贵州遵义航天高中2016届高三上学期第-次模拟数学(文)试题

2015-2016学年贵州省遵义航天高中高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（ ） A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．3

2．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）

A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤

3．函数

的图象大致是（ ） A． B． C．

D．

4．在边长为1的正三角形ABC中，设

=2

，=λ

，若

=﹣，则λ的值为（ .....

）

.

A． B．2 C． D．3

5．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）

A．2

6．若a，b是函数f（x）=x﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9

7．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ） A．100 B．150 C．200 D．250

8．已知ω＞0，函数范围是（ ） A．

B．

C．

D．（0，2] 在

上单调递减．则ω的取值

2

B．1 C． D．

9．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（ ） A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α

10．已知函数f（x）=

且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=（ ）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣

.....

.

11．设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于

点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是（ ） A．

B．

C．

D．

+1

12．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ） A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

二、填空题（每小题5分，共20分） 13．已知向量为 ．

14．若“∀x∈[0，

15．已知实数x，y均大于零，且x+2y=4，则log2x+log2y的最大值为 ．

16．如图，已知圆M：（x﹣3）+（y﹣3）=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，

的最大值是 ．

2

2

满足||=，||=2，|+|=，则向量与夹角的余弦值

]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 ．

三、解答题（17～21小题，每小题12分；22～24为选做题，共10分） 17．（12分）（2015•太原一模）已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=

．

（1）若△ABC的面积等于，求a，b；

（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．

.....

.

18．（12分）（2010•宣武区一模）某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

（Ⅰ）请完成此统计表；

（Ⅱ）试估计高三年级学生“同意”的人数； （Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意的概率．”

19．（12分）（2015•宜宾模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点． （1）求证：直线AB1∥平面BC1D； （2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A； （3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．

20．（12分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）

的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．

（1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．

21．（12分）（2014春•禅城区校级期中）已知函数f（x）=lnx﹣kx+1．求： （1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．

.....

.

四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）（2015•江西模拟）如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线 PQ相交于点Q． （Ⅰ）求证：QC•BC=QC﹣QA；

（Ⅱ）若 AQ=6，AC=5．求弦AB的长．

2

2

23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原

点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ． （Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；

（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标． 24．（2015•贵州模拟）选修4﹣5：不等式选讲 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|．

（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；

（2）若f（x）≥5﹣x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

2015-2016学年贵州省遵义航天高中高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（ ） A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．3

考点： 集合的包含关系判断及应用． 专题： 集合．

分析： 本题考察集合间的包含关系，分成B=∅，B={1}，或B={2}讨论，求解即可．

.....

.

解答： 解：集合A={1，2}，若B⊆A，则B=∅，B={1}，或B={2}； ①当B=∅时，a=0，

②当B={1}时，a﹣3=0，解得a=3， ③当B={2}时，2a﹣3=0，解得a=， 综上，a的值是0，3，，

故选：A．

点评： 本题容易忽略B=∅的情况．

2．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）

A．s≤ B．s≤ C．s≤

D．s≤

考点： 循环结构．

专题： 图表型；算法和程序框图．

分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S

．

时，退出循环，

解答： 解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8， 因此S=因此可填：S

（此时k=6）， ．

故选：C．

点评： 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键． 3．函数

的图象大致是（ ）

.....

.

A． B． C．

D．

考点： 对数函数的图像与性质． 专题： 数形结合．

分析： 由已知中函数的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数

的单调性及最大值，进而分析四个答案中的图象，即可得到答案． 解答： 解：∵∴

（x＞0）

（x＞0）

则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数； 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数； 当x=1时，f（x）取最大值，f（1）=

；

故选B

点评： 本题考查的知识点是函数的图象与性质，其中利用导数分析出函数的性质，是解答本题的关键．

4．在边长为1的正三角形ABC中，设A．

B．2

C．

D．3

=2，=λ，若=﹣，则λ的值为（ ）

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由示出

和

=2

确定点D是BC的中点，根据向量加法、减法、数乘运算，用

=﹣，即可求出λ的值．

、

表

，由条件和数量积的运算化简

解答： 解：由题意画出图象如右图： ∵

=2

，

=

，

∴D为BC的中点，则∵

.....

