数学分析试题与答案

数学分析试题与答案(总33页)

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2014 ---2015学年度第二学期

《数学分析2》A试卷

学院 班级 学号（后两位） 姓名 题一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 号 得分 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则

打叉)

1.若fx在a,b连续，则fx在a,b上的不定积分fxdx可表为

ftdtC（ ）.

ax 2.若fx,gx为连续函数，则fxgxdx（ ）.

3. 若afxdxgxdxafxdx绝对收敛，gxdx条件收敛，则[fxgx]dxa必然条件收敛（ ）.

4. 若1fxdx收敛，则必有级数fn收敛（ ）

n1 5. 若fn与gn均在区间I上内闭一致收敛，则fngn也在区间I上内闭一致收敛（ ）.

6. 若数项级数an条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散

n1于正无穷大（ ）.

7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二.

单项选择题（每小题3分，共15分）

ax1.若fx在a,b上可积，则下限函数fxdx在a,b上（ ）

2

A.不连续 B. 连续 C.可.不能确定

2. 若gx在a,b上可积，而fx在a,b上仅有有限个点处与gx不相等，则（ ）

A. fx在a,b上一定不可积；

B. fx在a,b上一定可积,但是fxdxgxdx；

aabb C. fx在a,b上一定可积，并且fxdxgxdx；

aabb D. fx在a,b上的可积性不能确定.

11 3.级数n2n1n1n

A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定

4.设un为任一项级数，则下列说法正确的是（ ）

u A.若limun0，则级数n一定收敛；

n B. 若limun11，则级数un一定收敛；

nunu C. 若N,当nN时有，n11，则级数un一定收敛；

unu D. 若N,当nN时有，n11，则级数un一定发散；

un 5.关于幂级数anxn的说法正确的是（ ） A. anxn在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. anxn在收敛域上各点是绝对收敛的；

3

C. anxn的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. anxn在收敛域上是绝对并且一致收敛的；

三.计算与求值（每小题5分，共10分）

1 1. limnn1n2nn

nn

lnsinxdx 2. 2cosx

四. 判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.

4

3x11xx20dx

2.n! nnn1 3. n11nn2n 12n

五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）

sinnx,n1,2,D, 1.fnxn

5

n2 2. nxD,22,

六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面

300 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10

分）

七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分10分)

6

八. 证明：函数fx（本题满分9分）

cosnx在,上连续，且有连续的导函数.3n7

2014 ---2015学年度第二学期

《数学分析2》B卷 • 答案

学院 班级 学号（后两位） 姓名

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 一、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.? 2.? 3.? 4. ? 5. ? 6. ? 7. ? 二.单项选择题（每小题3分，共15分） 1. B ; ; ; ;

三.求值与计算题（每小题5分，共10分）

1.lim133xnxsinxe1322xn0dx

13解：由于0--3分

xnx3sin2xe2x0dxxndx-----------------------0 而 lim3xndxlimn01110 ---------------------------nn13n1------4分

故由数列极限的迫敛性得：

lim133xnxsinxe22xn0dx0 ------------------------------

-------5分 2. 设fsin2xxx ，求fxdx sinx1x解：令 xsin2t 得 x1xfxdx=sin2t1sint2fsin2tdsin2t----------------2分

8

=sintt2sintcostdt

costsint=2tsintdt -----------------------------------4分

=2tcost2sintC

=21xarcsinx2xC---------------5分

四.判别敛散性（每小题5分，共10分） 1.1arctanx1x20dx

arctanx1x2 解：x10lim1x12limarctanx1xx1042 -------3分

且 p11，21由柯西判别法知，

瑕积分  2. n2arctanx1x20dx收敛 -------------------------5分

1lnnlnn

解：limlnn,n0N,当nn0时

n 有 lnne2 -----------------------------2分

从而 当nn0

分

由比较判别法 n21lnnlnn11-------------------------------4n2lnnlnn 收敛----------------------------5

