浑南区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

浑南区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． “互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 2． 如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P（ξ≥1）等于（ ） A．0.1 B．0.2

3． 已知AC⊥BC，AC=BC，D满足A．

B．

﹣

C．

﹣1

C．0.3

+（1﹣t）

D．0.4

，若∠ACD=60°，则t的值为（ ）

=t

D．

4． 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（ ） A．16

B．6

C．4

D．8

，

，

，点M在OA上，且

，点N为BC中点，

5． 如图，空间四边形OABC中，则

等于（ ）

A． B． C． D．

6． 已知△ABC是锐角三角形，则点P（cosC﹣sinA，sinA﹣cosB）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7． △ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线 A．

B．

C．

D．± 上，则

=（ ）

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精选高中模拟试卷

8． 对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=A． C． D．

是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（ ）

9． 在△ABC中，已知a=2

，b=6，A=30°，则B=（ ）

D．45°

=（ ）

A．60° B．120° C．120°或60°

10．若复数z=2﹣i （ i为虚数单位），则A．4+2i B．20+10i

C．4﹣2i D．

11．命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是（ ）

A．“∀a∈R，函数y=π”是减函数 B．“∀a∈R，函数y=π”不是增函数 C．“∃a∈R，函数y=π”不是增函数 12．设集合A．

D．

B．

C．

D．“∃a∈R，函数y=π”是减函数

（ ）

二、填空题

13．一质点从正四面体A﹣BCD的顶点A出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱AB由A到B，第2次运动经过棱BC由B到C，第3次运动经过棱CA由C到A，第4次经过棱AD由A到D，…对于N∈n*，第3n次运动回到点A，第3n+1次运动经过的棱与3n﹣1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为 ．

y214．已知实数x，y满足3xy30，目标函数z3xya的最大值为4，则a______．

2xy20【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 15．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t= ． 16．已知角α终边上一点为P（﹣1，2），则

值等于 ．

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精选高中模拟试卷

17．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为 ． 18．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（

）t﹣a（a为常数），

如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．

三、解答题

19．设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣6y﹣7=0垂直，导函数

f′（x）的最小值为﹣12． （1）求a，b，c的值；

（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．

20．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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精选高中模拟试卷

x2y2221．（本小题满分12分）已知F1,F2分别是椭圆C：221(ab0)的两个焦点，P(1,)是椭圆上

ab2一点，且2|PF1|,|F1F2|,2|PF2|成等差数列．

（1）求椭圆C的标准方程；、

（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得QAQB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（本小题12分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，

716a5b313.111]

（1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）求数列{

23．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Snn2an(nN*)． （1）证明：数列{an1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

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an}的前项和Sn. bn精选高中模拟试卷

n2n（2）数列{bn}满足bnanlog2(an1)(nN*)，其前n项和为Tn，试求满足Tn2015的

2最小正整数n．

【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前n项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.

24．已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2

，且{bn}为递增数列，若cn=

，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1．

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精选高中模拟试卷

浑南区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参） 一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

试题分析：设从青年人抽取的人数为x,考点：分层抽样． 2． 【答案】A

2

【解析】解：如果随机变量ξ～N（﹣1，σ），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，

x800,x20，故选B． 50600600800

∵P（﹣3≤ξ≤﹣1） =∴

∴P（ξ≥1）=

．

【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．

3． 【答案】A

【解析】解：如图，根据题意知，D在线段AB上，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F；

若设AC=BC=a，则由

根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°； ∴即解得

．

；

；

得，CE=ta，CF=（1﹣t）a；

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精选高中模拟试卷

故选：A． 【点评】考查当满足

平面向量基本定理，余弦函数的定义．

4． 【答案】D

【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC=∴S△ABC=absinC=故选：D．

5． 【答案】B 【解析】解：又∴故选B．

【点评】本题考查了向量加法的几何意义，是基础题．

6． 【答案】B

【解析】解：∵△ABC是锐角三角形， ∴A+B＞∴A＞

， ﹣B，

﹣B）=cosB，

，

，

．

=，

=

=

；

=8．

=，

A，B三点共线，时，便说明D，以及向量加法的平行四边形法则，

∴sinA＞sin（

∴sinA﹣cosB＞0， 同理可得sinA﹣cosC＞0， ∴点P在第二象限． 故选：B

7． 【答案】D

上，

【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线∴A与B为双曲线的两焦点，

根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10，

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精选高中模拟试卷

则故选：D．

=

=±=±．

【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．

8． 【答案】D

【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立， 由于f（x）=

=1+

，

①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长， 满足条件．

②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t， 同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2≥t，解得1＜t≤2． ③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1， 同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t≥综上可得，

≤t≤2，

，2]，

．

故实数t的取值范围是[故选D．

【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．

9． 【答案】C 【解析】解：∵a=2

，b=6，A=30°，

=

=

，

∴由正弦定理可得：sinB=∵B∈（0°，180°）， ∴B=120°或60°． 故选：C．

10．【答案】A

【解析】解：∵z=2﹣i，

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∴=∴

=10•

=

=4+2i，

==，

故选：A．

【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．

11．【答案】C

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a∈R，函数y=π”不是增函数． 故选：C．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．

