例说平方差公式、完全平方公式的结构特征

师：同学们，我们已经学习了如下两个乘法公式： 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2

你能说出它们的结构特征吗？

快嘴朱春明没举手就迅速站起来说：“平方差公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，右边是这两个数的平方差。”

小百灵陈海田也不甘示弱，道：“完全平方公式的结构特征是左边是两个数的和（或差）的平方，右边是这两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍。”

小眼镜于政慢条斯理地接着说：“左边都是二项式乘以二项式，右边只是一个多项式。” 细心的许洪秀象发现新一样，激动地说：“这两个公式，从左向右看，属于整式的乘法运算，从右向左看，属于因式分解。”

平时在符号上常出错的牛川同学说：“平方差公式中的两个平方项是异号，一正一负；而完全平方公式中的两个平方项是同号，都为正，乘积项的符号取决于原来两个数a、±b的符号，同号得正，异号得负。”

师：同学们的发现都是对的。你有胆量运用乘法公式解决下列问题吗？

例1、计算：(1) (2m－3n)( 2m＋3n); (2) (－3＋2a)(―3―2a); (3) (－5＋2x)(－2x－5).

韩金轩同学分析道：“这三小题都可以用平方差公式进行计算，关键是要正确确定公式中的两个数分别是什么，它们分别是2m与3n、－3与2a、－5与2x，结果等于它们的平方差。”于是，解题过程如下： 解：（1）原式＝（2m）－（3n）＝4m－9n; （2）原式＝（－3）－（2a）＝9－4a; （3）原式＝（－5）－（2x）＝25－4x. 例2、计算：（1） (－

222222222234222m＋n); （2） (－2a－7b). 43不太善于表达的陈博同学在较短时间内，把自己的解法呈现给大家： 解：（1）方法一：原式＝（－

334422m）＋2×（－m）×n＋（n） 443391622＝ m－2mn＋ n 16943234方法二：原式＝(n－m) （把－m、n互换位置）

3443443322＝（n）－2×n×m＋（m）

334416292＝ n－2mn＋ m 9162222（2）方法一：原式＝（－2a）－2×（－2a）×7b＋(7b)

1

＝4a4＋28 a2b＋49 b2

方法二：原式＝［－（2a2＋7b)］2＝（2a2＋7b)2

＝（2a2）2＋2×2a2×7b＋(7b)2 ＝4a4＋28 a2b＋49 b2

例3、计算：（a＋b－c）（a－b＋c）.

善于变通的任加林同学，沉默了一会儿，说：“这是三项式乘以三项式，第一项相同（都是a），第二、三项＋b－c、－b＋c互为相反数，根据整体思想，可以写成＋（b－c）、－（b－c），这样就符合平方差公式。”于是，解题过程如下： 解：原式＝［a＋（b－c）］［a－（b－c）］

＝a －（b－c） ＝a－（b－2bc＋c） ＝a－b＋2bc－c

例4、你能用乘法公式计算(a＋9)(a＋1)吗？

爱动脑筋的祁金龙同学，一会儿皱着眉头，一会儿动手疾书，终于想出了办法：“根据平方差公式，因为（a＋b）＋（a－b）＝2a、（a＋b）－（a－b）＝2b，所以(a＋9)＋(a＋1)＝2a＋10＝2（a＋5）、(a＋9)－(a＋1)＝8＝2×4，于是(a＋9)(a＋1)转化为［(a＋5)＋4］［(a＋5)－4］，利用平方差公式进行计算。”于是，解法如下： 解：原式＝［(a＋5)＋4］［(a＋5)－4］＝(a＋5)－4＝a＋10a＋25－16＝a＋10a＋9. 例5、因式分解：（1）1－16a ;（2）49（a－b）

22222222222222－16（a＋b）.

2222解云云同学说：“这两小题都是平方差的形式，即1－（4a）、［7（a－b）］（a＋b）］，所以都可以用平方差公式进行分解因式。” 解：（1）原式＝1－（4a）＝（1＋4a）（1－4a）； （2）原式＝［7（a－b）］

2222－［4

－［4（a＋b）］

2＝［7（a－b）＋4（a＋b）］［7（a－b）－4（a＋b）］

＝（11a－3b）（3a－11b）

122；（2）a－2a(b＋c)＋(b＋c). 4112122解：（1）原式＝x＋2×x×＋（）＝（x＋）；

222例6、因式分解：（1）x＋x＋

2（2）原式＝［a－(b＋c）］＝(a－b＋c).

22 2

评析：本题都是三项式，要验证是否符合完全平方公式，即确定平方项与乘积项，看两个平方项是否同号，乘积项是否是两个平方项底数乘积的2倍。 例7、因式分解：x4 y4－8x2 y2＋16. 解：原式＝（x2y2）2－2×x2y2×4＋42

＝（x2y2－4）2 ＝［（xy＋2）（xy－2）］2 ＝（xy＋2）2（xy－2）2

注意：因式分解一定要分解到不能再分解为止。

师：同学们的表现很优秀，老师为有你们这样的学生而感到自豪！下面我们一起来走进09中考试题，感悟一下中考的氛围吧。

1、把x－2xy＋xy分解因式，结果正确的是（ ）（2009年北京市中考题） A. x（x＋y）（x－y） B. x(x－2xy＋xy) C. x（x＋y） D. x（x－y） 2、在实数范围内因式分解x－4＝ （2009年杭州市中考题） 3、因式分解：（x＋y）－3（x＋y）＝ （2009年嘉兴市中考题） 4、分解因式：2x－8x＝ （2009年广东省中考题） 5、分解因式：27x＋18x＋3＝ （2009年潍坊市中考题）

2232422223226、分解因式：ax－a＝ （2009年济宁市中考题） 7、因式分解：a－b－2b－1＝ （2009年安徽省中考题） 8、 先化简，再求值：

221.（2009年温州市中考题）； 2122（2）（a＋b）（a－b）＋（a＋b）－2 a，其中a＝3，b＝－.（2009年长沙市中考题）

3（1）（3＋m）（3－m）＋m(m－6)－7,其中m＝

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