2020-2021中考数学二轮 反比例函数 专项培优 易错 难题

一、反比例函数

1．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．

（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由； （2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；

（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值． 【答案】（1）解：是“相邻函数”，

理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1， ∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，

∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1， ∴﹣1≤y1﹣y2≤1，

即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”

（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a， ∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1）， ∴顶点坐标为：（1，a﹣1）， 又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，

∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a， ∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”， ∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即 ∴0≤a≤1

，

（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4， ∵y= +2x﹣4

∴当x=1时，函数有最小值a﹣2， 当x=2时，函数有最大值 ，即a﹣2≤y≤ ， ∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，

∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即 ∴1≤a≤2；

∴a的最大值是2，a的最小值1

，

【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值 ，因为函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a的最小值1.

2．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．

（1）点C的坐标________；

（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；

（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得S△PEF= S△CEF ， 求点P的坐标． 【答案】（1）（3，0）

（2）解：∵AB=CD=3，OB=1， ∴A的坐标为（1，3），又C（3，0）， 设直线AC的解析式为y=ax+b，

则 ，解得：

，

∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ． ∵点E（2，m）在直线AC上， ∴m=﹣ ×2+ = ， ∴点E（2， ）．

∵反比例函数y= 的图象经过点E， ∴k=2× =3，

∴反比例函数的解析式为y=

（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC ，

在y= 中，当x=3时，y=1， ∴F（3，1）．

过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF ． 设直线EF的解析式为y=a'x+b'，

∴

，解得

，

∴y=﹣ x+ ．

（3，﹣0.5）． M

设直线PM的解析式为y=﹣ x+c， 代入M（3，﹣0.5），得：c=1， ∴y=﹣ x+1． 当x=1时，y=0.5， ∴点P（1，0.5）． 同理可得点P（1，3.5）．

∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）． 【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3）， ∴OC=3， ∴C（3，0）． 故答案为（3，0）；

【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接EM，则S△EFM=S△EFC ， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF ． 此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．

3．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C点．

（1）求反比例函数和一次函数解析式；

（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3， 求D，E的坐标．

（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．

【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上， ∴m=（﹣1）×2=﹣2，

∴反比例函数的表达式为y=﹣ ，

∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣ 图象上， ∴n=﹣1， 即B（2，﹣1）

把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得 解得：k=﹣1，b=1，

∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，

答：反比例函数的表达式是y=﹣ ，一次函数的表达式是y=﹣x+1； （2）解：如图1， 连接AF，BF，

，

∵DE∥AB，

∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等）， ∵直线AB的解析式为y=﹣x+1， ∴C（0，1）， 设点F（0，m）， ∴AF=1﹣m，

∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|xA|+ CF×|xB|= （1﹣m）×（1+2）=3， ∴m=﹣1， ∴F（0，﹣1），

∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB， ∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①． ∵反比例函数的表达式为y=﹣ ②， 联立①②解得， （3）解：如图2

或

∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；

由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣ ， 设点P（p，2），

∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣ ）， PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |， ∵QR=2QP，

∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|， 解得，p= ∴P（ （

或p= ，2）或（ ，2）．

，

，2）或（

，2）或

【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；

（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；

（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣ ），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.

4．如图，点P（

+1，

﹣1）在双曲线y= （x＞0）上．

（1）求k的值；

（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= （x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y

轴的正半轴上，求点C的坐标． 【答案】（1）解：点P（ 将x= k=2；

，y=

，

）在双曲线

上，

代入解析式可得：

（2）解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC，∠CBA=90°， ∴∠FBC+∠OBA=90°， ∵∠CFB=∠BOA=90°， ∴∠FCB+∠FBC=90°， ∴∠FBC=∠OAB， 在△CFB和△AOB中，

，

∴△CFB≌△AOB（AAS）， 同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB， ∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a， 设A（a，0），B（0，b）， 则D（a+b，a）C（b，a+b）， 可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2， 解得：a=b=1．

所以点C的坐标为：（1，2）．

【解析】【分析】（1）由待定系数法把P坐标代入解析式即可；（2）C、D均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB，代入解析式得b（a+b）=2，a（a+b）=2，即可求出C坐标.