12．【答案】B

【解析】解：集合A中的不等式，当x＞0时，解得：x＞；当x＜0时，解得：x＜， 集合B中的解集为x＞， 则A∩B=（，+∞）． 故选B

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

二、填空题

13．【答案】 D ．

【解析】解：根据题意，质点运动的轨迹为： A→B→C→A→D→B→A→C→D→A

接着是→B→C→A→D→B→A→C→D→A… 周期为9．

∵质点经过2015次运动， 2015=223×9+8， ∴质点到达点D． 故答案为：D．

【点评】本题考查了函数的周期性，本题难度不大，属于基础题．

14．【答案】3

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【解析】作出可行域如图所示：作直线l0：3xy0，再作一组平行于l0的直线l：3xyza，当直线

l经过点M(,2)时，za3xy取得最大值，∴(za)max327，所以zmax7a4，故

a3．

5353

15．【答案】 0或1 ．

22

【解析】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t﹣t+1=﹣3①t﹣t+4=0，①无解 或t﹣t+1=0②，②无解

22

或t﹣t+1=1，t﹣t=0，解得 t=0或t=1．

2

故答案为0或1．

【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．

16．【答案】

．

【解析】解：角α终边上一点为P（﹣1，2）， 所以tanα=﹣2．

=

故答案为：﹣．

【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．

17．【答案】 3x﹣y﹣11=0 ．

【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点 为A（x1，y1），B（x2，y2），

22

即有y1=6x1，y2=6x2，

==﹣．

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相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2）， 即有kAB=

=

==3，

则直线方程为y﹣1=3（x﹣4）， 即为3x﹣y﹣11=0．

将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得 9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0， 故所求直线为3x﹣y﹣11=0． 故答案为：3x﹣y﹣11=0．

18．【答案】0.6

【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（∴0.1﹣a=0 a=0.1

由题意可得y≤0.25=， 即（

）t﹣0.1≤，

）0.1﹣a

即t﹣0.1≥ 解得t≥0.6，

由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 故答案为：0.6

【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵f（x）为奇函数，

33

∴f（﹣x）=﹣f（x），即﹣ax﹣bx+c=﹣ax﹣bx﹣c，∴c=0． 2

∵f′（x）=3ax+b的最小值为﹣12，∴b=﹣12．

又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为，则f′（1）=3a+b=﹣6，得a=2， ∴a=2，b=﹣12，c=0；

32

（2）由（1）知f（x）=2x﹣12x，∴f′（x）=6x﹣12=6（x+

）（x﹣），

列表如下：

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x （﹣∞，﹣） + 增 ）=﹣8

﹣ 0 （﹣﹣ 减 ）和（，） 0 极小 （ ，+∞）+ 增 f′（x） f（x） ∵f（﹣1）=10，f（

极大 ，f（3）=18，

所以函数f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣，+∞）． ）=﹣8

．

∴f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（

20．【答案】

设点P的坐标为（x，y）

22

化简得x+3y=4（x≠±1）．

22

故动点P轨迹方程为x+3y=4（x≠±1）

【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．

（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0） 则

因为sin∠APB=sin∠MPN， 所以所以

=

．

．

22

即（3﹣x0）=|x0﹣1|，解得22

因为x0+3y0=4，所以

故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为

【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．

21．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．

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下面证明m57时，QAQB恒成立． 416

当直线l的斜率为0时，结论成立；

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为xty1，Ax1,y1，Bx2,y2，

x2y21，得(t22)y22ty10， 由xty1及22t1,y1y22所以0，∴y1y22． t2t2x1ty11，x2ty21，

5511112∴(x1,y1)(x2,y2)(ty1)(ty2)y1y2=(t1)y1y2t(y1y2)＝

4444416112t12t22t2172． (t1)2t22t24t2162(t2)1616第 13 页，共 16 页

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7恒成立． 162n322．【答案】（1）d2,q2；（2）Sn6n1.

2综上所述，在x轴上存在点Q(,0)使得QAQB【解析】

an2n1n1，………………6分 bn2352n32n1Sn112n2n1，①

222211352n32n1Sn123n1.②……………8分 n222222`22222n11222S123①-②得Sn112n2n1nn2222222222（2）分

所以Sn622n1，…………102n12n2n3.………………12分 n12考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.

【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设{an}的公差为d，{bn}的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d和，进而可得{an}，{bn}的通项公式；（2）数列{an}的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和Sn. bn（1分）

23．【答案】

【解析】（1）当n1时,a112a1，解得a11. 当n2时，Snn2an，

①

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Sn1(n1)2an1，

②

（3分）

①-②得，an12an2an1即an2an11， 即an12(an11)(n2)，又a112. 即an12n故an2n1（nN*）. 所以an1是以2为首项，2为公比的等比数列.

（5分）

24．【答案】已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2

，且{bn}为递增数列，若cn=

，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1．

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．

【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，从而可得3（1++

）=9，从而解得；

=2n，利用裂项求和法求和．

2n2n

（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）=3•（），从而可得bn=log2

【解析】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q， 则3（1++

）=9，

解得，q=1或q=﹣；

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故an=3，或an=3•（﹣）n﹣3

；

（Ⅱ）证明：若an=3，则bn=0，与题意不符；

2n2n

故a2n+3=3•（﹣）=3•（），

故bn=log2故cn=

=2n， =﹣

，

故c1+c2+c3+…+cn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣

＜1．

【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．

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