高中数学三角函数的图像和性质试题

6、(文)若关于x的方程cos2xasinx2a10在区间[则实数a的取值范围是( ),]上有两个不同的实数根,221A、[,1] B、[1,422) C、[1,424) D、(1,422) 33(理)若关于x的方程asinx2cosx2a10在区间[,]上有两个不同的实数根,22则实数a的取值范围是( )1213113213213A、[,1] B、[1,) C、[,) D、(1,)33333557、已知函数ysin(2x)sin(2x)4cossinxcosx,下列命题正确的是( )12121262(1)它的图像关于直线x对称 (2)在[0,)上的值域为[13,] 822(3)在[848A、(1)(3) B、(1)(4) C、(2)(3) D、(2)(4),]上单调递增函数 (4)图像向右平移个单位,得到一个偶函数的图像8、已知函数f(x)cos(x)(0),将它的图像向右平移(0)个单位,得到 3一个奇函数g(x)的图像,g(x)图像上两个相邻的最高点A与最低点B,且直线AB的斜率为2,则的取值集合的元素个数是( )A、2 B、3 C、4 D、6t3(t0)的最大值与最小值之差不大于,2sinx2则实数t的取值范围是( )9、已知函数ysinx3623265326563262A、[,] B、(0,][1,] C、[,] D、[,]4242422210、已知0xy2,则函数zsinxsinysin(xy)的最大值是( )A、2 B、332 C、332 D、3二、填空题(每题3分,共30分)11、若f(sinx)cos2x,则f(cos712)( )12、函数y12sinxcosx的定义域是( )13、若函数ysin2(x)a(0)是奇函数,则a的值是( )14、函数y(2sinx1)(2cosx1)在区间[0,)上的值域为( )sin4xcos415、(文)函数yx2的最小正周期是( )(理)函数ysin6xcos6x的最小正周期是( )16、若函数y1tsinx2cosx在[4,2)上是增函数,则实数t的取值范围是( )17、若函数ya2sin2x(2a)cos2x的图像关于直线x8对称,则a( )18、满足方程sinxcosx2cos2x0的锐角x( )219、(文)函数y1x2x8x3的值域是( )(理)函数yx44xx235x的值域是( )20、若不等式a2cosx2asinx2a20在[0,)上恒成立,则a的取值范围是( )

三、解答题(前三题各6分,中间三题各10分,最后一题12分,共60分)21、已知函数ysin(x)3cos(x)(0,0)是偶函数,并且它的图像关于直线x422、指出张明同学的错误并改正：对称,求的值以及的最小值.求函数y(1sinx)(1cos2x)的最大值.解：设sinxt,则1cos2x2t2,所以y(1t)2t2(22t)tt(22ttt38),3278.27所以y(1sinx)(1cos2x)的最大值是23、求函数ysinxcosx(x[0,])的值域.52sin2x224、已知函数f(x)23sinxcosx12cos2x(xR)(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； 1(2)将函数yf(x)的图像上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短为原来的,再2向左平移个单位,得到函数yg(x)的图像,求yg(x)在区间[0,]上的值域.6825、如图,正弦型函数f(x)Asin(x)(A0,0,0)图像的一个最高点E和一个最低点B,图像与x轴的两个交点C,D,CE的中点M在y轴上,EBC30o,EBC的面积为23.(1)求线段BC的长；(2)求函数f(x)的解析式.26、已知函数f(x)Asin(x)b(A0,0,0)的最大值是1,最小值是3,过点(,1),且它的图像上两条相邻的对称轴的距离为.

62(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)与g(x)的图像关于直线x在[0,)上的单调递减区间以及最大值.27、已知函数f(x)asinxcos2x2a1.(1)求函数f(x)的值域.(2)若函数f(x)在[0,2)上恰有两个零点,求实数a的取值范围.8对称,求g(x)参一、DABCA(文)B(理)BDBCC153353二、11、,12、[2k,2k)(2k,2k](kZ),13、或,2622622322514、[322,],15、(文)(理),16、(,],17、1或2,18、,22241211331219、(文)[,3](理)[,],20、(,1].4442三、21、ysin(x)3cos(x)2sin(x)是偶函数,3所以3k2(kZ).因为0,可知k0,所以6.于是y2sin(x)2sin(x)2cosx,32k函数图像的对称轴是直线x(kZ),得4k.4因为0,kZ,所以的最小值是4.22、错误原因：sinxt不一定是正数,所以不能用这个不等式.正解：设sinxt,则1cos2x2t2,所以yf(t)(1t)2t2(1t1).2f'(t)4t6t2,令f'(t)0,得t0或t.328计算得f(1)4,f(1)0,f(0)0,f(),327所以函数y(1sinx)(1cos2x)的最大值是4.