=λ，

.

∴则∵∴

==﹣，

•[﹣﹣

， ﹣

=

﹣

，

﹣

+++

]=， ﹣=

， ，

=

解得λ=3， 故选：D．

点评： 本题考查向量的数量积的运算，以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义，属于中档题．

5．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）

A．2

B．1

C．

D．

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱；结合图中数据求出它的体积．

解答： 解：根据几何体的三视图，得 该几何体是如图所示的直三棱柱；

.....

.

且该三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形1，高为1； 所以，该三棱柱的体积为 V=Sh=×1×1×1=． 故选：C．

点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．

6．若a，b是函数f（x）=x﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9

考点： 等比数列的性质；等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．

解答： 解：由题意可得：a+b=p，ab=q， ∵p＞0，q＞0， 可得a＞0，b＞0，

又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，

2

可得解①得：

①或；解②得：

②． ．

∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故选：D．

点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．

7．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ） A．100 B．150 C．200 D．250 考点： 分层抽样方法． 专题： 概率与统计．

分析： 计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．

.....

.

解答： 解：分层抽样的抽取比例为总体个数为3500+1500=5000， ∴样本容量n=5000×

=100．

=，

故选：A．

点评： 本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．

8．已知ω＞0，函数范围是（ ） A．

B．

C．

D．（0，2]

在上单调递减．则ω的取值

考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果． 法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可． 解答： 解：法一：令：

合题意 排除（B）（C）

法二：

，

得：

．

不合题意 排除（D）

故选A．

点评： 本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．

9．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（ ） A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α 考点： 直线与平面垂直的判定． 专题： 证明题；转化思想．

分析： 根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．

解答： 解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；

α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确； α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确； n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确 故选D

.....

.

点评： 本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．

10．已知函数f（x）=

且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=（ ）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣

考点： 分段函数的应用；函数的零点． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．

解答： 解：函数f（x）=

a﹣1

a﹣1

且f（a）=﹣3，

若a≤1，则2﹣2=﹣3，即有2=﹣1＜0，方程无解； 若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7， 则f（6﹣a）=f（﹣1）=2

﹣1﹣1

﹣2=﹣．

故选：A．

点评： 本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．

11．设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于

点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是（ ） A．

B．

C．

D．

+1

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（

，

），利用点P

（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．

解答： 解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±x， 分别与x﹣3y+m=0（m≠0）联立，解得A（﹣

，﹣

），B（﹣

，

），

.....

.

∴AB中点坐标为（，），

∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，

∴=﹣3，

∴a=2b，

∴c=b， ∴e==

．

故选：A．

点评： 本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

12．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ） A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

考点： 函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题．

分析： 由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（1）=0得g（1）=0、还有g（﹣1）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集． 解答： 解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＞0，

∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数， ∵f（x）是定义在R上的偶函数， ∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，

∴函数g（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数， ∵f（1）=0， ∴f（﹣1）=0；

即g（﹣1）=0，g（1）=0

∴xf（x）＞0化为g（x）＞0，

设x＞0，故不等式为g（x）＞g（1），即1＜x； 设x＜0，故不等式为g（x）＞g（﹣1），即﹣1＜x＜0． 故所求的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞） 故选A．

点评： 本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值．

二、填空题（每小题5分，共20分）

.....

.

