2021年九年级中考数学复习知识点易错部分突破训练：四边形(附答案)

1．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）

A．10°

B．15°

C．30°

D．40°

2．选用下列某一种形状的瓷砖密铺地面，不能做到无缝隙，不重叠要求的（ ） A．任意四边形

B．正方形

C．正六边形

D．正十边形

3．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，∠ACB＝30°，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，与AC交于点O，则PQ的最小值为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

4．点A，B，C，D在同一平面内，从四个条件中（1）AB＝CD，（2）AB∥CD，（3）BC＝AD，（4）BC∥AD中任选两个，使四边形ABCD是平行四边形，这样的选法有（ ） A．3种

B．4种

C．5种

D．6种

5．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB：②GC平分∠BGD；③S四边形BCDG＝

CG2；④∠BGE的大小

为定值．其中正确的结论个数为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

6．如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的个数有（ ）

A．0

B．1

C．2

D．3

7．下列说法中，错误的是（ ）

A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形

B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形 C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形 D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形 8．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．对角线相等 C．对角线互相垂直 9．下列说法错误的是（ ）

B．对角线互相平分 D．对边相等且平行

A．16的平方根为±4 B．⼀组对边平行，⼀组对⻆相等的四边形是平行四边形 C．⼀限不循环小数是无理数 D．对⻆线相等的四边形是矩形

10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（ ） A．3.5 C．6.5

B．5.5 D．3.5或6.5

11．下列说法正确的是（ ）

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形

C．每一条对角线都平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 12．下列说法正确的是（ ）

A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形

B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形

13．在一个n边形内加1个点（点不在边上），可以把这个n边形分成 个三角形？加2个点，最多可以把这个n边形分成 个三角形？如果加m个点，最多可以把这个n边形分成 个三角形？

14．若一个多边形的内角和为900°，则其对角线的总条数为 条．

15．如下图，有A、B、C三种型号的卡片，其中A型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片5

张，现在要从这10张卡片中拿掉一张卡片，余下的全部用上，能拼出（或镶嵌）一个矩形（或正方形），如果图中的小正方格边长均为1cm，则拼出的矩形（或正方形）的面积为 cm2．

16．如图，平行四边形ABCD的顶点A是等边△EFG边FG的中点，∠B＝60°，EF＝4，则四边形ALEH部分的面积为 ．

17．如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出 个平行四边形．

18．如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a+2b的取值范围是 ．

19．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2，点E在直线BC上，CE＝1，连接AE，则线段AE的长为 ．

20．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E为BC边上一动点，作EF⊥AE，且EF＝AE．连接DF，AF．当DF⊥EF时，△ADF的面积为 ．

21．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为 ．

22．在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，点N在AD边上，点M为BC中点，连接DE、MN、CN，若DE＝MN，tan∠ADE＝，则CN的长为 ．

23．如图1．已知大圆的直径为16米，小圆的直径比大四的直径少（注：π取3）

（1）求小圆的周长；

（2）德强学校的操场上有一个五彩的奥运五环图案，是由5个与图1完全相同的圆环构成，若每两个环形相交的部分是曲边四边形，每个曲边四边形面积都是平方米，求这个五环图形的面积．

（3）在（2）的条件下，为了迎接11月1日在我校举行的全国“70节好课致敬新中国70年”观摩课活动，学校决定重新粉剧操场上的奥运五环，学校雇佣2个师傅和4个徒弟来完成这项任务（每名师傅每小时粉刷的面积相同，每个徒弟每小时粉剧的面积相同），已知1个师傅1小时粉刷的面积是师徒6人1小时粉刷面积的

．工作2小时后，4个

徒弟比两个师傅多粉刷24平方米，这时两个师傅因有其它任务离开，剩下的工作由4个徒弟完成，工作完成，学校每小时支付师傅工资270元，每小时支付徒弟工资150元，学校共支付工资多少元．

