最新人教版高中数学必修5第一章《解三角形》

知识建构

综合应用

专题一判断三角形的形状

正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如a＝2R·sinA将边化角，b2＋c2－a2a

利用余弦定理的推论如cosA＝把角的余弦化边，或利用sinA＝把角的正弦化

2bc2R边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，

从而得出结论．

常见结论有：设a，b，c是△ABC的角∠A，∠B，∠C的对边，①若a2＋b2＝c2，则∠C＝90°；②若a2＋b2＞c2，则∠C＜90°；③若a2＋b2＜c2，则∠C＞90°；

π

④若sin 2A＝sin 2B，则∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.

2

应用1在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形．

提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可．

应用2在△ABC中，若∠B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．

提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判断．

专题二恒等式的证明

证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决．

应用1在△ABC中，求证：

a2＋b2sin2A＋sin2B(1)2＝；

csin2C

(2)a2＋b2＋c2＝2(bccosA＋cacosB＋abcosC)．

提示：本题(1)可从左边证到右边，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；本题(2)可从右边证到左边，利用余弦定理将角的关系转化为边的关系．

应用2已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S.a2＋b2＋c2

求证：cotA＋cotB＋cotC＝.

4S

提示：解本题的关键是化切为弦，再结合余弦定理变形．专题三三角形的面积问题

求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起，是高考中的常见题型．

常用三角形面积公式：

111

(1)S△ABC＝aha＝bhb＝chc.

222

111

(2)S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB．222a＋b＋c(3)S＝pp－ap－bp－c(其中p＝)．

2

2

应用在△ABC中，sinA＋cosA＝，AC＝2，AB＝3，求tanA的值和△ABC的面积．

2提示：由已知可把角A算出来，再求tanA，并求出sinA，直接代入面积公式即可求面积．

专题四正、余弦定理的综合应用

以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型．在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，也要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化解题的目的．

cosC2a－c

应用1在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且＝.

cosBb(1)求cosB的值；

(2)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面积．

提示：(1)先利用正弦定理化简，再用三角变换整理即得．(2)利用余弦定理及面积公式，再注意整体求ac的技巧．

应用2在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2csinA．(1)确定角C的大小；

33

(2)若c＝7，且△ABC的面积为，求a＋b的值．

2

提示：(1)利用正弦定理将边转化为角即可；

(2)利用余弦定理和面积公式列出关于a，b的方程求解，注意整体技巧．专题五正、余弦定理在实际问题中的应用

解决有关三角形的应用问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，这一程序可用框图表示为：

抽象推理还原

实际问题――→解三角形问题――→三角形问题的解――→实际问题的解

概括

演算

应用1如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧

远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD．

提示：要测出高CD，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可．根据已知条件，可以计算出BC的长．

应用2如图，某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？

提示：在求解三角形中，可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

真题放送1．(2011·天津高考)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为()．

3

A．

33B．

66C．

36D．

6

2．(2011·福建高考)若△ABC的面积为3，BC＝2，∠C＝60°，则边AB的长度等于__________．

→→

3．(2011·上海高考)在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB＝3，BD＝1，则AB·AD＝______.

4．(2011·湖南高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC．

(1)求角C的大小；

π

(2)求3sinA－cos(B＋)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

4

5．(2011·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b

1

＝2，cosC＝.

4

(1)求△ABC的周长；(2)求cos(A－C)的值．

6．(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinA sinB＋bcos2A＝2a.

b(1)求；

a

(2)若c2＝b2＋3a2，求∠B．

7．(2011·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC12

＝psinB(p∈R)，且ac＝b.

4

5

(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；

4

(2)若角B为锐角，求p的取值范围．答案：综合应用专题一

应用1：钝角∵sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，根据正弦定理，得a∶b∶c＝2∶3∶4.

设a＝2m，b＝3m，c＝4m(m＞0),∵c＞b＞a，∴∠C＞∠B＞∠A.

a2＋b2－c24m2＋9m2－16m21

∴cosC＝＝＝－＜0.

2ab42×2m×3m

∴∠C是钝角.∴△ABC是钝角三角形．

应用2：解：解法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC.∵∠B＝60°，∴∠A＋∠C＝120°.∴∠A＝120°－∠C，代入上式，得2sin 60°＝sin (120°－C)＋sinC，

31

展开，整理得sinC＋cosC＝1.

22

∴sin(C＋30°)＝1.∴∠C＋30°＝90°.∴∠C＝60°.故∠A＝60°.∴△ABC为等边三角形．

解法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.

a＋c

∵∠B＝60°，b＝，

2

a＋c∴()2＝a2＋c2－2accos 60°.

2

整理，得(a－c)2＝0，∴a＝c.从而a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．专题二

abc

应用1：证明：(1)由正弦定理，设＝＝＝k，

sinAsinBsinC

k2sin2A＋k2sin2Bsin2A＋sin2B

显然k≠0，所以，左边＝＝＝右边，即原等式成立．

k2sin2Csin2Cb2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c2

(2)根据余弦定理，右边＝2(bc·＋ca·＋ab·)＝(b2＋c2－a2)

2bc2ca2ab

＋(c2＋a2－b2)＋(a2＋b2－c2)＝a2＋b2＋c2＝左边，即原等式成立．

b2＋c2－a2cosAb2＋c2－a2

应用2：证明：由余弦定理，得cosA＝，所以cotA＝＝＝

2bcsinA2bcsinA

b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2

，同理可得cotB＝，cotC＝，所以cotA＋cotB＋cotC＝4S4S4Sb2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2a2＋b2＋c2

＋＋＝.4S4S4S4S专题三

2

应用：解：∵sinA＋cosA＝2cos (A－45°)＝，

2

1

∴cos (A－45°)＝.

