广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学(理)试题(解析版)

2018年高考桂林市贺州市崇左市第二次联合调研考试

数学试卷(理科)

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A. 【答案】B 【解析】

故选B. 2.已知复数A.

B. 3 C.

，则 D.

（ ）

. B.

，

，则 C.

（ ）

D.

【答案】C 【解析】

故选C. 3.

是表示空气质量的指数，

指数值越小，表明空气质量越好，当

指数值不大于100时称空气质量“优良”.

如图是某市3月1日到12日指数值为201.则下列叙述正确的是（ ）

A. 这12天的指数值的中位数是90 B. 12天中超过7天空气质量“优良”

指数值的平均值为100

C. 从3月4日到9日,空气质量越来越好 D. 这12天的

【答案】C 【解析】

这12天的AQI指数值的中位数是67，72，92共6天，故B不正确；；

从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的故选 C．

指数值的平均值为110，故D不正确.

，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，

4.已知函数A. 【答案】B 【解析】 由题函数在对于A，对于B，对于C，对于D，故选B．

是 B.

()上的偶函数，且 C.

D.

在上单调递减，则

的解析式不可能为（ ）

是

上单调递减，

()上的偶函数，可得 解得 即有是上的偶函数，且

，为偶函数，且在 ，可得

递减；

递增，不符题意；

为偶函数，且在

递减；

，为偶函数，且在

为偶函数，且在递减．

5.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A 【解析】

三视图还原为三棱锥

，如图所示，

则三棱锥的表面积为

.

故选A.

6.将函数（）图像向右平移个单位长度后与原函数图像重合，则的最小值为（ A. 6 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 ∵函数数

（的图象向右平移个单位后与原图象重合，

）

又

故选A．

【点睛】本题考查由

，故其最小值是6．

的部分图象确定其解析式，本题判断出是周期的整数倍，是解题的关键．

的球面上，则该圆锥的体积为（ ）

7.已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为A.

B.

C.

D.

或

【答案】D 【解析】

由题意圆锥底面半径为，球的半径为 如图设 ，

则

所以，圆锥的体积为或故选D． 8.已知双曲线

，圆锥的高 或

.

的左右焦点分别为,为双曲线上第二象限内一点，若直线恰为线段

的垂直平分线，则双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设

，渐近线方程为

，对称点为

，即有

，且

，解得

，将

，即

故选C．

，代入双曲线的方程可得，化简可得

2

，即有e=5，解得

，

点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题；设出的坐标，渐近线方程为中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为

，以及点满足

，运用

，对称点为

，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即

可得到所求值.

9.执行如图所示的程序框图，若输出的所有值之和是，则判断框的空白处应填（ ）

A. B. C. D.

【答案】B 【解析】

模拟程序的运行，可知，程序输出的x是1，3，5，7，9，11，13，15，17中不是3的倍数的数，因为所有输出值的和1+5+7+11+13+17= ．故程序共运行9次.即判断框的空白处应填故选B.

．

10.过点A. 【答案】B 【解析】

的直线交抛物线 B.

于、两点(异于坐标原点),若 C.

D.

，则该直线的方程为（ ）

设直线AB的方程为，化为

，即

联立

（*）．

或

但是当

直线方程为

满足（*）

时，与抛物线的有关交点为原点，不满足

，应该舍去．

∴该直线的方程为故选B． 11.已知函数A. 3 B. 【答案】D 【解析】 函数分别令

C.

即．

的最小值为，则正实数

D. 3或

（ ）

，表示两点 ，令

，解得

之间的距离的平方． ，可得

则点

到直线

的

距离 ．由题意的最小值为，即

即得 或.

故选D.