24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，且∠1与∠2互余，∠A与∠C有怎样的数量关系？为什么？

25．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，判断四边形ABFC的形状，并说明理由．

26．如图，已知△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，点E、C、F不在同一直线上．你能说明四边形CFDE是平行四边形吗？

27．如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）证明：四边形AECF是平行四边形．

28．如图，菱形ABCD的边长是10厘米，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12厘米，点P，N分别在BD，AC上，点P从点D出发，以每秒2厘米的速度向终点B运动，点N从点C出发，以每秒1厘米的速度向点A运动，点P移动到点B后，点P，N停止运动．

（1）当运动多少秒时，△PON的面积是8平方厘米；

（2）如果△PON的面积为y，请你写出y关于时间t的函数表达式．

29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．

（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；

（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．

30．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于

点E，F．

（1）求证：△DOE≌△BOF；

（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．

31．如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H． （1）求证：四边形EFGH是矩形；

（2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积．

32．如图，四边形ABCD是正方形，点E，H分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝AG，DE⊥CH于F．

（1）求证：四边形GHCD为平行四边形．

（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ECF互余的角．

参

1．解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝150°．

又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，

∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，

∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°． 故选：B．

2．解：A、任意四边形的内角和为360°，在同一顶点处放4个，能密铺； B、正方形的每个内角是90°，能整除360°，能密铺； C、正六边形每个内角是120°，能整除360°，能密铺； D、正十边形每个内角是144°，不能整除360°，不能密铺； 故选：D．

3．解：∵∠BAC＝90°，AC＝6，∠ACB＝30°， ∴AB＝2

，BC＝4

，

∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线OP′，

∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，

∴△CAB∽△CP′O， ∴

＝

，

∴＝，

∴OP′＝，

∴则PQ的最小值为2OP′＝3． 故选：C．

4．解：任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（1）（2）；（3）（4）；（1）（3）；（2）（4）共四种． 故选：B．

5．解：①∵ABCD为菱形， ∴AB＝AD， ∵AB＝BD，

∴△ABD为等边三角形， ∴∠A＝∠BDF＝60°

又∵AE＝DF，AD＝BD， ∴△AED≌△DFB（SAS）， 故本选项正确；

②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD， 即∠BGD+∠BCD＝180°， ∴点B、C、D、G四点共圆，

∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°， ∴∠BGC＝∠DGC＝60°， 故本选项正确；

③过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图），

则△CBM≌△CDN（AAS）， ∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN S四边形CMGN＝2S△CMG， ∵∠CGM＝60°， ∴GM＝CG，CM＝

CG，

∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝

CG2，

故本选项正确；

④∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值， 故本选项正确；

综上所述，正确的结论有①②③④， 故选：D．

6．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO， ∵O为AC的中点， ∴OA＝OC，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF，

∴四边形AFCE是平行四边形； ①∵OE＝OA， ∴AC＝EF，

∴四边形AFCE是矩形；故错误； ②∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE是菱形；故正确； ③∵AC⊥AB，AB∥CD， ∴AC⊥CD， ∵E为AD中点， ∴AE＝CE＝AD，

∴四边形AFCE是菱形；故正确． 故选：C．

7．解：A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形，本选项正确；

B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形，本选项正确；

C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形不一定是菱形，本选项错误；

D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形，本选项正确； 故选：C．

8．解：A．因为矩形的对角线相等，所以A选项不符合题意； B．因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以B选项不符合题意； C．因为菱形对角线互相垂直，所以C选项符合题意； D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．

