Ｐｒｏｏｅｅｄｉｎｊ加ｏｆ ｔｈｅ ２４伪Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｃｏｎｔｒｏｌ ＣｃｎｆｆｅｒｅｎｃｅＧｕｓ川杯ｈｏｗ， Ｐ．Ｒ．ＣｈｌｎａＪｕｌｙ １冬１认２００５动态均值一方差投资组合理论在油田勘探开发项目中的应用闰伟’，李树荣’，孙焕泉“ （１．石油大学（华东）信息与控制工程学院，山东东营２５７０６１；２．中国石化胜利油田有限公司，山东东营２５７０ ００）Ｅ－ ｍａｉｌ： ｙａｎｗｅｉ－１２３４５６＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ， ｌｉｓｈｕｒｏｎ＠ｈｄｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ摘要：本文主要研究油田勘探开发项目的投资组合，并应用动态均值一方差理论，给出了项目投资的动态数学模型，该模型是控制带约束的随机线性二次型（（ＬＱ）控制问题。在讨论了该随机ＬＱ控制问题的解后，给出了油田勘探开发项目的投资组合动态数学模型对应的随机的的Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ－Ｂｅｌｌｍａｎ（ＨＪＢ）方程的解。最后，针对某个油田勘探开发项目的实际情况，应用上述结果，给出了实例的解，并得出了有效边界和最佳策略。关键词：现代投资组合理论，动态均值一方差投资组合，有效边界，随机ＬＱ控制，随机ＨＪＢ方程Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｍｅａｎ－Ｖａｒｉａｎｃｅ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙｉｎ Ｏｉｌｆｉｅｌｄ Ｅｘｐｌｏｉｔａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ（Ｉ－Ｃｏｌｌｅｇｅ了Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙｏｔ ｆ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ， Ｄｏｎｇｙｉｎｇ Ｓｈａｎｄｏｎｇ ２５７０６１， Ｃｈｉｎａ；）（２．ＳＩＮＯＰＥＣ Ｓｈｅｎ沙Ｏｉｌｆｉｅｌｄ Ｃｏ．，Ｌｔｄ．，Ｄｏｎｇｖｉｎｇ Ｓｈａｎｄｏｎｇ ２５７０００， Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｃｏｎｃｅｒｎｅｄ ｗｉｔｈ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｏｆ ｏｉｌｆｉｅｌｄ ｗｉｔｈ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｅａｎ－ｖａｒｉａｎｃｅ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｆｏｒｍｕｌａｔｅｄ ａｓ ａ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｌｉｎｅａｒ－ｑｕａｄｒａｔｉｃ（ＬＱ） ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｒｏｂｌｅｍ． Ａｆｔｅｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ＬＱ ｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍ， ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ－Ｂｅｌｌｍａｎ（ＨＪＢ） ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ， ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｂｏｕｔ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｏｆ ｏｉｌｆｉｅｌｄ ｅｘｐｌｏｉｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ， ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｆｒｏｎｔｉｅｒ ａｎｄ ｏｐｔｉｍａｌ ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅａｎ－ｖａｉｒａｎｃｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｒｅ ａｌｓｏ ｇｉｖｅｎ．Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｍｏｄｅｒｎ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ， ｍｅａｎ－ｖａｒｉａｎｃｅ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ， ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｆｒｏｎｔｉｅｒ， ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ＬＱ ｃｏｎｔｒｏｌ， ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃＨＪＢ ｅｑｕａｔｉｏｎＹａ ｎ ｗｅｉ ＇，Ｌｉ Ｓｈｗｒｏｎｇ＇，Ｓｕｎ Ｈｕａｎｑｕａｎ ２１引言 在油田勘探开发项目中，确定项目投资分配的传统方法总是孤立地评价项目。项目必须经过某些经济测试，如果不能通过测试，则项目被淘汰。现代投资组合理论采取的是另一种方法，其最重要的理论基础是把重点放在多个项目之间的相互作用之上。运用投资组合理论的主要优点是在某个可接受的风险水平内增加投资组合的经济回报，另一个优点是分析过程本身对决策者的资产有更深入了解。现代投资组合理论和优化技术在油田勘探开发项目投资决策中起着越来越重要的作用。目前关于油田勘探开发项目投资优化组合的 研究多是单一时时段的，也就是以静态研究为主。研究多是针对静态的项目投资组合不同，这里所考察的是动态的投资变化，也就是连续时间的投资组合管理（动态均值一方差理论）应用于油田勘探开发项目的投资，并建立了一种油田勘探开发项目投资的动态数学模型，给出了算法并通过实例进行了应用研究。