2015-2016学年贵州省遵义航天高中高三(上)第一次模拟数学试卷(文科)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知集合A={1,2},B={x|ax﹣3=0},若B⊆A,则实数a的值是( ) A.0,,3 B.0,3 C.,3 D.3
2.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框图可填入的条件是( )
A.s≤ B.s≤ C.s≤ D.s≤
3.函数
的图象大致是( ) A. B. C.
D.
4.在边长为1的正三角形ABC中,设
=2
,=λ
,若
=﹣,则λ的值为( .....
)
.
A. B.2 C. D.3
5.已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是边长为1的正方形,俯视图是腰长为1的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )
A.2
6.若a,b是函数f(x)=x﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9
7.某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( ) A.100 B.150 C.200 D.250
8.已知ω>0,函数范围是( ) A.
B.
C.
D.(0,2] 在
上单调递减.则ω的取值
2
B.1 C. D.
9.设α、β、γ为平面,m、n、l为直线,则m⊥β的一个充分条件是( ) A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l B.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ C.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α D.n⊥α,n⊥β,m⊥α
10.已知函数f(x)=
且f(a)=﹣3,则f(6﹣a)=( )
A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣
.....
.
11.设直线x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于
点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是( ) A.
B.
C.
D.
+1
12.设f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x)+xf′(x)>0,且f(1)=0,则不等式xf(x)>0的解集为( ) A.(﹣1,0)∪(1,+∞) B.(﹣1,0)∪(0,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
二、填空题(每小题5分,共20分) 13.已知向量为 .
14.若“∀x∈[0,
15.已知实数x,y均大于零,且x+2y=4,则log2x+log2y的最大值为 .
16.如图,已知圆M:(x﹣3)+(y﹣3)=4,四边形ABCD为圆M的内接正方形,E、F分别为AB、AD的中点,当正方形ABCD绕圆心M转动时,
的最大值是 .
2
2
满足||=,||=2,|+|=,则向量与夹角的余弦值
],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为 .
三、解答题(17~21小题,每小题12分;22~24为选做题,共10分) 17.(12分)(2015•太原一模)已知a,b,c分别是△ABC的角A,B,C所对的边,且c=2,C=
.
(1)若△ABC的面积等于,求a,b;
(2)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求A的值.
.....
.
18.(12分)(2010•宣武区一模)某校高三年级有男生105人,女生126人,教师42人,用分层抽样的方法从中抽取13人,进行问卷调查.设其中某项问题的选择支为“同意”,“不同意”两种,且每人都做了一种选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.
(Ⅰ)请完成此统计表;
(Ⅱ)试估计高三年级学生“同意”的人数; (Ⅲ)从被调查的女生中选取2人进行访谈,求选到的两名学生中,恰有一人“同意”一人“不同意的概率.”
19.(12分)(2015•宜宾模拟)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点. (1)求证:直线AB1∥平面BC1D; (2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A; (3)求三棱锥C﹣BC1D的体积.
20.(12分)(2015•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
+
=1(a>b>0)
的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程; (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
21.(12分)(2014春•禅城区校级期中)已知函数f(x)=lnx﹣kx+1.求: (1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围.
.....
.
四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所作的第一题计分.作答时请写清题号. 22.(10分)(2015•江西模拟)如图,直线PQ与⊙O相切于点A,AB是⊙O的弦,∠PAB的平分线AC交⊙O于点C,连结CB,并延长与直线 PQ相交于点Q. (Ⅰ)求证:QC•BC=QC﹣QA;
(Ⅱ)若 AQ=6,AC=5.求弦AB的长.
2
2
23.(2015•陕西)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原
点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ. (Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;
(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标. 24.(2015•贵州模拟)选修4﹣5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x﹣a|+|x﹣1|.
(1)当a=3时,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若f(x)≥5﹣x对∀x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
2015-2016学年贵州省遵义航天高中高三(上)第一次模拟数学试卷(文科)
参与试题解析
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知集合A={1,2},B={x|ax﹣3=0},若B⊆A,则实数a的值是( ) A.0,,3 B.0,3 C.,3 D.3
考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合.