12.某单位对一岗位面向社会公开招聘，若甲笔试成绩与面试成绩至少有一项比乙高，则称甲不亚于乙.在18位应聘者中，如果某应聘者不亚于其他17人，则称其为“优秀人才”.那么这18人中“优秀人才”数最多为（ ）

A. 1 B. 2 C. 9 D. 18

【答案】D 【解析】

先考虑两个应聘者的情形，如果甲的笔试成绩＞乙的笔试成绩，且乙的面试成绩＞甲的面试成绩，可知“优秀人才”最多有2人．

再考虑三个应聘者的情形，如果甲的笔试成绩＞乙的笔试成绩＞丙的笔试成绩，且丙的面试成绩＞乙的面试成绩＞甲的面试成绩，可知“优秀人才”最多有3人．

由此可以设想，当有18个应聘者时，设每个应聘者为Ai，（i=1，2，…，100），其笔试成绩为xi，面试成绩为yi，当

且

时，由笔试成绩看，Ai不亚于Ai+1，Ai+2，…，A100；

由面试成绩看，Ai不亚于Ai-1，Ai-2，…，A1 所以，Ai不亚于其他17人（i=1，2，…，18）所以，Ai为“优秀人才”（i=1，2，…，18）

因此，18个应聘者中的“优秀人才”最多可能有 18个．

故选D．

【点睛】本题主要考查了推理和论证，关键注意本题有笔试成绩与面试成绩两种情况，至少有一项大，就称作不亚于，从而可求出解．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.

13.设函数【答案】3 【解析】

由函数解析式，可得即答案为3. 14.已知实数

满足

则

的取值范围是__________．

即

，则

若

，则

__________．

【答案】【解析】

不等式组 ，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别

为由于所以即答案为

的斜率为，

，的几何意义是点 与 连线的斜率，

的斜率为.

的取值范围是．

.

【点睛】本题考查线性规划知识的运用，解题的关键是确定平面区域，明确目标函数的几何意义． 15.在数列【答案】4 【解析】

中，已知

.若

是

的个位数字,则

__________．

由题意，，且是的个位数字，

∴根据以上

的规律看出数列的从第2 项起构成一个周期为4的数列，故答案为4.

【点睛】本题主要借助于数列的性质考查有关的新定义，解决此类问题的关键是要注意正确审题，即正确理解数列递推式的定义，以及正确并且合理的运用数列的递推式和数列的周期性． 16.已知【答案】6 【解析】

又

的内切圆面积为，则

的内切圆半径

，则

的面积

由

的内角分别为,，，

，且

的内切圆面积为,则

的最小值为__________．

余弦定理可得

将 即

即

（当且仅当

时取等号），故

代入整理得

解得

（舍），

的最小值为6.

即答案为6.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分

17.已知数列（1）求数列

为等比数列，其前项和为，且的通项公式；

.

（2）设，求数列的前项和.

【答案】(1) .

(2) 【解析】

试题分析：（1）利用

.

，可求的通项公式；

（2）化简可得，利用错位相减法可求.

试题解析：（1）由∴当∵

时，.∴

是以

.

，得.

为首项，4为公比的等比数列.

∵，∴.

∴当∴

时，

.

，符合上式. .

.

（2）由（1）知

∴.①

.

①-②得：，

∴

18.在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.

组别 频数

25 150 200 250 225 100 50 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求

，近似为这1000人得分的平均值值

；

（2）在（1）的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：: （ⅰ）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次获赠送的随机话费和对应的概率为： 赠送的随机话费（单元：元） 概率

现有市民甲要参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与数学期望. 附：参考数据与公式

，若

①②③

，则 ； ； .

20 0.75 40 0.25 【答案】（1）0.8186.（2）见解析. 【解析】 【分析】

（1）由题意结合题意可得

，

，结合正态分布图像的对称性可得

；

.

.

，

， .

∴

.

；

；

.

.据此

（2）由题意可知的可能取值为，，，.且可得分布列，结合分布列计算数学期望可得【详解】（1）故∴

，

综上，

.

（2）易知

，

获奖券面值的可能取值为，，，.

；

；

的分布列为： ∴

.

；

.

【点睛】本题主要考查正态分布的应用，概率分布列和数学期望的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.如图，四棱锥二面角（1）求证：（2）求二面角

的大小为

；

的余弦值. 中，底面.

