广东省佛山市顺德一中、顺德李兆基中学、顺德实验学校等六校2016届高三上学期期中考试数学理试卷

2015—2016学年度第一学期中考试高三数学（理科）试卷

命题人：李兴习 审题人：杨罡

一、单项选择题：(每小题5分，共60分)

1.已知集合Px|(x3)(x6)0,xZ，Q5,7，下列结论成立的是 A．QP B．PQ5 C．PQQ D．PQP 2.下列函数中，既是偶函数又在0,上单调递增的是 A. yx3 B. ycosx C.ytanx D. ylnx 3.已知平面向量a(2,1)，b(x,2)，若a//b，则ab等于 A．2,1 B．2,1

C． 3,1

D． 3,1

4.在△ABC中，∠A＝

3，AB＝2，且△ABC的面积为32，则边AC的长为 A. 1 B. 3 C. 2 D. 1 5.

10(ex2x)dx等于

A．1

B．e1

C．

D．e1

6.已知函数f(x)=x3

+ax2

+bx+c，下列结论中错误的是

A. x0∈R , f(x0)=0 B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形

C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞ , x0）单调递减 D. 若x0是f（x）的极值点，则f'x00 7.下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是 A．sinAcosA15 B．ABBC0

C．b3,c33,B30 D．tanAtanBtanC0

8.已知定义在上的函数f(x)(1|2)xm|1（为实数）为偶记a=f(logy=f(x)0.53),b=f(log25),cf(2m),则a,b,c的大小关系

A．abc B. b(x0,f(x0)函数，

为

1

9.已知可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线为l:yg(x)（如图），设F(x)=f(x)-g(x),则 A．F(x0)0,xx0是F(x)的极小值点 B．F(x0)0,xx0是F(x)的极大值点 C．F(x0)0,xx0不是F(x)的极值点 D．F(x0)0,xx0是F(x)的极值点

10.定义：若函数f(x)的图像经过变换T后所得图像对应函数的值域与f(x)的值域相同，则变换T是f(x)的同值变换.下面给出的四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f(x)的同值变换的是 A．fxx1 ，T：将函数f(x)的图像关于y轴对称 B. fx2x121 ，T：将函数f(x)的图像关于x轴对称

C. fx2x3 ，T：将函数f(x)的图像关于点（-1,1）对称 D. fxsinx ，T：将函数f(x)的图像关于点（-1,0）对称 3211.已知过点（1，2）的二次函数yaxbxc的图象如右图，给列论断：①abc0，②abc0,③b1，④a断是

A． ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④

出下确论

1

. 其中正2

12.定义在R上的奇函数yf(x)满足f(3)0，且不等式f(x)xf(x)在(0,)上恒成立，则函数

g(x)=xf(x)lgx1的零点的个数为

A. 4

二、填空题(每小题5分，共20分) 13. 函数yln(x22)的定义域为 ． 14. 已知复数zB. 3 C. 2

D. 1

1i（为虚数单位），计算：

zz_____． zz15. 如图在平行四边形ABCD中,AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若BEBABD,(,R)，则λ+μ=______.

AEOD

BC2

16.求值:

cos40sin50(13tan10)sin701cos40=_______.

三、解答题(共6小题，满分70分)

17. (本小题满分10分) 等差数列an中，a74,a192a9, (Ⅰ)求an的通项公式； (Ⅱ)设bn

1x

18. (本小题满分10分) 已知定义在R上的函数f(x)＝2－|x|. 23

(Ⅰ) 若f(x)＝，求x的值；

2

(Ⅱ) 若2f(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

19. (本小题满分12分) 已知向量m(sinx,1)，n(3cosx,)，函数f(x)mmn2． （Ⅰ）求f(x)的最大值，并求取最大值时的取值集合；

（Ⅱ）已知、b、分别为ABC内角、、C的对边，且，b，成等比数列，角为锐角，且f(B)1，求

t

1,求数列bn的前n项和Sn. nan12211的值． tanAtanC

20. (本小题满分12分) 某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC,CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA,AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC, (Ⅰ)设AB=x米，cosA=f(x),求f(x)的解析式，并指出x的取值范围;

(Ⅱ) 求四边形ABCD面积的最大值.

第20题图 ．

3

21. (本小题满分12分) 数列{a1n}的前n项和为Sn，Snan2n232n1(nN*)． （Ⅰ）设bnann，证明：数列bn是等比数列； (Ⅱ)求数列{(2n3)b1n}的前项和Tn,并证明Tn[2,1).

22. (本小题满分14分) 已知函数f(x)ax33xlnx1(aR). (Ⅰ)当a0时，求f(x)的极值；

(Ⅱ)若f(x)在区间(1e,e)(其中e=2.71 828…)上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.