5．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数

与

（x＞0，0＜m＜n）

的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P ． 已知点B的横坐标为4．

（1）当m=4，n=20时．

①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．

②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m ， n之间的数量关系；若不能，试说明理由．

【答案】（1）①当x=4时， ∴点B的坐标是（4，1） 当y=2时，由得

得x=2

∴点A的坐标是（2，2） 设直线AB的函数表达式为

∴ 解得

∴直线AB的函数表达式为

②四边形ABCD为菱形，理由如下：如图，

由①得点B（4，1），点D（4，5） ∵点P为线段BD的中点 ∴点P的坐标为（4，3）

当y=3时，由 ∴PA= ∴PA=PC 而PB=PD

得 ，PC=

，由 得

，

∴四边形ABCD为平行四边形 又∵BD⊥AC ∴四边形ABCD是菱形

（2）四边形ABCD能成为正方形

当四边形ABCD时正方形时，PA=PB=PC=PD（设为t，t≠0）， 当x=4时，

∴点B的坐标是（4， ） 则点A的坐标是（4-t， ∴

∴点D的纵坐标为 则点D的坐标为（4， 所以 表达示；

②由特殊的四边形可知，对角线互相垂直的是菱形和正方形，则可猜测这个四边形是菱形或是正方形，先证明其为菱形先，则需要证明四边形ABCD是平行四边形，运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些；再判断对角线是否相等，若不相等则不是正方形；（2）要使m，n有具体联系，根据A,B，C，D分别在两个函数图象，且由正方形的性质，可用只含m的代数式表示出点D或点C的坐标代入y= ，即可得到只关于m和n的等式．

） ，整理得m+n=32

）

，化简得t=

【解析】【分析】（1）①分别求出点A，B的坐标，运用待定系数法即可求出直线AB的

6．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）s（mm2）的反比例函数，其图象如图．

（1）写出y与s的函数关系式；

（2）求当面条粗3.2mm2时，面条的总长度是多少m？ 【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y= ， 将x=4，y=32代入上式， 解得：k=4×32=128， 故y=

．

答：y与x的函数关系式y= （2）解：当x=3.2时，y=

=40．

答：当面条粗3.2mm2时，面条的总长度是40米

【解析】【分析】（1）根据图象可设出关系式，再把一个点的坐标代入可求出关系式； （2）把x=3.2代入关系式可求出y的值，即得答案.

7．在平面直角坐标系中，抛物线 是方程

的两根，且

经过点

，

、

，

，其中 、

，过点 的直线 与抛物线只有一个公共点

（1）求 、 两点的坐标； （2）求直线 的解析式； （3）如图2，点 是线段

上的动点，若过点 作 轴的平行线

与直线 相交于点

，与抛物线相交于点 ，过点 作 的平行线 与直线 相交于点 ，求 的长. 【答案】 （1）解：∵x1、x2是方程x2-2x-8=0的两根，且x1＜x2 ， ∴x1=-2，x2=4，

∴A（-2，2），C（4，8）

（2）解：①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（-2，2）在直线l上， ∴2=-2k+b， ∴b=2k+2，

∴直线l的解析式为y=kx+2k+2①， ∵抛物线y= x2②，

联立①②化简得，x2-2kx-4k-4=0， ∵直线l与抛物线只有一个公共点，

∴△=（2k）2-4（-4k-4）=4k2+16k+16=4（k2+4k+4）=4（k+2）2=0， ∴k=-2， ∴b=2k+2=-2，

∴直线l的解析式为y=-2x-2；

②平行于y轴的直线和抛物线y= x2只有一个交点， ∵直线l过点A（-2，2）， ∴直线l：x=-2

（3）解：由（1）知，A（-2，2），C（4，8）， ∴直线AC的解析式为y=x+4， 设点B（m，m+4）， ∵C（4.8）， ∴BC=

|m-4|=

（4-m）

∵过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D， ∴D（m， m2），E（m，-2m-2）， ∴BD=m+4- m2 ， BE=m+4-（-2m-2）=3m+6， ∵DC∥EF， ∴△BDC∽△BEF， ∴

，

∴ ∴BF=6

.