故选：C．

9．解：A、由于（±4）2＝16，所以16的平方根为±4．故本选项说法正确．

B、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形．故本选项说法正确．

C、无理数是⼀限不循环小数，故本选项说法正确．

D、对⻆线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项说法错误． 故选：D．

10．解：如图，当点M在BC上时， ∵△ABM′和△DCE全等， ∴BM＝CE，

由题意得：BM′＝2t﹣4＝3， 所以t＝3.5（秒）；

当点M在AD上时， ∵△ABM″和△CDE全等， ∴AM″＝CE，

由题意得：AM″＝16﹣2t＝3， 解得t＝6.5（秒）．

所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．

故选：D．

11．解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意；

C、

∵在△ADB和△CDB中

，

∴△ADB≌△CDB（ASA）， ∴AD＝CD，AB＝CB， 同理△ACD≌△ACB， ∴AB＝AD，BC＝DC， 即AB＝BC＝CD＝AD，

∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；

D、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故本选项不符合题意； 故选：C．

12．解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以A选项错误．

B、当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故B选项错误． C、由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故C选项正确．

D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以D选项错误； 故选：C．

13．解；一个n边形内加1个点（点不在边上），可以把这个n边形分成n个三角形； 加2个点，最多可以把这个n边形分成2n个三角形； 如果加m个点，最多可以把这个n边形分成mn个三角形． 故答案为：n，2n，mn． 14．解：设这个多边形的边数为n， 则（n﹣2）×180°＝900°， 解得，n＝7，

∴七边形的对角线的总条数为：×7×4＝14，

故答案为：14．

15．解：易得这10张卡片的面积为1+2×4+4×5＝29，若为长方形，那么面积应为28，应去掉一块A型的；若为正方形，面积应为25，去掉一块C型的即可，所以拼出的矩形（或正方形）的面积为25或28cm2．

16．解：如图，过A作AM⊥EF于E，AN⊥EG于N，连接AE． ∵△ABC是等边三角形，AF＝AG， ∴∠AEF＝∠AEN， ∵AM⊥EF，AN⊥EG， ∴AM＝AN，

∵∠MEN＝60°，∠EMA＝∠ENA＝90°， ∴∠MAN＝120°，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，

∴∠DAB＝180°﹣∠B＝120°， ∴∠MAN＝∠DAB， ∴∠MAH＝∠NAL， ∴△AMH≌△ANL（ASA）， ∴S阴＝S四边形AMEN， ∵EF＝4，AF＝2， ∴AE＝2

，AM＝

，EM＝3，

＝3

，

∴S四边形AMEN＝2××3×

∴S阴＝S四边形AMEN＝3故答案为：

．

．

17．解：两个全等的等边三角形，以一边为对角线构成的四边形是平行四边形，这样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形，从该图案中可以找出15个平行四边形． 故答案为：15．

18．解：如图1，过P作PH⊥OY交于点H， ∵PD∥OY，PE∥OX，

∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°，

∴EP＝OD＝a，

Rt△HEP中，∠EPH＝30°， ∴EH＝EP＝a，

∴a+2b＝2（a+b）＝2（EH+EO）＝2OH，

当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC＝OA＝1，即a+2b的最小值是2；

当P在点B时，如图2，OC＝1，AC＝BC＝Rt△CHP中，∠HCP＝30°， ∴PH＝

，CH＝，

，

则OH的最大值是：OC+CH＝1+＝，即（a+2b）的最大值是5，

∴2≤a+2b≤5．

19．解：当点E在菱形边BC上时，如图1，

∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝2，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB＝BC＝2，∠AEC＝90°，∠EAC＝30°， ∵CE＝1，AC＝2， ∴AE＝

；

当点E在BC延长线上时，如图2，

过点A作AF⊥BC于点F， ∵CE＝1，

在Rt△AEF中，AF＝根据勾股定理，得 AE＝

＝

．

，EF＝CE+CF＝2，

则AE的长为：或．

20．解：如图，过D作DH⊥AE于H，过E作EM⊥AD于M，连接DE，

∵EF⊥AE，DF⊥EF，

∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°， ∴四边形DHEF是矩形， ∴DH＝EF＝AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BAD＝90°， ∵∠AME＝90°， ∴四边形ABEM是矩形， ∴EM＝AB＝2， 设AE＝x， 则S△ADE＝∴3×2＝x2， ∴x＝±∵x＞0， ∴x＝即AE＝