2015—2016学年度第一学期期中考试 高三数学（理科）试卷．答题卷

分数统计栏 题号 二 16 17 18 19 20 21 22 Ⅱ卷总分 分数 二、填空题(每小题5分，共20分)

13. _; 14. ; 15. ; 16. _________.

4

___________座位号____________ 要……○……答……○……题…………○ …………………………………………………… 17．解： 三、解答题

___……__…… __○…__…… __…… __不… 码……

号…… 试○… 考…… _……__内… __……__…… 18.解: __○…__…… _…… ___线… ___……名…… 姓○… …… ___……__封… __……__…… __○…__…… __……__密… _级……班…… ………… …… ○……… ………… ……

5

19．解：

20.解：

第20题图

6

21．解：

7

22．解：

8

2015—2016学年度第一学期期中考试高三数学（理科）试卷

参

一、选择题：BDAAC, CDBAB,CB 二、填空题： 13.,22,3;

14.; 15.

4; 16. 2. 三、解答题

17．解:（I）设等差数列{an}的公差为d，则ana1(n1)d. 因为a74，所以a16d41a，解得192a9ad2(aa11,d11818d)2.

9

所以{an1n}的通项公式为an2 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 （II）因为b121nnan(n1)2(n1n1) n所以S111112nn2[1223nn1)n1 。。。。。。。。。。。。。。。10分 18.解：(1)当x＜0时，f(x)＝0，无解；

当x≥0时，f(x)＝2x－1x

132x，由2－2x＝2

，

得2·22x

－3·2x

－2＝0，看成关于2x

的一元二次方程，

解得2x＝2或2x＝－12，∵2x

＞0，∴x＝1 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

(2)当t∈[1,2]时，2t

22t

－122t＋m2t－12t≥0，

即m(22t

－1)≥－(24t

－1)，∵22t

－1＞0，∴m≥－(22t

＋1)， ∵t∈[1,2]，∴－(22t

＋1)∈[－17，－5]，

故m的取值范围是[－5，＋∞)． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分 19.解：（Ⅰ）f(x)(mn)m2sin2x13sinxcosx122 1cos2x322sin2x1232sin2x12cos2xsin(2x6) 故f(x)max1，此时2x62k2,kZ，得xk3,kZ，

∴取最大值时的取值集合为{x|xk3,kZ}． 。

。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 （Ⅱ）f(B)sin(2B6)1，0B2，62B656， 2B62，B3．

由b2ac及正弦定理得sin2BsinAsinC于是

11cosAcosCsinCcosAcosCsinAtanAtanCsinAsinCsinAsinC sin(AC)123sin2BsinB3． .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 20.解:在ΔABD中，BD2

=AB2

+AD2

-2AB×ADcosA, 同理在ΔCBD中，BD2

=CB2

+CD2

-2CB×CDcosC,

10

因为∠A和∠C互补，

所以AB2

+AD2

-2AB×ADcosA= CB2

+CD2

-2CB×CDcosC= CB2

+CD2

+2CB×CDcosA 即x2

+(9-x)2

-2x(9-x)cosA=x2

+(5-x)2

+2x(5-x)cosA 得cosA=

2x,其中x∈(2,5) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 (2)四边形ABCD的面积S=

12(ABADCBCD)sinA =

1[x(5x)x(9x)]1cos2A=x(7x)1(2)2=(x24)(x7)22x

记g(x)=(x2

-4)(x-7)2

, x∈(2,5)

由g/

(x)=2x(x-7)2

+(x2

-4)×2(x-7)=2(x-7)(2x2

-7x-4)=0,解得x=4(x=7和x=12舍去) 所以函数g(x)在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减； 所以g(x)的最大值为g(4)=12×9=108. 。。。。。。。。。。。。。10分 所以S的最大值为10863 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分 答:所求四边形ABCD面积的最大值为63m2

. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

21．解:（I）因为a123nSn2n2n1， 所以 ① 当n1时，2a111，则a12，

② 当n≥2时，a13n1Sn12(n1)22(n1)1， 所以2anan1n1，即2(ann)an1n1， 所以b1n2ba1n1(n≥2)，而b1112， 所以数列b111nn是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn2．。。。。。。。。。4分（II）由(1)得(2n3)b2n3n2n. 所以 ①T1n21232n52n3222n12n， ②

1T1n22132n72n52n3223242n12n2n1 ②-①得：

12T1111112n3n22(2223242n12n)2n1

11

=12n122n1 T2n1n12n

因为T2n32n12n1n-Tn+1= 2 n12n2n1<0 所以数列{Tn}是单调递增数列故T12n1nT12，又2n0，故Tn<1 综上112Tn1，即Tn[2,1). 。

。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 22.

12

13

14

15