13．已知向量

．

满足||=，||=2，|+|=，则向量与夹角的余弦值为

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．

分析： 把|+|=解答： 解：由||=

，即

∴3+2×即故答案为：

．

两边平方，然后代入数量积公式求得向量，||=2，|+|=

，得 ，

+4=5，

．

与夹角的余弦值．

点评： 本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用，是基础题．

14．若“∀x∈[0，

]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 1 ．

考点： 命题的真假判断与应用．

专题： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质． 分析： 求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．

解答： 解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，

可得tanx≤1，所以，m≥1， 实数m的最小值为：1． 故答案为：1．

点评： 本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．

15．已知实数x，y均大于零，且x+2y=4，则log2x+log2y的最大值为 1 ．

考点： 基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： 利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出． 解答： 解：∵实数x，y＞0，且x+2y=4，

∴4≥2，化为xy≤2，当且仅当x=2y=2时取等号． 则log2x+log2y=log2（xy）≤log22=1． 因此log2x+log2y的最大值是1． 故答案为：1．

.....

.

点评： 本题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性，属于基础题．

16．如图，已知圆M：（x﹣3）+（y﹣3）=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，

的最大值是 6 ．

2

2

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．

分析： 由题意可得

=

求得

． =6cos＜

，

=+．由 ME⊥MF，可得=0，从而

＞，从而求得=

，∴=

=．

的最大值．

=

+

．

解答： 解：由题意可得∵ME⊥MF，∴

=0，∴

由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为2再由OM=3即

，可得

，

=＞，故

•3

•cos＜

，

，故ME=

，

， ＞，

＞=6cos＜

=6cos＜的最大值是大为6，

故答案为 6．

点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域， 属于中档题．

三、解答题（17～21小题，每小题12分；22～24为选做题，共10分） 17．（12分）（2015•太原一模）已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=

．

（1）若△ABC的面积等于，求a，b；

（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．

考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 解三角形．

.....

.

分析： （1）c=2，C=三角形面积计算公式

，由余弦定理可得：c=a+b﹣2abcosC，即4=a+b﹣ab，利用

=

，即ab=4．联立解出即可．

22222

（2）由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．当cosA=0时，解得A=

；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立解得即可．

，由余弦定理可得：c=a+b﹣2abcosC，

2

2

2

解答： 解：（1）∵c=2，C=∴4=a+b﹣ab， ∵

=

2

2

，化为ab=4．

联立，解得a=2，b=2．

（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A， ∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A， 2sinBcosA=4sinAcosA， 当cosA=0时，解得A=

；

当cosA≠0时，sinB=2sinA， 由正弦定理可得：b=2a， 联立∴b=a+c， ∴又

， ，∴

． 或

．

2

2

2

，解得，b=，

综上可得：A=

点评： 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（12分）（2010•宣武区一模）某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

（Ⅰ）请完成此统计表；

.....

.

（Ⅱ）试估计高三年级学生“同意”的人数； （Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意的概率．”

考点： 古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法． 专题： 计算题；应用题．

分析： （I）根据所给的男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，得到女生男生和教师共需抽取的人数，根据表中所填写的人数，得到空着的部分．

（II）根据由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是，用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数．

（III）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举得到结果，然后根据古典概型概率公式得到结果． 解答： 解：（I）被调查人答卷情况统计表：

（II）∵由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是， 用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数

（人）

（III）设“同意”的两名学生编号为1，2， “不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6， 选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5）， （3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法； 其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4）， （2，5），（2，6），8种满足题意， 则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为

．

点评： 本题考查古典概型，考查分层抽样，考查用列举法得到事件数，是一个综合题目，但是题目应用的原理并不复杂，是一个送分题目．

19．（12分）（2015•宜宾模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点． （1）求证：直线AB1∥平面BC1D； （2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A； （3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．

.....

.

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离． 分析： （1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；

（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；

（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．

解答： （1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点． ∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线， ∴A1B∥OD．

∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D， ∴直线AB1∥平面BC1D；

（2）证明：∵AA1⊥底面ABC， ∴AA1⊥BD，

∵底面ABC正三角形，D是AC的中点 ∴BD⊥AC

∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，

∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；

（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3∴S△BCD=

=

， •6=9

．

，

∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=•

点评： 本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题．

.....

.