２油田勘探开发项目投资的动态数学模型假设某油田有ｎ个勘探开发投资项目，每一个 项目的净现值（ＮＰＶ）的过程为戈（ｔ），它遵循的动态过程不再是单纯的微分过程，而是加入了随机的部分（维纳过程），进而满足如下随机微分方程：自Ｍｅｔｒｏｎ Ｒ．Ｃ［２，３］关于连续时间最优投资消费和投资策略发表以来，人们开始关注连续时间的投资。本文与以往的油田勘探开发项目的投资组合本１：作得到“９７３＇’项目（２００４ＣＢ３１８０００）的资助。ｄＳ， （ｔ）＝Ｓ， （ｔ） ｛ｂｉ （ｔ）ｄｔ十艺６ｊ （ｔ）ｄＷ＇ （ｔ）），（２．１）ＳＡＯ）二Ｓｉ＞ｏ．这里的ｂ我们可以称之为升值率（与经济学相对应） ｒｃｉ１我们可以称之为波动率，而邢＇（ｔ）．．．牙＂（ｔ））‘是标准维纳过程。Ｗ（ｔ）＝（１６８９ 我们再假设初始总净现值为ｘｏ，在时刻ｔ（ｔ Ｅ［０，Ｔ］），第ｉ个项目上的净现值为况（ｔ），则我们有３模型的求解 随机最优控制问题由于增加了随机部分，现如今常用的方法是随机极大值原理和动态规划的方法。ｘ（ｔ）一ＥＳ，（ｔ）（２．２） 考虑到动态的变化过程我们可以写出如下随机微分方程：２．３）ｄ）（ｔ）一公（ｔ）ｕ， （ｔ））ｄｔ＋乙么（ｔ）ｕ， （ｔ）ｄＷ （ｔ）（月ｉｄ 针对这个问题我们可以看出无论是目标函数还是约束，都只是二次型的形式，因此我们可以考虑应用随机ＬＱ控制的理论来求解。下面我们来考虑如下问题： ｄｃ（ｔ）＝［Ａ（ｔ）ｘ（ｔ）＋Ｂ（ｔ）ｕ（ｔ）＋ｆ （ｔ）］ｄｔ＋在这里我们令ｕ； （ｔ）＝Ｓ； （ｔ），并且没有考虑其它的耗费。艺Ｄｊ （ｔ）ｕ（ｔ）ｄＷ＇ （ｔ），‘。［ｓ， Ｔ］ｊ＝ｌ 按照动态均值一方差投资理论（ 详情可见【１］），我们要找寻这样的投资策略，它使得我们最终总净ｘ（ｓ）二ｙｃ－Ｒ现值的数学期望Ｅ［ｘ（乃］＝ｄ的情况下，风险最小（它以最终总净现值的方差或标准差来度量，详情可见［４］），也就是：（ ３．１）其中Ａ（ｔ）， ｆ （ｔ） Ｅ Ｒ ， Ｂ（ｔ）＇ Ｅ尺（Ｒ”的非负子空间），ＤＩ （ｔ）＇ Ｅ Ｒ＂ ， ｕ （ｔ）＇ Ｅ Ｒ＂，我们的目标是找寻一个ｕ（），使得二次（最终）值函数最小，即：Ｊ （ｓ， ｙ； ｕ（．））＝Ｌ［－：－ ｘ（１）‘］为如下：＿＿１＿、。＿ 匕 Ｖａｒ［ｘ（Ｔ）］＝Ｅ｛ｘ（乃一Ｅ［ｘ（Ｔ）扩＝Ｅ［ｘ（Ｔ）一司，最小。这个在投资学里称之为有效边界的求解，在有效边界上点对应的投资都是可以进行的，这样我们得到如下数学模型：（３．２）那么关于随机ＬＱ问题（（３．１）－（３．２）的值函数可定义Ｍｉｎ Ｖａｒ［ｘ（Ｔ）］＝Ｅ［ｘ（Ｔ）一ｄ］ｚｓ．ｔ． Ｅ［ｘ（Ｔ）］二ｄ，ｘ（ｔ）， ｕ； （ｔ）满足（２．３）， ｕ； （ｔ） ＿＞０， ｉ＝Ｉ．．．ｎ这里我们做如下说明：１ ）在一般连续时间投资市场上，我们通常假设还存在一种无风险的资产，但这里的油田勘探开发项目投资只涉及风险投资，故不存在无风险的资产；２）在一般连续时间投资市Ｖ（ ｓ，．ｖ）＝Ｓｕｐ Ｊ（ｓ， ｙ；ｕ（．）） （３．３）我们来研究关于系统（ （３．１）－（３．３）的随机ＨＪＢ方ｕ（ 今ＥＵ［ｓ，Ｔ ］（ ２．４）程Ｖ （ｔ， ｘ） ＋辘（Ｖｘ（ｔ， ｘ）［Ａ（ｔ）ｘ（ｔ）＋Ｂ（ｔ）ｕ（ｔ）＋，Ｊ ｝ｔ）｝＋ ＾ ｖｘｘ（ｔ，ｘ｝（ｔ）＇试ｔ）＇试ｔ）ｕ（ｔ） ｝Ｌ 二０１，，，、，、，＿，、，＿、 场上，当投资份额出现负值时（ｕ； （ｔ） ＜ ０ ），我们把它当作是投资者的卖空（详情可见［５］）的表现，这在一些比较发达的投资市场是允许的，但由于它的存在会使市场的混乱加剧，故很多投资市场是不允许的，这里这种比较具体的勘探开发项目的投资就是（３．