为边长是2的方形,，分别是

，

的中点，

，

，且

【答案】（1）见解析.（2）. 【解析】 试题分析：（1）作∴

平面

于点连接

； 所在直线为

轴，建立如图所示空间直角坐标系

，

，可证

，

，又

，

，即可证明

,

,

（2）以点为原点，

利用空间向量可求二面角试题解析：（1）证明：作∵∴即∴∴

，平面.

平面平面,

,，又，，∴

，又

平面

，

的余弦值. 于点连接

， ， ， ，

，

（2）∵平面

，∴

以点为原点，

，平面. 所在直线为

， ,

平面，

轴，

建立如图所示空间直角坐标系∵∴∴∴∴设平面

，即

，

,

的法向量

， ，.

.

，，

.

由，得

令易知

，得 为平面

的一个法向量.

设二面角则

为，为锐角 .

20.已知、是椭圆两点，

与轴交于点，

（

，且

）的左、右焦点，过作轴的垂线与交于、

，为坐标原点.

（1）求的方程；

（2）设为椭圆上任一异于顶点的点，过点、的圆切于点.试问：【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）由题可得圆的方程； 2）由（1）可知，设点

，表示出

，

、为的上、下顶点，直线、分别交轴于点、.若直线与

是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

.（2）见解析.

为正三角形，由此求得，又，可求得，.，得到椭

的坐标，设圆 的圆心为，设圆的半径为，通过点在圆上，推出

．然后求出

试题解析：（1）由且

，得

，

∴∴∵∴

，

.

.

，.

，且

的表达式，利用

的中点，又

，化简即可求出为等腰三角形

的值

知点是线段为正三角形，

，

椭圆的方程为（2）设

，由（1）知，，

则直线的方程为.

直线的方程为，

∴，，

设过的圆的圆心为

即，则的半径满足；

又

∴

∴

，即

为定长.

，直线

是曲线

的的一条切线.

21.已知函数（1）求的值； （2）设函数【答案】（1）【解析】

，证明：函数

.（2）见解析.

无零点.

试题分析：（1）若直线是曲线的的一条切线，设，则，解

得实数的值； （2）由（1）知

，令

可得即函数

故

无零点.

.

，研究，

的性质可得

在

上单调递减，在

上单调递增，故

.

试题解析：（1）

设切点为，则，

解得∴

，为所求.

.

（2）由（1）知

，令

∵当又且当即当∴∴∵∴∴∴函数

， 无零点. 在时，

,时，时，

，当；当

，∴函数，∴

在

，

.

上单调递增，

，

存在唯一零点时，时，上单调递增，

. ，

上单调递减，在.

，

，

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系

中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，直线的参数方程为

，射线

，

，

与曲线分

（为参数，为的倾斜角），曲线的根坐标方程为

别交于不同于极点的（1）求证：（2）当

三点.

；

时，直线过,两点，求与的值.

，

.

【答案】（1）见解析;（2）【解析】

（1）由题意可知求得试题分析：（2）当

及，即可证明

时，求得和点坐标，求得直线的方程，即可求得与的值．

试题解析：（1）证明：依题意，

，

则

.

（2）当

时，点的极坐标为

，，

，

点的极坐标为

直线∴

，

.

.

，使不等式，

23.已知函数（1）若

成立，求满足条件的实数的集合；

，

，

，

，求证：

.

（2）为中最大正整数，【答案】（1）【解析】

;（2）见解析.

试题分析：（1）根据题意，由零点分段讨论法分析不等式，得到的解析式，即可得

到.

，即可得，

，由基本不等式的性质可得，将3个式子相乘，可得

，．

（2）由（1）可得

试题解析：（1）由已知得

则由于即

（2）由（1）知因为则

，

，， ，使不等式

，则，所以

，

，

成立，所以

，

，

，（当且仅当，（当且仅当

时等号成立）， 时等号成立），

（当且仅当

则即

.

时等号成立），

时等号成立），

（当且仅当

【点睛】本题绝对值不等式的性质以解法，涉及基本不等式的性质以及应用，（2）的关键是分析转化求出值．

的最