｋ‘　’）　，ｉ；１，２，…，Ⅱ，　∑Ｘ　¨’一（　一　）ｅｌ；∑Ｘ　兰　＋（　一ｈ　）　，　此时（Ｐ４）为一般规划问题，利用已有方法可求其解．当　由大变小时，Ａ由小变大．给定　值，可求相应　的Ａ及一组解（　）：．若用　表示在同时考虑可能性　和满意度Ａ下决策者对解（　）　Ａ的整体满意程度，按　Ｂｅｌｌｍａｎ—ｚａｄｅｈ法则，　＝ｍｉｎ｛Ｏｔ，Ａ｝．所以．当Ｏｔ＝Ａ时，解（　）：为（Ｐ１）的最佳组合，即最优解．　３计算实例　为简单起见，不考虑交易费用，设总投资　表１　预期收益ｒ与口　额为ｎ．现从证券市场上选择了相关性较弱　的５种证券进行投资．其中投资额ｋ，　，　依投资者的收益、风险偏好设定，假定ｋ＝　（０．２ａ，０．３ａ，０．４ａ，０．５０），　＝（０，０，０．４ａ，　０．７５ａ），ｈ＝（０．２ａ，０．４ａ，ｎ，ｎ）．各种证券的　预期收益和　值见表１．　表２不同　水平下的投资比例、收益与口　根据前面的模型求解方法，应用Ｍａｔｌａｂ　优化工具箱，求出其主要结果见表２．　从上述结果可以看出，随着　的值增加　时，Ａ的值不断减小．即可能性增大时，投资　者的满意度不断下降．当可能性达到最大值　ｌ时，投资者对其满意度最小，此时证券的收　益也最小．当可能性降为０时，投资者的满意　度达到最大，此时证券的收益达到最大且风　险最小．根据Ｂｅｌｌｍａｎ．Ｚａｄｅｈ法则投资者在可　能性与满意度相等时，对整体的满意程度达　到最大．即　＝Ａ　＝０．７２时，此时的证券组合为最优投资组合　＝（０．２９４３ｎ０．０７８４ｎ，０．３３４７ｎ，０．１９３１ｎ．　０・１１２６ａ），收益Ｒ　；５．３９２，　＝０．３２１５．此模型的一个最大的特性就是综合考虑了客观的统计分析和投　资者的主观偏好，在两者相互影响下寻找出最优投资组合．　，参考文献：　［１］　李莉英，金朝嵩．带交易费用的证券组合投资选择的优＇ｆｌｃＮ￣［Ｊ］．经济数学２００２，１９（３）：３２—３７．　［２］郭存芝，郑垂勇．一种证券组合投资的模糊多目标规划方法［Ｊ］系统工程理论与实践，２００１（１）：２１—２４．　，．［３］ＡＭＥＬＩＡ　Ｂ　Ｔ，ＢＬＡＮＣＡ　Ｐ　Ｇ，ＭＡＲ　Ａ　Ｐ，ｅｔ　ａ１．　、ｌＩｚｚｙ　Ｃｏｍｐｒ０ｒｎｉｓｅ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｆｏｒ　Ｐｏｒｆｏｌｌ０　Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　．ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００６，１７３：２５１—２６４．　［４］　李荣钧＋模糊多准则决策理论与应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２００２．　［５］何树红，毛娟芳，乐晓梅，ＩＰＯ发售机制对定价效率影响的实证研究［Ｊ］云南民族大学学报：自然科学版，２００６．１５（３）：　．１９８—２０１．　（责任编辑杨多立）　２８