４）Ｖ（Ｔ， ｘ）一喜ｘ（１＇）２２ 其中Ｄ（ｔ）＇＝（几（ｔ） ．．．风（ｔ）），。令或ｔ）是如下最优化问题的解不允许的，因此它始终要求ｕ； （ｔ） ＞＿０；３） 这里我们一般假设ｄ＞＿ｘｏ。考察问题（（２．４）可以转化为如下（对每给定一个尸）＿ Ｍｉｎ＿士｝｝（Ｄ（ｔ）＇）一，Ｚ（ｔ）＋（ｖ（ｔ）＇）一，Ｂ（ｔ）‘日２（３．５）＂ －＋，ｏ￥）ｒ（ｚ２”、１二＿， 、，、＿、，，＿，二。Ｍｉｎ Ｅ｛［ｘ（Ｔ）一刃＋２ｐ（Ｅｘ（Ｔ）ｌ一ｄ１｝ｓ．ｔ． ｘ（ｔ）， ｕ； （ｔ）满足（２．３）， ｕ； （ｔ） ？ ０， ｉ＝１二ｎ（２．５）其４ ＩＩ Ｍ ＩＩ司艺可，Ｍ ＝ （ｍｌ）是一向量或矩阵，并令｝（ ｒ）＝＝（Ｄ（ｔ）＇）一，ｚ（ｔ）＋（Ｄ（ｔ）＇）一‘Ｂ（ｔ）ｕ （３．６）我们可以得出如下结论（详细证明过程可参阅文献［１］［８１）：而且它可以转化为如下问题：Ｍｉｎ粤Ｅ［ｘ（Ｔ）一（ｄ一Ｍｌ ２乙 ｓ．ｔ． ｘ（ｔ）， ｕ； （ｔ）满足（２．３）， ｕ； （ｔ） ？ ０， ｉ＝１二ｎ （２．６）１６９０ｘ＋士ＰＲ ＯＸ，＋ｇ （ｔ）ｘ十Ｃ， （ｔ）Ｉ｝乙Ｖ （ｔ， ｘ）＝ｆ ｆ （ｚ）ｅ ｆＡ（ｓ）ｓｄｄ（ｚ） ！｝０， ＋ｇ２（ｔ）ｘ＋Ｃ２（ｔ） ＆＇ｘ＋４油田勘探开发规划项目投资组合的有效边界和最佳策略 某油田勘探开发规划的探区共有５个勘探项目，它们分别是：圈闭ＴＯ１，圈闭Ｔ０２、圈闭Ｔ０３，ｆｆ（Ｚ户）ｓｄｄ（Ｚ）・。（３７、，，圈闭Ｔ０４、圈闭Ｔ０５，它们的升值率和波动率分别如下所示：一ｌｗｅ．．ｅｅ０．０３２ｒ工！！月！０．０２８其中月（ｔ）、ｇｉ （ｔ）、Ｃ， （ｔ）和Ｐ２ （ｔ）、ｇ２（ｔ）、分别满足如下方程：欢（；）＝［－２Ａ（ｔ）＋ ＩＩ看 （ｔ） ＩＩＺＩＰ（ｔ）Ｐ， （Ｔ）＝１君（ｔ）＞０ｇｉ （ｔ）＝［－Ａ（ｔ）＋ ＩＩ ｝（ｔ） １１ Ｚ ｌｇＩ （ｔ）一Ｊ（ｔ）Ｐ， （ｔ）ｇ， （Ｔ）＝０ｇ， （ｔ）＞０６１ （ｔ）一厂（‘）９，（；）十喜Ｉ艺 Ｉ言（，）１１２只（；）一，９，（ｔ） ２Ｃ， （Ｔ）二０Ｃｌ （ｔ）＞０只（ｔ）＝＝－２Ａ（ｔ）Ｐ２ （ｔ）Ｐ２（Ｔ）＝１几（１）＞０１１１ｋ２ （１）＝－Ａ（ｔ）９２ （ｔ）一ｆ（ｔ）Ｐ２ （ｔ）１，１９２（Ｔ）＝０９２ （ｔ）＞０了苦１｜ｅ２ （ｔ）＝－ｆ（ｔ）９２（ｔ）ｅｅ叹｜ｓｅｃ２（Ｔ）＝０、ＬＣ２ （ｔ）＞０而且可以得到最优的ｕ｀ （ｔ， ｘ）Ａｔ）一，｝（ｔ）（ｘ＋｝Ａ｝Ｓ｝｝ｄ（ｚ））ｕ｀（ｔ，ｘ）二春＋ｅ：！｝０， （春＋ｅ一Ｐ（Ｓ）｀ｓｆｆ（ｚ ）ｅｆ４Ｓ）ｄ（ｚ）＞００、Ｉｗｅ尸产ｔ．‘ｅｓ０．０４５ｌｅｓ．，Ｉ０．０５１．．ｌｅｓｅｓｅｓＬ０．０６７ｅｓＪａ３ ０．工、）０ｏ．４ ００．６３０．５０．２０１４０００１．７初始总净现值ｘｏ为１６（ｔ）一日－．’９６ｘ 一１０８，而我们考察２２０个月即令Ｔ－－２２００针对这个实际的例子，我们要应用上一节的结果还 需要做一些转化。我们令Ｘ （ｔ）＝＝ｘ（ｔ）一（ｄ －，ｕ），那么问题（（２．６）可再一次转化以下：Ｍｉｎ工Ｅ［２ Ｘ（Ｔ）１２ｆｌｄＹ（ｔ） ＝ ［Ａ（ｔ）Ｘ（ｔ）＋ Ｂ（ｔ）ｕ（ｔ）＋十 Ｓ ｔ十ｆ（ｔ）ｌｄｔ＋艺几（ ，！ｊ＝１ ｔ）ｕ（ｔ）ｄＷ＇ （ｔ）（４．１） ｕ； （ｔ） ＞＿０， ｉ二１．．．