，

【解析】【分析】（1）解一元二次方程即可得出点A，C坐标；（2）先设出直线l的解析式，再联立抛物线解析式，用△=0，求出k的值，即可得出直线l的解析式；（3）设出点B的坐标，进而求出BC，再表示出点D，E的坐标，进而得出BD，BE，再判断出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF.

8．综合实践

问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒. 操作探究：

（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？

（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？

（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.

①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.

②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为 ________cm，底面积为________cm2 ， 当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为________cm3.

【答案】 （1）解：A ． 有田字，故A不能折叠成无盖正方体；

B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体； C．可以折叠成无盖正方体；

D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体． 故答案为：C．

（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫” （3）x；（20﹣2x）2；576

【解析】【解答】（3）解：①如图，

②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm ， 底面积为（20﹣2x）2cm2 ， 当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）． 故答案为：x ， （20﹣2x）2 ， 576

【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．

9．在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P ， Q]，比如[P（1，2），Q（﹣1，﹣2）]是一个“和谐点对”． （1）写出反比例函数y＝ 图象上的一个“和谐点对”； （2）已知二次函数y＝x2+mx+n ，

①若此函数图象上存在一个和谐点对[A ， B]，其中点A的坐标为（2，4），求m ， n的值；

②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围． 【答案】 （1）解：∵y＝ ， ∴可取[P（1，1），Q（﹣1，﹣1）]；

（2）解：①∵A（2，4）且A和B为和谐点对， ∴B点坐标为（﹣2，﹣4），

将A和B两点坐标代入y＝x2+mx+n ， 可得 ∴ ②如图：

；

，

（ⅰ） M点在x轴上方时，

若∠AMB 为直角（M点在x轴上），则△ABC为直角三角形， ∵A（2，4）且A和B为和谐点对，B点坐标为（﹣2，﹣4）， ∴原点O在AB线段上且O为AB中点， ∴AB＝2OA， ∵A（2，4）， ∴OA＝ ∴AB＝

， ，

在Rt△ABC中， ∵O为AB中点 ∴MO＝OA＝

，

；

， ．

若∠AMB 为锐角，则

（ⅱ） M点在x轴下方时，同理可得， 综上所述，b的取值范围为：

或

【解析】【分析】（1）由题目中所给和谐点对的定义可知P、Q即为关于原点对称的两个点，在反比例函数图象上找出两点即可；（2）①由A、B为和谐点对可求得点B的坐标，则可得到关于m、n的方程组，可求得其值；②当M在x轴上方时，可先求得∠AMB为直角时对应的M点的坐标，当点M向上运动时满足∠AMB为锐角；当点M在x轴下方时，同理可求得b的取值范围．

10．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts，

（1）当t=2时，求△PBQ的面积；

（2）当t= 时，试说明△DPQ是直角三角形；

（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由. 【答案】 （1）解：当t=2时，AP=t=2，BQ=2t=4， ∴BP=AB-AP=4，

∴△PBQ的面积= ×4×4=8；

（2）解：当t= 时，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9，

∴DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25，PQ2=PB2+BQ2=29.25，DQ2=CD2+CQ2=117， ∵PQ2+DQ2=DP2 ， ∴∠DQP=90°， ∴△DPQ是直角三角形.

（3）解：设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O.

设QB的长度为x，则QC的长度为（12-x）， ∵DC∥BO，

∴∠C=∠QBO，∠CDQ=∠O，

∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12-x， ∴

，即

，

解得：BO=

，

∴AO=AB+BO=6+ ∵∠ADP=∠ODP， ∴12：DO=AP：PO， 代入解得x=0.75， ∴DP能平分∠ADQ， ∵点Q的速度为2cm/s，

∴P停止后Q往B走的路程为（6-0.75）=5.25cm.

∴时间为2.625s，加上刚开始的3s，Q点的运动时间为5.625s.

