金融数学作业

无论是CAPM还是APT都是在市场均衡的基础上，为资本市场上的资产定价提供一个基准，这个基准衡量了该资产的内在价值，当该资产的实际价值不等于它的内在价值时，资本市场上的投资者都会通过低买高卖，使得最终的资产价格都会达到均衡，从而消除套利，由此说明两模型都可以衡量单个证券或者证券组合的内在价值。

一、 两模型的内涵：

（1）CAPM 模型是在风险资产期望收益均衡基础上的预测模型。该模型的中心思想如下：① 风险资产的收益等于无风险资产的收益与市场投资组合的风险溢价之和，高风险资产伴随着高收益。② 由于系统风险不能由分散化而消除，必然伴随着相应的风险溢价来吸引投资者；非系统性风险可以分散掉，则在定价中不起作用。③ 系统风险的大小可以用贝塔系数来衡量，一种股票的收益是与其贝塔系数成正比例关系的，其中贝塔系数是某种证券与市场组合的收益的协方差与市场组合收益的方差的比率，可看作是股票收益变动对市场组合收益变动的敏感度。

（2）APT模型是一个均衡的多因素模型，与单因素的资本资产定价模型不同，它假定证券收益受多个宏观因素（系统因素）和一个特殊因素（可分散的非系统因素）的影响，由于不同证券对多个宏观因素的敏感程度不同，所以不同的证券对应不同的收益；反之,对共同宏观因素敏感程度相同的证券或证券组合在均衡时(即对非系统风险进行分散化后) 将以相同的方式运动, 即具有相同的预期收益率。不然,“无风险套利”机会便会出现, 投资者就会大量持有该资产的头寸而不管投资者的风险厌恶程度如何, 直至机会消失。这就是套利定价理论进行资产定价的理论基础。

二、两模型的假设：

1.CAPM模型的假设

①投资者仅依据投资收益率的均值和方差做决策。即同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益率水平下，选择风险较低的证券。 ②投资者具有相同预期，即他们对预期收益率、标准差和证券之间的协方差具有相同的预期值，因此有效前沿是唯一的。

③所有投资者具有相同的单期投资日期。

④所有的证券投资可以无限制的细分，在任何一个投资组合里可以含有非整数股份。 ⑤允许无限制地卖空。

⑥存在无风险资产，可以在无风险折现率R的水平下无限制地借入或贷出资金。 ⑦买卖证券时没有税负及交易成本。 ⑧不存在通货膨胀，且折现率不变。 ⑨完全竞争。所有投资者可以及时免费获得充分的市场信息，单个投资者不能通过买卖行为影响资产价格。

2.APT多因素模型的假设

①资本市场是完全竞争的、无摩擦的、无限可分的市场。

②假设任何证券的收益率由K个共同因素Fk（k=1,2，„，K）线性决定，即

Ri=E（Ri）+bi1×F1+bi2×F2+……+biK×FK+εi

其中，cov（Fi，Fj）= cov（Fk，εj）=cov（ε

i ，

ε

j）=E（Fk）=E(

ε

i)=0 ,

E(ε

i

2

)=σi2≤σ2 , E（Fk2）=1 ( i=1,2,….,N)

对所有的k、i、j成立，N表示证券的个数。

③所有投资者对同一证券的收益具有相同的预期，因而，对资产收益的预期就是对因素载荷bik的预期。

④市场中存在充分多的资产。 ⑤证券市场不存在渐近套利机会。

三、两模型之间联系：

① CAPM和APT都提供了一个基准的证券收益率来衡量该证券的内在价值，为投资者决策提供依据。

② 都建立在假设资本市场是有效的、完善的基础之上。

③ 资本市场上所有的投资者都是理性投资者，追求效用最大化。

④ 投资者具有同质期望（即对证券分析方法相同，对经济时局的看法也一致）。

⑤ 证券收益都可以用因素模型来描述，都可以通过构造充分分散化的投资组合分散掉非系统性风险。

⑥ CAPM是APT的一个特例，CAPM模型为单因素模型，用市场投资组合作为证券收益的衡量，唯一影响证券收益的宏观因素为市场风险，单个证券或投资组合的期望收益取决于它的风险贡献度（即贝塔值）。 APT：E(ri)=rf+λ1bi（单因素） CAPM： E(Ri)－rf=βim(E(Rm)－rf)