ｎ １ Ｘ（０） ＝ ｘｏ一（（ｄ一Ｐ） 其中Ａ（ ｔ）＝０，ｆ （ｔ）＝０，Ｂ（ｔ）＝（八（ ｔ ），乓（ｔ），瓦（ｔ），瓦（ｔ），瓦（ｔ））Ｄｊｔ ）＝（ａ，ｉ （ｔ）， ａ， （ｔ）， ａ３ ｊ （ｔ）， ａａｊ （ｔ）， ａＳｉ （ｔ））令Ｙ（ｔ）是如下最优化问题的解、ｒｃｌＭｉｘｏ，ｎ｝ｊ告。｝（、‘）‘）一：（‘）＋（、‘）／）・，）／１２。・，）ｉ （ｔ）＝（６（ｔ）＇）一‘ｙ（ｔ）＋（６（ｔ）｀）一’Ｂ（ｔ）＇ （４．３）这样我们可以得出最佳策略如下： 护ｌｌｅｓ一（ｃ（ｔ）６（ｔ）＇）一，［Ｙ （ｔ）＋Ｂ（ｒ）＇ ）ｅｓ＊ Ｕ 了． 子 Ｚ 、 乙．、 （ｘ一（ｄ一Ｐ）ｌ 、 今 Ｘ 少 －－ 、ｌ ３．８） ｌ ｌ若ｘ一（ （ｄ一Ｂ）‘０， Ｌ０若ｘ一（ｄ一川＞０（４．４） Ｂ＇［（ｄ一ｐ）一ｘ］ 若ｘ一（ （ｄ一Ｐ）‘０，０若ｘ一（（ｄ一，Ｕ）＞０１６９１几其中：闭项目不见的投资就要特别大，比如圈闭Ｔ０４和圈Ｂ＊＝（０．００６７，０．００２１，０．００９，０．０２０４，０．０２１４）＇闭Ｔ０５，虽然圈闭Ｔ０５的升值率比圈闭Ｔ０４的大的进而我们要求出投资的有效边界，我们可以很容易多，但由于它的波动也很大，也就是ＮＰＶ不稳定，得出如下的结论：那么尽量多的投资在它身上，虽然收益会增加，但人右ｎ 风险也同样会增大，所以最终结果是圈闭Ｔ０４和圈ｕ（．）ｄｌ（Ｏ，Ｔ ］Ｅ｛ ［ｘ（７）一好＋ ２，ｕ｛Ｅｘ（７）］一ｄ｝｝闭Ｔ０５的投资份额差不多。犷 －．冲￣ Ｚ ‘ 孟Ｊ ｝引 上 ｝ ２ＳｄＬｘ０一（（ｄ一ｌｕ）ｆ一ｐ２５结论 ｒｘｏ一（（ｄ一川‘０，（４．５） 本文主要研究了油田勘探开发项目的投资组Ｉｘ，一（（ｄ一Ｐ）ｆ一ｌｕｇ合，并应用动态均值一方差理论，给出了项目投资三奇〕一（（ｄ一，ｕ）＞０的动态数学模型。然后给出了油田勘探开发项目这里仍然依赖ｐ那么我们可得当的投资组合动态数学模型对应的随机ＨＪＢ方程的解。最后，针对某个油田勘探开发项目的实际产＝ｄ一ｘ０一 ｒｉｌ｝（ｔ）ＩＺｄｓ ＿１一。ｄ一ｘ０，１３．１０－＇Ｔ时（这里用到情况，应用上述结果得出了这个的实例的解，给且一ｅ￣出了有效边界和最佳策略。ｄ ＿ ｘｏ的假设），（４．５）会取得最大值，我们的问题参考文献（２．３）的有效边界为：［１］ Ｘｕｎ Ｌｉ， Ｘｕｎ Ｙｕ Ｚｈｏｕ ａｎｄ Ａｎｄｒｅｗ Ｅ．Ｂ．Ｌｉｍ． Ｄｙｎａｍｉｃｖａｒ［ｘ（Ｔ）］二｛Ｅ［ｘ（Ｔ）］一ｘ０ ｝２ｅ ３１３．１０－３Ｔ一１（４．６）Ｍｅａｎ－ Ｖａｒｉａｎｃｅ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ Ｗｉｔｈ Ｎｏ－ＳｈｏｒｔｉｎｇＣｏｎｓ ｔｒａｉｎｔｓ，ＳＩＡＭ Ｊ． Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｏｐｔｉｍ．， ２００２，４０（５）：１５４０－１５５５ 将刀’＝ｄ一ｘｏ［２］ Ｍｅｒｔｏｎ，Ｒ．Ｃ． Ｌｉｆｅｔｉｍｅ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ１一ｅ ３．１３ｘ１０－３ Ｔ代入（（４．５）式则可以得到最佳ｕｎｃｅｒ ｔａｉｎｔｙ：ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ－ｔｉｍｅ ｃａｓｅ， Ｔｈｅ Ｒｅｖｉｅｗ ｏｆＥｃｏｎｏｍｉ ｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ＬＩ， １９６９：２４７－２５７侧略如下：［３］ Ｍｅｒｔｏｎ， Ｒ．