， ， ，

，

由勾股定理得：BE＝＝，

过F作PQ∥CD，交AD的延长线于P，交BC的延长线于Q， ∴∠Q＝∠ECD＝∠B＝90°，∠P＝∠ADC＝90°， ∵∠BAE+∠AEB＝∠AEF＝∠AEB+∠FEQ＝90°， ∴∠FEQ＝∠BAE，

∵AE＝EF，∠B＝∠Q＝90°， ∴△ABE≌△EQF（AAS）， ∴FQ＝BE＝∴PF＝2﹣∴S△ADF＝

， ，

＝

＝3﹣

．

21．解：如图，连接CD．

∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝

＝5，

∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴EF＝CD，

由垂线段最短，可得当CD⊥AB时，CD最短，即线段EF的值最小，

此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，

即×4×3＝×5•CD，

解得CD＝2.4，

∴线段EF长的最小值为2.4． 故答案为：2.4

22．解：根据题意可分两种情况画图： ①如图1，取AD的中点G，连接MG， ∴AG＝DG＝AD＝2，

∵点M为正方形ABCD的边BC中点， ∴MG⊥AD，MG＝AB＝AD， ∴∠MGN＝∠A＝90°， 在Rt△ADE和Rt△GMN中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△GMN（HL）， ∴∠GMN＝∠ADE，

∴tan∠GMN＝tan∠ADE＝，

∴＝，

∵GM＝AB＝4， ∴GN＝1，

∴DN＝DG+GN＝2+1＝3， 在Rt△CDN中，根据勾股定理，得 CN＝

＝

＝5；

②如图2，取AD的中点G，

同理可得Rt△ADE≌Rt△GMN（HL）， ∴∠GMN＝∠ADE，

∴tan∠GMN＝tan∠ADE＝，

∴＝，

∵GM＝AB＝4， ∴GN＝1，

∴DN＝DG﹣GN＝2﹣1＝1， 在Rt△CDN中，根据勾股定理，得 CN＝

＝

＝

．

综上所述：CN的长为5或故答案为：5或

．

．

23．解：（1）由题意得：小圆的直径为：（1﹣）×16＝14（米），

则小圆的周长为：π×14＝3×14＝42（米）， 答：小圆的周长是42米； （2）[5×

﹣5×

]﹣8×，＝5×3×15﹣9，＝216（米2），

答：这个五环图形的面积是216米2；

（3）设1个徒弟每小时刷墙x米2，则1个师傅每小时刷墙（2x﹣6）米2， 由题意得：2x﹣6＝

，

解得：x＝12， 2x﹣6＝2×12﹣6＝18，

即设1个徒弟每小时刷墙12米2，则1个师傅每小时刷墙18米2，

＝1，

即设4个徒弟干了3个小时，2个师傅干了2个小时， 3×150×4+2×270×2＝2880（元）， 答：学校共支付工资2880元． 24．解：∠A+∠C＝180°，理由如下： ∵∠1与∠2互余， ∴∠1+∠2＝90°，

∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，

∴∠ABC＝2∠2，∠ADC＝2∠1，

∴∠ABC+∠ADC＝2（∠1+∠2）＝2×90°＝180°， ∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°， ∴∠A+∠C＝180°．