分析: 本题考察集合间的包含关系,分成B=∅,B={1},或B={2}讨论,求解即可.
.....
.
解答: 解:集合A={1,2},若B⊆A,则B=∅,B={1},或B={2}; ①当B=∅时,a=0,
②当B={1}时,a﹣3=0,解得a=3, ③当B={2}时,2a﹣3=0,解得a=, 综上,a的值是0,3,,
故选:A.
点评: 本题容易忽略B=∅的情况.
2.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框图可填入的条件是( )
A.s≤ B.s≤ C.s≤
D.s≤
考点: 循环结构.
专题: 图表型;算法和程序框图.
分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k,S的值,当S>输出k的值为8,故判断框图可填入的条件是S
.
时,退出循环,
解答: 解:模拟执行程序框图,k的值依次为0,2,4,6,8, 因此S=因此可填:S
(此时k=6), .
故选:C.
点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键. 3.函数
的图象大致是( )
.....
.
A. B. C.
D.
考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 数形结合.
分析: 由已知中函数的解析式,我们利用导数法,可以判断出函数
的单调性及最大值,进而分析四个答案中的图象,即可得到答案. 解答: 解:∵∴
(x>0)
(x>0)
则当x∈(0,1)时,f′(x)>0,函数f(x)为增函数; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)为减函数; 当x=1时,f(x)取最大值,f(1)=
;
故选B
点评: 本题考查的知识点是函数的图象与性质,其中利用导数分析出函数的性质,是解答本题的关键.
4.在边长为1的正三角形ABC中,设A.
B.2
C.
D.3
=2,=λ,若=﹣,则λ的值为( )
考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由示出
和
=2
确定点D是BC的中点,根据向量加法、减法、数乘运算,用
=﹣,即可求出λ的值.
、
表
,由条件和数量积的运算化简
解答: 解:由题意画出图象如右图: ∵
=2
,
=
,
∴D为BC的中点,则∵
.....
=λ,
.
∴则∵∴
==﹣,
•[﹣﹣
, ﹣
=
﹣
,
﹣
+++
]=, ﹣=
, ,
=
解得λ=3, 故选:D.
点评: 本题考查向量的数量积的运算,以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义,属于中档题.
5.已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是边长为1的正方形,俯视图是腰长为1的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )
A.2
B.1
C.
D.
考点: 由三视图求面积、体积.
专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱;结合图中数据求出它的体积.
解答: 解:根据几何体的三视图,得 该几何体是如图所示的直三棱柱;
.....
.
且该三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形1,高为1; 所以,该三棱柱的体积为 V=Sh=×1×1×1=. 故选:C.
点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了空间想象能力的应用问题,是基础题目.
6.若a,b是函数f(x)=x﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9
考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.
分析: 由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p,ab=q,再由a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列列关于a,b的方程组,求得a,b后得答案.
解答: 解:由题意可得:a+b=p,ab=q, ∵p>0,q>0, 可得a>0,b>0,
又a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,
2
可得解①得:
①或;解②得:
②. .
∴p=a+b=5,q=1×4=4, 则p+q=9. 故选:D.
点评: 本题考查了一元二次方程根与系数的关系,考查了等差数列和等比数列的性质,是基础题.
7.某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( ) A.100 B.150 C.200 D.250 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计.
分析: 计算分层抽样的抽取比例和总体个数,利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值.
.....
.
解答: 解:分层抽样的抽取比例为总体个数为3500+1500=5000, ∴样本容量n=5000×
=100.
=,
故选:A.
点评: 本题考查了分层抽样方法,熟练掌握分层抽样方法的特征是关键.
8.已知ω>0,函数范围是( ) A.
B.
C.
D.(0,2]
在上单调递减.则ω的取值
考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
专题: 计算题;压轴题.
分析: 法一:通过特殊值ω=2、ω=1,验证三角函数的角的范围,排除选项,得到结果. 法二:可以通过角的范围,直接推导ω的范围即可. 解答: 解:法一:令:
合题意 排除(B)(C)
法二:
,
得:
.