23、设tsinxcosx2sin(x),因为x[0,],所以t[1,2].42可知t212sinxcosx1sin2x,得52sin2x2t23.所以yt2t2312t3t122t3t66(当且仅当t时,等号成立). 1221212当t1时,y；当t2时,y,比较得.5757所以ysinxcosx16(x[0,])的值域是[,].52sin2x251224、(1)f(x)23sinxcosx12cos2x3sin2xcos2x2sin(2x),62可知函数f(x)的最小正周期T.2由2k22x62k2,得k3xk6(kZ),所以函数f(x)的单调递增区间是[k,k](kZ).361(2)将y2sin(2x)图像上各点的横坐标缩短为原来的,得y2sin(4x),6265再将其图像向左平移个单位,得g(x)2sin[4(x))]2sin(4x).6666554531由x[0,],得4x[,],sin(4x)[,],得y[3,1].86636225故函数g(x)2sin(4x)在[0,]上的值域为[3,1].68

125、(1)由函数图像的对称性可知CEDEBDBE.2CEBEBEsin30o在CEB中,由正弦定理得,得sinBCE1,sinEBCsinBCECE所以BCE90o,所以CED60o,设CEa,可知BE2a,BC3a.11BCCE3aa23,得a2,所以BC3a23.22(2)作EFCD,在边长为2的正三角形CED中,计算得CF1,EF3.111因为M是CE的中点,所以OFCF,可知点E的坐标为(,3).2222所以A3,最小正周期T2CD4,得=,所以f(x)3sin(x).221将点E(,3)代入解析式,得sin()1,因为0,所以.244EBC的面积S故所求的解析式为f(x)3sin(x).24注意：代入点时,一般代最值点,因为在一个周期内只有一个最大值和最小值.1若此题将点C(,0)代入解析式,得sin()0,因为0,所以.244 这答案虽然正确,但是若改动的范围,使02,此时根据sin(得4)0,4或55,其中是错误的,不适合图像的.4426、(1)函数f(x)的最大值为Ab1,最小值为Ab3,得A2,b1.2由它的图像上两条相邻的对称轴的距离为,知最小正周期T,2得2,所以f(x)2sin(2x)1.将点(,1)代入解析式,62得2sin()11,sin()0,因为0,所以.3332故所求的解析式为f(x)2sin(2x)1.32(2)因为f(x)与g(x)的图像关于直线x对称,f(x)2sin(2x)1,8327所以g(x)2sin[2(x)]12sin(2x)1.43673由2k2x2k,得kxk(kZ).262362因为x[0,),k只能取0或1,得0x,x.632 所以函数g(x)在[0,)上的单调递减区间是[0,],[,).6322当x时,g(x)有最大值g()1.3327、(1)由已知得f(x)sin2xasinx2a,设sinxm(1m1),a2a2则g(m)mam2a(m)2a,24aa2得g(1)a1,g(1)3a1,g()2a.24(I)当a2时,g(m)是单调递减区间,值域为[3a1,a1].2a2(II)当2a0时,值域为[3a1,2a].4a2(III)当0a2时,值域为[a1,2a].4(IV)当a2时,g(m)是单调递增区间,值域为[a1,3a1].(2)因为x[0,2),显然当sinx1时,x当sinx1时,x1,此时3a10,得a；233,此时a10,得a1.21所以当a或a1时,函数f(x)恰有一个零点.3设sinxt,g(t)t2at2a.要使函数f(x)恰有两个零点,因为x[0,2),当t(1,1)时,方程sinxt必有两个不同的实数根,所以只要函数g(t)在(1,1)有且只有一个零点即可.a28a0a8a0由题意得或ag(1)g(1)(a1)(3a1)0112a0或a8a0或a811或,得a1或a0.32a23a11所以实数a的取值范围是a1或a0.32