分

9

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分） 1. fnxx1n2,n1,2,D0,

xD-----------------------2分

解：极限函数为fxlimfnxxn 又 fnxfx1x2xn1 n1/n2x1xn21--------3分 n0supfnxfxxD 从而limsupfnf0

n故知 该函数列在D上一致收敛. -------------------------5

分

2. 2nsinx3n,D[1,1]

nnx2 解：因当 xD 时，unx2sinn--------------2分

332而 正项级数 收敛， -----------------------------4

3分

由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.-------------5分 3. n1nxn2,D,

n解：易知，级数1的部分和序列Sn一致有界，---2分 而 对xD,Vnx1 是单调的，又由于 2xn11xD,Vnx20n，------------------4分

xnn10

1所以vnx2在D上一致收敛于0，

xn从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛。------5分

六. 设平面区域D是由圆x2y22，抛物线yx2及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）

x2y22222解：解方程组得圆与抛物线在第一象限 xy2yx2yx的交点坐标为：1,1， ---------------------------------------3分

则所求旋转体得体积为：

V2ydyydy -------------------------------7

00121分

=------------------

7 =  ------------------------------------------------6------10分

七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功（本题满分10分）

解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系 则分析可知做功微元为：

dW52xdx25xdx --------------------------------5分

故所求为：W215xdx ------------------------------------010-8分

=1250

=12250（千焦）-----------------------------------10分

11

八．设unxn1,2是[a,b]上的单调函数，证明：若una与unb都绝对收敛，则unx在[a,b]上绝对且一致收敛. （本题满分9分） 证明：unxn1,2是[a,b]上的单调函数，所以有

unxunaunb ------------------------------4分

又由una与unb都绝对收敛，

所以unaunb 收敛，--------------------------------------7分

由优级数判别法知：

ux在[a,b]上绝对且一致收敛.--------------------------------n12

2013 ---2014学年度第二学期

《数学分析2》A试卷

学院 班级 学号（后两位） 姓名 题一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 号 得分 一. 判断题（每小题2分，共16分）(正确者后面括号内打对勾，否则

打叉)

1.若f(x)在[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上可积. ( )

2.若函数f(x)在[a,b]上有无穷多个间断点，则f(x)在[a,b]上必不可积。 （ ）

3.若af(x)dx与g(x)dx均收敛，则[f(x)g(x)]dx一定条件收

aa敛。 （ ）

4.若fnx在区间I上内闭一致收敛，则fnx在区间I处处收敛（ ）

5.若an为正项级数（an0），且当 nn0时有：

n1an11 ，则级an数an必发散。（ ）

n1 6.若fx以2为周期，且在,上可积，则的傅里叶系数为：

an120fxcosnxdx （ ）

 7.若ans，则anan12sa1 （ ）

n1n1 8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（ ）

13

二. 单项选择题（每小题3分，共18分）

111. 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A 1dx B dx C sinxdx D

0x1x0111x3dx

2.级数an收敛是n1an部分和有界的（ ）

n1A 必要条件 B 充分条件 C充分必要条件关条件

3.正项级数un收敛的充要条件是（ ）

A.limnun0 B.数列un单调有界

C. 部分和数列sn有上界 D.limnn1nu1

n 4.设liman1naa则幂级数anxbnb1的收敛半径R=（ n11 A. a B. ab C. 1a D.1ba

5. 下列命题正确的是（ ）

A an(x)在[a,b]绝对收敛必一致收敛

n1B an(x)在[a,b]一致收敛必绝对收敛

n1C 若limn|an(x)|0，则an(x)在[a,b]必绝对收敛

n114

无

D ）D an(x)在[a,b]条件收敛必收敛

n16..若幂级数anxn的收敛域为1,1,则幂级数anxn在1,1上 A. 一致收敛 B. 绝对收敛 C. 连续 D.可导 三. 求值或计算（每题4分，共16分）

x1. x1lnxdx；

2. 3．

4.设fx在[0,1]上连续，求limfn01111dx

sinxcosxxxexdx .

xdx

n15

四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性. 1.

2. 