25．解：四边形ABFC是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，

∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE， ∵E为BC的中点， ∴EB＝EC，

在△ABE和△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴AB＝CF． ∵AB∥CF，

∴四边形ABFC是平行四边形， ∵AD＝BC，AD＝AF， ∴BC＝AF，

∴四边形ABFC是矩形．

26．证明：∵△ABD、△ACE都是等边三角形，

∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴△BAC≌△DAE（SAS）， ∴DE＝BC，

又∵等边三角形BCF中，CF＝BC， ∴DE＝CF， 同理可得，DF＝EC，

∴四边形DECF是平行四边形．

27．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC，AB∥CD． ∴∠E＝∠F．

∵在△AOE与△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS）； （2）如图，连接EC、AF，

由（1）可知△AOE≌△COF， ∴OE＝OF，

∵AO＝CO，

∴四边形AECF是平行四边形．

28．解：（1）∵菱形ABCD的边长是10厘米，AC＝12厘米， ∴OC＝6厘米，OD＝8厘米，

设运动t秒时，△PON的面积是8平方厘米，根据题意，得 DP＝2t，CN＝t，

∴OP＝8﹣2t，ON＝6﹣t， ∴S△PON＝OP•ON，

∴（8﹣2t）（6﹣t）＝8，

解方程得，t1＝2，t2＝8，均符合题意，

答：当运动2秒或8秒时，△PON的面积是8平方厘米； （2）根据题意，得

①当0＜t≤4时，y＝（8﹣2t）（6﹣t）；

②当4＜t＜6时，y＝（2t﹣8）（6﹣t）；

③当6＜t≤8时，y＝（2t﹣8）（t﹣6）．

29．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝30°，

∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠BAF＝30°， ∴CE＝AE，

过点E用EH垂直于AC于点H，

∴CH＝AH ∵AC＝6， ∴CE＝2

；

答：CE的长为2

（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB， ∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF， 在Rt△ACF与Rt△AGF中， AF＝AF，CF＝GF，

∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL）， ∴∠AFC＝∠AFG， ∵CD⊥AB，FG⊥AB， ∴CD∥FG， ∴∠CEF＝∠EFG， ∴∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF， ∴CE＝FG，

∴四边形CEGF是菱形

30．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，DO＝BO， ∴∠EDO＝∠FBO， 又∵EF⊥BD，

∴∠EOD＝∠FOB＝90°， 在△DOE和△BOF中，

，

∴△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵EF⊥BD，

∴四边形BFDE是菱形，

根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x， 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2， 即（8﹣x）2＝x2+62， 解得：

，

∴，

∴四边形BFDE的周长＝．

31．解：（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC， ∴∠GAB＝∠BAD，∠GBA＝∠ABC，

∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC＝180°，

∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝90°，

即∠AGB＝90°，

同理可得，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG， ∴四边形EFGH是矩形；

（2）依题意得，∠BAG＝∠BAD＝30°，

∵AB＝6，

∴BG＝AB＝3，AG＝3

＝CE，

∵BC＝4，∠BCF＝∠BCD＝30°，

∴BF＝BC＝2，CF＝2，

∴EF＝3﹣2＝，GF＝3﹣2＝1，

．

∴矩形EFGH的面积＝EF×GF＝

32．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠GAD＝∠DCE＝90°， 在△GAD和△ECD中，

，

∴△GAD≌△ECD（SAS）， ∴DE＝DG，∠GDA＝∠EDC， ∴∠GDA+∠ADF＝∠EDC+∠ADF， 即∠GDF＝∠ADC＝90°， ∵DE⊥CH，

∴∠DFH＝∠CFD＝90°， ∴DG∥CH，

∵∠HCB+∠HCD＝∠EDC+∠DCF＝90°， ∴∠HCB＝∠EDC， 在△HBC和△ECD中，

，

∴△HBC≌△ECD（ASA） ∴CH＝DE，

∴DG＝CH， ∵DG∥CH，

∴四边形GHCD为平行四边形； （2）∵△HBC≌△ECD， ∴∠BHC＝∠CED， ∵∠ECF+∠FEC＝90°， ∴∠FEC，∠BHC与∠ECF互余； ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∴∠ADE与∠ECF互余； ∵∠DGA＝∠CHB， ∴∠DGA与∠ECF互余； ∵∠DCF+∠ECF＝90°， ∴∠DCF与∠ECF互余；

∴与∠ECF互余的角有：∠FEC、∠DCF、∠BHC、∠DGA、∠ADE．