不合题意 排除(D)
故选A.
点评: 本题考查三角函数的单调性的应用,函数的解析式的求法,考查计算能力.
9.设α、β、γ为平面,m、n、l为直线,则m⊥β的一个充分条件是( ) A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l B.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ C.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α D.n⊥α,n⊥β,m⊥α 考点: 直线与平面垂直的判定. 专题: 证明题;转化思想.
分析: 根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确,根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确,根据垂直于同一直线的两平面平行,以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面,可知选项D正确.
解答: 解:α⊥β,α∩β=l,m⊥l,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件m⊂α,故不正确;
α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ,而α与β可能平行,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确; α⊥γ,β⊥γ,m⊥α,而α与β可能平行,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确; n⊥α,n⊥β,⇒α∥β,而m⊥α,则m⊥β,故正确 故选D
.....
.
点评: 本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力,属于基础题.
10.已知函数f(x)=
且f(a)=﹣3,则f(6﹣a)=( )
A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣
考点: 分段函数的应用;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用.
分析: 由f(a)=﹣3,结合指数和对数的运算性质,求得a=7,再由分段函数求得f(6﹣a)的值.
解答: 解:函数f(x)=
a﹣1
a﹣1
且f(a)=﹣3,
若a≤1,则2﹣2=﹣3,即有2=﹣1<0,方程无解; 若a>1,则﹣log2(a+1)=﹣3,解得a=7, 则f(6﹣a)=f(﹣1)=2
﹣1﹣1
﹣2=﹣.
故选:A.
点评: 本题考查分段函数的运用:求函数值,主要考查指数和对数的运算性质,属于中档题.
11.设直线x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线
﹣
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于
点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是( ) A.
B.
C.
D.
+1
考点: 双曲线的简单性质.
专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求出A,B的坐标,可得AB中点坐标为(
,
),利用点P
(m,0)满足|PA|=|PB|,可得=﹣3,从而可求双曲线的离心率.
解答: 解:由双曲线的方程可知,渐近线为y=±x, 分别与x﹣3y+m=0(m≠0)联立,解得A(﹣
,﹣
),B(﹣
,
),
.....
.
∴AB中点坐标为(,),
∵点P(m,0)满足|PA|=|PB|,
∴=﹣3,
∴a=2b,
∴c=b, ∴e==
.
故选:A.
点评: 本题考查双曲线的离心率,考查直线与双曲线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
12.设f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x)+xf′(x)>0,且f(1)=0,则不等式xf(x)>0的解集为( ) A.(﹣1,0)∪(1,+∞) B.(﹣1,0)∪(0,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
考点: 函数奇偶性的性质;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题.
分析: 由题意构造函数g(x)=xf (x),再由导函数的符号判断出函数g(x)的单调性,由函数f(x)的奇偶性得到函数g(x)的奇偶性,由f(1)=0得g(1)=0、还有g(﹣1)=0,再通过奇偶性进行转化,利用单调性求出不等式得解集. 解答: 解:设g(x)=xf(x),则g'(x)=[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)=xf′(x)+f(x)>0,
∴函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数, ∵f(x)是定义在R上的偶函数, ∴g(x)=xf(x)是R上的奇函数,
∴函数g(x)在区间(﹣∞,0)上是增函数, ∵f(1)=0, ∴f(﹣1)=0;
即g(﹣1)=0,g(1)=0
∴xf(x)>0化为g(x)>0,
设x>0,故不等式为g(x)>g(1),即1<x; 设x<0,故不等式为g(x)>g(﹣1),即﹣1<x<0. 故所求的解集为(﹣1,0)∪(1,+∞) 故选A.
点评: 本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性,利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化,注意函数值为零的自变量的取值.
二、填空题(每小题5分,共20分)
.....
.
13.已知向量
.
满足||=,||=2,|+|=,则向量与夹角的余弦值为
考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.
分析: 把|+|=解答: 解:由||=
,即
∴3+2×即故答案为:
.