20．（12分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）

的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．

（1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；

（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．

解答： 解：（1）由题意可得，e==且c+

=3，解得c=1，a=

， +y=1；

2

，

则b=1，即有椭圆方程为

（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意； 当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），

2222

将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k）x﹣4kx+2（k﹣1）=0， 则x1+x2=

，x1x2=

，

则C（，），且|AB|=•=，

若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意； 则k≠0，故PC：y+

=﹣（x﹣

），P（﹣2，

），

从而|PC|=，

.....

.

由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，

此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1． 点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题． 21．（12分）（2014春•禅城区校级期中）已知函数f（x）=lnx﹣kx+1．求： （1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用．

分析： （1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），而f′（x）=﹣k．能求出函数f（x）的单调区间．

（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），由此能确定实数k的取值范围． 解答： 解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣k． 当k≤0时，f′（x）=﹣k＞0， f（x）在（0，+∞）上是增函数；

当k＞0时，若x∈（0，）时，有f′（x）＞0， 若x∈（，+∞）时，有f′（x）＜0，

则f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数． （2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数， 而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，

又由（1）知f（x）的最大值为f（），要使f（x）≤0恒成立， 则f（）≤0即可，即﹣lnk≤0，得k≥1．

点评： 本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．

四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）（2015•江西模拟）如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线 PQ相交于点Q．

22

（Ⅰ）求证：QC•BC=QC﹣QA；

.....

.

（Ⅱ）若 AQ=6，AC=5．求弦AB的长．

考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 立体几何．

分析： （1）由已知得∠BAC=∠CBA，从而AC=BC=5，由此利用切割线定理能证明

QC•BC=QC﹣QA．

（2）由已知求出QC=9，由弦切角定理得∠QAB=∠ACQ，从而△QAB∽△QCA，由此能求出AB的长．

解答： （本小题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲 1 证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA， ∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA， ∴AC=BC=5， 由切割线定理得：

QA=QB•QC=（QC﹣BC）•QC，

22

∴QC•BC=QC﹣QA．（5分） （2）由AC=BC=5，AQ=6 及（1），知QC=9， ∵直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦， ∴∠QAB=∠ACQ，又∠Q=∠Q， ∴△QAB∽△QCA， ∴

=

，∴AB=

．（10分）

2

22

点评： 本题考查等式的证明，考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审

题，注意切割线定理、弦切角定理的合理运用．

23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原

点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ． （Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；

（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

考点： 点的极坐标和直角坐标的互化． 专题： 坐标系和参数方程．

.....

.

分析： （I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2代入即可得出；． （II）设P|PC|=

，又C

sinθ．化为ρ=2

2

，把

．利用两点之间的距离公式可得

，再利用二次函数的性质即可得出．

sinθ．

解答： 解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2∴ρ=2配方为（II）设P∴|PC|=

2

，化为x+y=

=3．

，又C

22

，

．

=

≥2

，

因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．

点评： 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．（2015•贵州模拟）选修4﹣5：不等式选讲 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|．

（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；

（2）若f（x）≥5﹣x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

考点： 绝对值不等式的解法；带绝对值的函数． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： （Ⅰ）a=3时，即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2．分①当时，②当时，③

当x≤1时，三种情况，分别去掉绝对值求得不等式的解集，再取并集，即得所求． （Ⅱ）即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立，令

意可得函数y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数g（x）的图象的上方， 数形结合可求得a的范围． 解答： 解：（Ⅰ）a=3时，即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2． ①当②当

时，不等式即 2x﹣3+x﹣1≥2，解得 x≥2．

时，不等式即3﹣2x+x﹣1≥2，∴2﹣x≥2，∴x＜0．

，由题

③当x≤1时，3﹣2x+1﹣x≥2，解得3x≤2，即 x≤． ∴综上，解集为

．…（5分）

.....

.

（Ⅱ）即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立 令

，则由函数g（x）的图象可得它的最大值为4，

故函数y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数g（x）的图象的上方，数形结合可得即a的范围是[6，+∞）．…（10分）

，∴a≥6，

点评： 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了等价转化、分类讨论和数形结合的数学思想，属于中档题．

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