其中bi，βim代表风险数量；λ1，(E(Rm)－rf)代表风险价格

⑦ APT为多因素模型，其中该模型中的期望收益可以由CAPM来确定

⑧ CAPM和APT都可以为证券市场上的证券定价，应用很相似，可以相互替代，这取决于投资者对其偏好。

⑨资产j对应于每个因素的敏感系数，是市场组合所对应的敏感系数的某一个倍数。

（bi1，bi2，……，bik）=βjm（bm1，bm2，……，bjk）

四、两模型之间的区别：

①两者最重要的区别在于支持均衡价格关系方面，CAPM模型认为，当证券定价违背均衡关系时，投资者改变其现有投资组合的数量是有限的，而这取决于其风险厌恶程度，这就需要将许多有限的资产组合改变集合起来，从而造成买卖股票过程中的大笔交易量，才能恢复均衡价格。而APT模型认为，当出现套利机会时，每个投资者都希望持有尽可能多的头寸，所以它不需要许多投资者就能让股价恢复均衡。因此价格在无套利观点中的含意比在风险收益均衡中更为重要。

②APT建立在无套利理论的基础上，而CAPM建立在均值方差均衡的基础上。 ③APT没有限制投资者的风险厌恶程度，CAPM假定投资者都是风险厌恶型。 ④APT是动态定价模型，而CAPM为静态定价模型（单期），因为CAPM没有考虑投资者未来收入变化，健康状况以及退休年龄对投资行为的影响。

⑤ CAPM假定投资者可以以无风险利率借贷，而APT没有这一假定 ⑥ APT中的投资组合是一个充分分散化的投资组合，在实践中可以构造，而CAPM中的组合为只有在理论上存在的市场投资组合。

⑦ CAPM为单因素模型，而APT为多因素模型。

五、CAPM模型的优点与局限性

（1）优点：

① CAPM最大的优点在于简单、明确。它把任何一种风险证券的价格都划分为三个因素：无风险收益率、风险的价格和风险的计算单位，并把这三个因素有机结合在一起。 ② CAPM的另一优点在于它的实用性。它使投资者可以根据不可分散的系统风险而不是总风险来对各种证券做出评价和选择。这种方法已经被金融市场上的投资者广为采纳，用来解决投资决策中的一般性问题。

③ CAPM在一定程度上具有对市场解释的能力,可作为投资者选择组合证券的工具，说明证券风险和收益之间存在正相关关系,能较好地解释资产定价问题,有助于判断股价是否合理,指导投资者的投资行为。 （2）局限性：

① CAPM模型将所有的系统风险都归于一个因素(市场投资组合风险)之中,忽略了其他因素诸如公司规模、账面值/市值、市盈率、现金流/价格、过去销售增长率以及财务杠杆等对单个证券收益率的影响。面对这些假设条件,即使是在较为成熟的证券市场中也不可能严格满足。因此,CAPM在各个证券市场就有适用效果的区别,也即CAPM理论同现实市场的符合程度。

② CAPM的假设前提是难以实现的。我们将CAPM的假设归纳为六个方面。假设之一是市场处于完全竞争状态。但是，实际操作中完全竞争的市场是很难实现的，“做市”时有发生。假设之二是投资者的投资期限相同且不考虑投资计划期之后的情况。但是，市场上的投资者数目众多，他们的资产持有期间不可能完全相同，而且现在进行长期投资的投资者越来越多，所以假设二也就变得不那么现实了。假设之三是投资者可以不受限制地以固定的无风险利率借贷，这一点也是很难办到的。假设之四是市场无摩擦。但实际上，市场存在交易成本、税收和信息不对称等等问题。假设之五、六是理性人假设和一致预期假设。显然，这两个假设也只是一种理想状态。

③ CAPM中的贝塔值难以确定。某些证券由于缺乏历史数据，其贝塔值不易估计。此外，由于经济的不断发展变化，各种证券的贝塔值也会产生相应的变化，因此，依靠历史数据估算出的贝塔值对未来的指导作用也要打折扣。

六、APT模型的优点与局限性

（1）优点：

① 套利定价模型的假设条件较为宽松

② 在CAPM模型中, 证券的风险只用某一证券的相对于市场组合的贝塔系数来解释, 它只能告诉投资者风险的大小, 但无法告诉投资者风险来自何处, 而在APT模型中, 证券的风险由多个因素共同来解释,而且证券收益对不同宏观因素的贝塔值不同，更加接近实际 ③ 多因素模型为风险对冲，套期保值提供了可能（例如构造因素投资组合） （2）局限性：

① 利用单因素证券市场中的无套利条件可以保持充分分散投资组合的期望收益-贝塔关系，但是少量单个证券可能会例外

② 多因素套利定价理论的一个缺点是它不能指明相关风险因素以及其风险溢价 ③ 系统风险个数越多，套利的盈利分析就越复杂，而且操作也越加复杂