两边平方,然后代入数量积公式求得向量,||=2,|+|=
,得 ,
+4=5,
.
与夹角的余弦值.
点评: 本题考查平面向量的数量积运算,关键是对数量积公式的记忆与运用,是基础题.
14.若“∀x∈[0,
],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为 1 .
考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 分析: 求出正切函数的最大值,即可得到m的范围.
解答: 解:“∀x∈[0,],tanx≤m”是真命题,
可得tanx≤1,所以,m≥1, 实数m的最小值为:1. 故答案为:1.
点评: 本题考查函数的最值的应用,命题的真假的应用,考查计算能力.
15.已知实数x,y均大于零,且x+2y=4,则log2x+log2y的最大值为 1 .
考点: 基本不等式在最值问题中的应用;基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用.
分析: 利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出. 解答: 解:∵实数x,y>0,且x+2y=4,
∴4≥2,化为xy≤2,当且仅当x=2y=2时取等号. 则log2x+log2y=log2(xy)≤log22=1. 因此log2x+log2y的最大值是1. 故答案为:1.
.....
.
点评: 本题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性,属于基础题.
16.如图,已知圆M:(x﹣3)+(y﹣3)=4,四边形ABCD为圆M的内接正方形,E、F分别为AB、AD的中点,当正方形ABCD绕圆心M转动时,
的最大值是 6 .
2
2
考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.
分析: 由题意可得
=
求得
. =6cos<
,
=+.由 ME⊥MF,可得=0,从而
>,从而求得=
,∴=
=.
的最大值.
=
+
.
解答: 解:由题意可得∵ME⊥MF,∴
=0,∴
由题意可得,圆M的半径为2,故正方形ABCD的边长为2再由OM=3即
,可得
,
=>,故
•3
•cos<
,
,故ME=
,
, >,
>=6cos<
=6cos<的最大值是大为6,
故答案为 6.
点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,余弦函数的值域, 属于中档题.
三、解答题(17~21小题,每小题12分;22~24为选做题,共10分) 17.(12分)(2015•太原一模)已知a,b,c分别是△ABC的角A,B,C所对的边,且c=2,C=
.
(1)若△ABC的面积等于,求a,b;
(2)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求A的值.
考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形.
.....
.
分析: (1)c=2,C=三角形面积计算公式
,由余弦定理可得:c=a+b﹣2abcosC,即4=a+b﹣ab,利用
=
,即ab=4.联立解出即可.
22222
(2)由sinC=sin(B+A),sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,可得2sinBcosA=4sinAcosA.当cosA=0时,解得A=
;当cosA≠0时,sinB=2sinA,由正弦定理可得:b=2a,联立解得即可.
,由余弦定理可得:c=a+b﹣2abcosC,
2
2
2
解答: 解:(1)∵c=2,C=∴4=a+b﹣ab, ∵
=
2
2
,化为ab=4.
联立,解得a=2,b=2.
(2)∵sinC=sin(B+A),sinC+sin(B﹣A)=2sin2A, ∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=2sin2A, 2sinBcosA=4sinAcosA, 当cosA=0时,解得A=
;
当cosA≠0时,sinB=2sinA, 由正弦定理可得:b=2a, 联立∴b=a+c, ∴又
, ,∴
. 或
.
2
2
2
,解得,b=,
综上可得:A=
点评: 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式,考查了分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18.(12分)(2010•宣武区一模)某校高三年级有男生105人,女生126人,教师42人,用分层抽样的方法从中抽取13人,进行问卷调查.设其中某项问题的选择支为“同意”,“不同意”两种,且每人都做了一种选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.
(Ⅰ)请完成此统计表;
.....
.
(Ⅱ)试估计高三年级学生“同意”的人数; (Ⅲ)从被调查的女生中选取2人进行访谈,求选到的两名学生中,恰有一人“同意”一人“不同意的概率.”
考点: 古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法. 专题: 计算题;应用题.