，

【解析】【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间得出 AP=t=2，BQ=2t=4， 所以BP=4,进而根据三角形的面积计算方法即可算出答案；

（2）当t= 时，根据路程等于速度乘以时间得出AP=1.5，BQ=3，故PB=4.5，CQ=9， 根据勾股定理表示出DP2,PQ2,DQ2,从而根据勾股定理的逆定理判断出∠DQP=90°， △DPQ是直角三角形；

（3） 设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O ， 设QB的长度为x，则QC的长度为（12-x）， 判断出 △CDQ∽△BOQ， 根据全等三角形的对应边成比例得出

，根据比例式可以用含x的式子表示出BO的长，根据角平分线的性质定理得出

12：DO=AP：PO， 根据比例式求出x的值，从而即可解决问题.

11．已知抛物线 的顶点坐标为

，经过点

.

（1）求抛物线 的解析式； （2）如图1，直线 值；

（3）如图2，将抛物线 向下平移 为 ，交 轴的负半轴于点 ，点 ①求点 的坐标（用含 的式子表示）；

个单位长度得到抛物线 ，抛物线 的顶点

在抛物线 上.

交抛物线 于 ， 两点，若

，求 的

②若

，求 ， 的值.

，

，

【答案】 （1）解：已知抛物线 的顶点坐标为 ∴设抛物线 的解析式为 把 解得：

代入得：6=16a-2， ，

∴抛物线 的解析式为

（2）解：设直线

交 轴点 ，则点 的坐标

，

∴ ∵ ∴ ∴

. .

， .

由 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴

， ，

.

得 ，

，

，

，

（3）解：①依题意得抛物线 的解析式为 点 ∴

，

在抛物线 上，

.

∴顶点 的坐标为 令 ∴ ②作

，即

，

.

轴于点 ，

， .

（舍去），

∴点 的坐标为

∵E（2-a，0），F（a，2a-2）， ∴ ∴ 又 ∴

∵FH//y轴，

∴∠FPO=∠PFH=22.5°， ∴∠FPO=∠EFP， ∴PD=FD，

设 交 轴于点 ，过D作DG⊥FH于G，则DG=OH， ∵∠EFH=45°， ∴

∵∠FEH=45°，a>2, ∴OD=OE=a-2， ∴PD=a-2- ∵HO=a， ∴ ∴ ∴

.

， ，

（舍去）， =

，

， ，

， ，

，

【解析】【分析】（1）观察函数图像可知抛物线关于y轴对称，可得到点A时抛物线的

顶点坐标，因此设函数解析式为y=ax2-2，再将点B的坐标代入求出a的值，即可得到抛物线C的解析式。

（2）由点A，B的坐标，可求出AB的长，利用三角形的面积公式，可得到点N和点M的横坐标之差为1，再将两函数联立方程组，可转化为x2-2kx+4=0，利用一元二次方程根与系数的关系，求出方程的两个根之和和两根之积，由此可建立关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值。

（3）①利用函数平移规律，可得到C1的函数解析式，由点F在抛物线C1上，可建立m与a的二次函数，再求出顶点P的坐标，将点P代入抛物线C，建立方程，求出方程的解，可得到符合题意的点E的坐标；②作FH⊥x轴于点H，用含a的代数式表示出点E，F的坐标，即可求出FH、EH的长，再去证明∠EFP=∠PFH=22.5°，从而可以推出PD=FD；设EF 交y轴于点 D，过D作DG⊥FH于G，则DG=OH，利用解直角三角形求出PD，DF，OD的长，再建立关于a的方程，解方程求出a的值，可得到m的值。

12．如图，抛物线y= 0）．

x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M(m ， 0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 【答案】 （1）解：∵点A（-1，0）在抛物线y= ∴

× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0

x2 +bx-2上

解得b =

x2-

x-2. (x-

)2-

,

∴抛物线的解析式为y= y=

x2-

x-2 =

(x2 -3x- 4 ) =

∴顶点D的坐标为 ( , -

).

（2）解：当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2。 当y = 0时， ∴B (4,0)

∴OA =1, OB = 4, AB = 5.

∵AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20, ∴AC2 +BC2 =AB2. ∴△ABC是直角三角形.

x2-

x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4

（3）解：作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M ， 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小。

解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E. ∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM. ∴

∴ ，∴m=

．

解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n ,

则 ∴

∴当y = 0时，

.

，解得n = 2，

.

，

∴

.

【解析】【分析】（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标；（2）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。