Ｃ． Ｏｐｔｉｍａｌ ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ａｎｄ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｒｕｌｅｓ ｉｎ尹十｝亡 ． ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ－ｔｉｍｅ ｍｏｄｅｌ， Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｔｈｅｏｒｙ ３，｜［（ｄ一ｆｕ）一ｘ］１９７１： ３７３－４１３［４］ Ｈａｒｙｒ Ｍ． Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ． Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ： Ｅｆｉｆｃｉｅｎｔｕ＊（ｔ， ｘ） 干若ｘ一（（ｄ一矿）‘０，Ｄｉ ｖｅｒｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ ：Ｂａｓｉｌ －－０（４．７）Ｂｌ ａｃｋｗｅｌｌ， １９９１ ｜ ｜ ｔ若ｘ一（（ｄ一声）＞０［５］孔爱国．现代投资论．上海：上海人民大学出版社， ２００３有效边界如下图所示（图中的纵坐标就是 ［６］雍炯敏，刘道百．数学金融学上海：上海人民大学出Ｅ［ｘ（Ｔ）］，而风险我们以方差Ｔ 版社，２００３ ｓａｒ［ｘ（Ｔ）』表示）：［７］ Ａｎｄｒｅｗ Ｅ．Ｂ．Ｌｉｍ ａｎｄ Ｘｕｎ Ｙｕ Ｚｈｏｕ． Ｍｅａｎ－Ｖａｒｉａｎｃｅ”月，ｏ＇一＿＿＿＿Ｐｏｒｔ ｆｏｌｉｏ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ Ｗｉｔｈ Ｒａｎｄｏｍ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ ａＣｏｍｐｌ ｅｔｅ Ｍａｒｋｅｔ， Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｏｆ Ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，２．８２００２２７（１） ：１０１－１２０［８］ Ｇ．Ｌ．ＸＵ． ａｎｄ Ｓ．Ｅ．ＳＨＲＥＶＥ． Ａ ｄｕａｌｉｔｙ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｏｐｔｉｍａｌ加ｃｏｎｓ ｕｍｐｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｕｎｄｅｒ ｓｈｏｒｔ－ｓｅｌｌｉｎｇ最终总ＮＰＶ加ｐｒ ｏｈｉｂｉｔｉｏｎ． １１．Ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｍａｒｋｅｔ Ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓ，２’Ａｎｎ． Ａｐｐｌ．Ｐｒｏｂａｂ．，１９９２，２（２）：３１４－３２８ｓ３－／ ２２’．；＊，９６ －１下一一玄－城阶 ４一一百一一宇．万．一－８ｘ１夕，从上面的结果我们可以看出来，升值率大的圈１６９２