分析: (I)根据所给的男生105人,女生126人,教师42人,用分层抽样的方法从中抽取13人,得到女生男生和教师共需抽取的人数,根据表中所填写的人数,得到空着的部分.
(II)根据由表格可以看出女生同意的概率是,男生同意的概率是,用男女生同意的概率乘以人数,得到同意的结果数.
(III)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数和满足条件的事件数,可以通过列举得到结果,然后根据古典概型概率公式得到结果. 解答: 解:(I)被调查人答卷情况统计表:
(II)∵由表格可以看出女生同意的概率是,男生同意的概率是, 用男女生同意的概率乘以人数,得到同意的结果数
(人)
(III)设“同意”的两名学生编号为1,2, “不同意”的四名学生分别编号为3,4,5,6, 选出两人则有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种方法; 其中(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4), (2,5),(2,6),8种满足题意, 则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为
.
点评: 本题考查古典概型,考查分层抽样,考查用列举法得到事件数,是一个综合题目,但是题目应用的原理并不复杂,是一个送分题目.
19.(12分)(2015•宜宾模拟)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点. (1)求证:直线AB1∥平面BC1D; (2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A; (3)求三棱锥C﹣BC1D的体积.
.....
.
考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)连接B1C交BC1于点O,连接OD,则点O为B1C的中点.可得DO为△AB1C中位线,A1B∥OD,结合线面平行的判定定理,得A1B∥平面BC1D;
(2)由AA1⊥底面ABC,得AA1⊥BD.正三角形ABC中,中线BD⊥AC,结合线面垂直的判定定理,得BD⊥平面ACC1A1,最后由面面垂直的判定定理,证出平面BC1D⊥平面ACC1A;
(3)利用等体积转换,即可求三棱锥C﹣BC1D的体积.
解答: (1)证明:连接B1C交BC1于点O,连接OD,则点O为B1C的中点. ∵D为AC中点,得DO为△AB1C中位线, ∴A1B∥OD.
∵OD⊂平面AB1C,A1B⊄平面BC1D, ∴直线AB1∥平面BC1D;
(2)证明:∵AA1⊥底面ABC, ∴AA1⊥BD,
∵底面ABC正三角形,D是AC的中点 ∴BD⊥AC
∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面ACC1A1,
∵BD⊂平面BC1D,∴平面BC1D⊥平面ACC1A;
(3)解:由(2)知,△ABC中,BD⊥AC,BD=BCsin60°=3∴S△BCD=
=
, •6=9
.
,
∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=•
点评: 本题给出直三棱柱,求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积,着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质,考查了锥体体积公式的应用,属于中档题.
.....
.
20.(12分)(2015•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)
的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程; (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: (1)运用离心率公式和准线方程,可得a,c的方程,解得a,c,再由a,b,c的关系,可得b,进而得到椭圆方程;
(2)讨论直线AB的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.
解答: 解:(1)由题意可得,e==且c+
=3,解得c=1,a=
, +y=1;
2
,
则b=1,即有椭圆方程为
(2)当AB⊥x轴,AB=,CP=3,不合题意; 当AB与x轴不垂直,设直线AB:y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),
2222
将AB方程代入椭圆方程可得(1+2k)x﹣4kx+2(k﹣1)=0, 则x1+x2=
,x1x2=
,
则C(,),且|AB|=•=,
若k=0,则AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意; 则k≠0,故PC:y+
=﹣(x﹣
),P(﹣2,
),
从而|PC|=,
.....
.
由|PC|=2|AB|,可得=,解得k=±1,
此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题. 21.(12分)(2014春•禅城区校级期中)已知函数f(x)=lnx﹣kx+1.求: (1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围.
考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用.
分析: (1)由函数f(x)的定义域为(0,+∞),而f′(x)=﹣k.能求出函数f(x)的单调区间.