2

又∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝105°.

tan 45°＋tan 60°

∴tanA＝tan (45°＋60°)＝＝－2－3，

1－tan 45°tan 60°

2＋6

sinA＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝.

4

又∵AC＝2，AB＝3，

2＋6311

∴S△ABC＝AC·AB·sinA＝×2×3×＝(2＋6)．

2244

专题四

cosC2a－c2sinA－sinC

应用1：解：(1)由＝＝，得

cosBbsinB

cosC·sinB＝2sinA·cosB－cosB·sinC.∴2sinA·cosB＝sinB·cosC＋cosB·sinC＝sin (B＋C)＝sin(π－A)＝sinA.

1

∵sinA≠0，∴cosB＝.

2

(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝7，又a＋c＝4，∴(a＋c)2－3ac＝7.∴ac＝3.

11333

∴S△ABC＝acsinB＝×3×＝.

2224

应用2：解：(1)由3a＝2csinA及正弦定理，得a2sinAsinA＝＝.csinC3

3

∵sinA≠0，∴sinC＝.

2

∵△ABC是锐角三角形，

π

∴∠C＝.

3

π

(2)∵c＝7，∠C＝.由面积公式，得

3

π331

absin＝，∴ab＝6.①232

π

222由余弦定理，得c＝a＋b－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7.②

3

由①②，得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.专题五

应用1：解：在△ABC中，∠BAC＝15°，∠ACB＝25°－15°＝10°.根据正弦定理，

ABsin∠BAC5sin 15°

得BC＝＝≈7.452 4(km)，

sin 10°sin∠ACB

CD＝BCtan∠DBC＝BC×tan 8°≈1.047 (km)．答：山的高度约为1.047 km.

应用2：解：设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB＝10x，AB＝14x，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°，

∴(14x)2＝92＋(10x)2－2×9×10xcos 120°，化简，得32x2－30x－27＝0.

39

解得x＝或x＝－(舍去)．

216

∴BC＝10x＝15，AB＝14x＝21.

BCsin 120°15353

又∵sin∠BAC＝＝×＝，

AB21214

∴∠BAC＝38°13′或∠BAC＝141°47′(钝角不合题意，舍去)．∴38°13′＋45°＝83°13′.

答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时才能追赶上该走私船．真题放送

3

1．D设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.

2

在△ABD中，由余弦定理，得

32322(a)＋(a)－a22222AB＋AD－BD1

cosA＝＝＝.

2AB·AD333

2×a·a

22

22

又∵∠A为△ABC的内角，∴sinA＝.

3

BCAB

在△ABC中，由正弦定理，得＝.

sinAsinC

3a

222AB6

∴sinC＝·sinA＝·＝.

BC2a36

113

2．2在△ABC中，由面积公式得S＝BC·CA·sinC＝×2·AC·sin60°＝AC＝3，∴AC

222

122222＝2.再由余弦定理，得AB＝BC＋AC－2·AC·BC·cosC＝2＋2－2×2×2×＝4.∴AB＝2.2

153．

2

如图，在△ABD中，由余弦定理得

AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 60°＝9＋1－2×3×cos 60°＝7，∴AD＝7，

AB2＋AD2－BD29＋7－15

∴cos∠BAD＝＝＝.

2AB·AD2×3×727

515

ABADABAD于是，·＝||||cos∠BAD＝3×7×＝.

272

4．解：(1)因为csinA＝acosC，由正弦定理，得sinCsinA＝sinAcosC.因为0＜A＜π，所以sinA＞0.从而sinC＝cosC.

π

又cosC≠0，所以tanC＝1，则∠C＝.

4

3π

(2)由(1)知，B＝－A.于是

4π

3sinA－cos(B＋)

4

＝3sinA－cos(π－A)＝3sinA＋cosA

π

＝2sin(A＋)．

63πππ11π

因为0＜A＜，所以＜A＋＜.

46612ππππ

从而当A＋＝，即A＝时，2sin(A＋)取最大值2.

6236

ππ5π

综上所述，3sinA－cos(B＋)的最大值为2，此时∠A＝，∠B＝.

4312

12225．解：(1)∵c＝a＋b－2abcosC＝1＋4－4×＝4，4

∴c＝2.

∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.

1

(2)∵cosC＝，

4

12152∴sinC＝1－cosC＝1－()＝.44

1asinC15

∴sinA＝＝＝.

c28

∵a＜c，∴∠A＜∠C.故∠A为锐角．

1527

∴cosA＝1－()＝.

88

∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC71151511＝×＋×＝.848416

6．解：(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.

b

故sinB＝2sinA，所以＝2.

a

(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，

(1＋3)a

得cosB＝.

2c

由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.

122可得cosB＝，又cosB＞0，故cosB＝，22

所以∠B＝45°.

5a＋c＝，

4

7．解：(1)由题设和正弦定理，得

1ac＝，

4

1－sin2A＝



1a＝1，a＝，

解得1或4

c＝4，c＝1.

(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos

B＝(a＋c)2－2ac－2accos

B＝p2b2－

1212

b－bcosB，22

即p2＝

31

＋cosB，22

p2∈(

3

，2)．2

因为0＜cosB＜1，得

6

由题设知p＞0，所以＜p＜2.

2