(2)由(1)知k≤0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数,而f(1)=1﹣k>0,f(x)≤0不成立,故k>0,又由(1)知f(x)的最大值为f(),由此能确定实数k的取值范围. 解答: 解答:解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=﹣k. 当k≤0时,f′(x)=﹣k>0, f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当k>0时,若x∈(0,)时,有f′(x)>0, 若x∈(,+∞)时,有f′(x)<0,
则f(x)在(0,)上是增函数,在(,+∞)上是减函数. (2)由(1)知k≤0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数, 而f(1)=1﹣k>0,f(x)≤0不成立,故k>0,
又由(1)知f(x)的最大值为f(),要使f(x)≤0恒成立, 则f()≤0即可,即﹣lnk≤0,得k≥1.
点评: 本题考查函数单调区间的求法,确定实数的取值范围,渗透了分类与整合的数学思想,培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识.
四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所作的第一题计分.作答时请写清题号. 22.(10分)(2015•江西模拟)如图,直线PQ与⊙O相切于点A,AB是⊙O的弦,∠PAB的平分线AC交⊙O于点C,连结CB,并延长与直线 PQ相交于点Q.
22
(Ⅰ)求证:QC•BC=QC﹣QA;
.....
.
(Ⅱ)若 AQ=6,AC=5.求弦AB的长.
考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 立体几何.
分析: (1)由已知得∠BAC=∠CBA,从而AC=BC=5,由此利用切割线定理能证明
QC•BC=QC﹣QA.
(2)由已知求出QC=9,由弦切角定理得∠QAB=∠ACQ,从而△QAB∽△QCA,由此能求出AB的长.
解答: (本小题满分10分)选修4﹣1:几何证明选讲 1 证明:(1)∵PQ与⊙O相切于点A,∴∠PAC=∠CBA, ∵∠PAC=∠BAC,∴∠BAC=∠CBA, ∴AC=BC=5, 由切割线定理得:
QA=QB•QC=(QC﹣BC)•QC,
22
∴QC•BC=QC﹣QA.(5分) (2)由AC=BC=5,AQ=6 及(1),知QC=9, ∵直线PQ与⊙O相切于点A,AB是⊙O的弦, ∴∠QAB=∠ACQ,又∠Q=∠Q, ∴△QAB∽△QCA, ∴
=
,∴AB=
.(10分)
2
22
点评: 本题考查等式的证明,考查与圆有关的线段长的求法,是中档题,解题时要认真审
题,注意切割线定理、弦切角定理的合理运用.
23.(2015•陕西)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原
点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ. (Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;
(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
考点: 点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 坐标系和参数方程.
.....
.
分析: (I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2代入即可得出;. (II)设P|PC|=
,又C
sinθ.化为ρ=2
2
,把
.利用两点之间的距离公式可得
,再利用二次函数的性质即可得出.
sinθ.
解答: 解:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2∴ρ=2配方为(II)设P∴|PC|=
2
,化为x+y=
=3.
,又C
22
,
.
=
≥2
,
因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P(3,0).
点评: 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 24.(2015•贵州模拟)选修4﹣5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x﹣a|+|x﹣1|.
(1)当a=3时,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若f(x)≥5﹣x对∀x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
考点: 绝对值不等式的解法;带绝对值的函数. 专题: 不等式的解法及应用.
分析: (Ⅰ)a=3时,即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2.分①当时,②当时,③
当x≤1时,三种情况,分别去掉绝对值求得不等式的解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ)即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立,令
意可得函数y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数g(x)的图象的上方, 数形结合可求得a的范围. 解答: 解:(Ⅰ)a=3时,即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2. ①当②当
时,不等式即 2x﹣3+x﹣1≥2,解得 x≥2.
时,不等式即3﹣2x+x﹣1≥2,∴2﹣x≥2,∴x<0.
,由题
③当x≤1时,3﹣2x+1﹣x≥2,解得3x≤2,即 x≤. ∴综上,解集为
.…(5分)
.....
.
(Ⅱ)即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立 令
,则由函数g(x)的图象可得它的最大值为4,
故函数y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数g(x)的图象的上方,数形结合可得即a的范围是[6,+∞).…(10分)
,∴a≥6,
点评: 本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,体现了等价转化、分类讨论和数形结合的数学思想,属于中档题.
.....
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