3.lnnn2134dx2x3x321；

11xln(1x)0dx

n ； n1

16

enn! 4.n

n1n

五 、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分）

1. fn(x)x2n4,n1,2,;x(,)

2(1)n1 2. ；xD,0.50.5, nn3xn1

六.应用题型（14分）

1. 一容器的内表面为由yx2绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水（m3），若再加水7（m3），问水位升高了多少米？

17

2. 把由yex，x轴，y轴和直线x0所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积V，并求满足条件Va

七．证明题型 （10分）

已知fx与gx均在[a,b]上连续，且在[a,b]上恒有fxgx，但

1limV的a. 2fx不恒等于gx，证明： f(x)dxg(x)dx

aabb

18

19

2013 ---2014学年度第二学期

《数学分析2》B试卷

学院 班级 学号（后两位） 姓名

题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 得分

一、判断题（每小题2分，共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.对任何可导函数fx而言，fxdxfxC成立。（ ） 2.若函数fx在a,b上连续，则Fxftdt必为fx在a,b上的

xb原函数。（ ）

3.若级数an收敛，必有limnan0。（ ）

n1x4.若liman1，则级数an发散.

nnn15.若幂级数anxn在x2处收敛，则其在[-2,2]上一致收敛.

n1（ ）

6.如果fx在以a,b为端点的闭区间上可积，则必有

fxdxfxdx.（ ）

aabb7.设fx在1,上有定义，则（ ）

1fxdx与级数fn同敛散.

n18.设fx在a,b任子区间可积，b为fx的暇点，则fxdx与

ab20

1ba11fb2dt同敛散.（ ）

tt9.设fnx在Da,x0x0,b上一致收敛，且limfnxannNxx0存在，则limlimfnxlimlimfnx.

nxx0xx0n二.单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是（ ）

A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2. 下列说法正确的是（ ）

A. an和bn收敛，anbn也收敛

n1n1n1B. an和bn发散，(anbn)发散

n1n1n1C. an收敛和bn发散，(anbn)发散

n1n1n1D. an收敛和bn发散，anbn发散

n1n1n13. an(x)在[a,b]收敛于a(x)，且an(x)可导，则（ ）

n1(x)ax B. a(x)可导 A. ann1 C. an(x)dxa(x)dx D. an(x)一致收敛，则a(x)必连续

n1aan1bb11 4.级数n2n1n1n

21

A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定

2nn5.幂级数的收敛域为： x2n01n A.（,） B.[,] C.0.5,0.5 D.0.5,0.5 三.求值与计算题（每小题4分，共16分）

sinxcosxdx 1. 2sin2x

2. 

3. lim

4.2xabdx

abxxx12dx

1nnn1nn1 nn

22

四.判别敛散性（每小题4分，共16分）

1.xarctanx11x3dx； 2.1x01xdx

n13.nn1n1n1.

4.n1cos1

n1n

23

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共10分）

1. f1(n1)x,0x1/(n1)nx n0,1/(n1)x11,2,.

2. 1n1n1(x2n)n x(,)

六.应用题型（16分）

1.试求由曲线yx2及曲线y2x2所平面图形的面积.

24

x0,1

1cosxdx表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可20x使之误差不超过十万分之一.

2.将1七.（9分）证明：若函数项级数unx满足： （ⅰ）xD,nun(x)ann1,2 ；（ⅱ）an收敛.则函数项级数

ux在D上一致收敛.

25

014 ---2015学年度第二学期

《数学分析2》A卷•答案

三. 判断题（每小题3分，共21分）

1. ? 2. ? 3. ? 4. ? 5. ? 6. ? 7. ? 二.单项选择题（每小题3分，共15分） B, C, C, D, A

三.计算与求值（ 每小题5分，共10分）

12n 1. 解：原式=limn111

nnnnnk1 =limexpln1---------------------------2

nk1nn分

nk1 =explimln1-------------------------3分

nk1nn =explnxdx=4e1---------------------------5分

12 2.原式= lnsinxdtanx -------------------------------2分 =lnsinxtanxtanxcotxdx --------------------4分 =lnsinxtanxxC ---------------------------5分 四. 判断敛散性（ 每小题5分，共15分）

1. limxx323x11xx23 ----------------------------2分

31 ---------------------------------32且 p分

由柯西判别法知，3x11xx26

20dx收敛。---------5分

2.由比式判别法 limn 故该级数收敛. -------------------------------5分

3. 解：由莱布尼兹判别法知，交错级数n1an1nann1!n1n1limnn!limn1e11-----4分

n11/n1n收敛-----------2

n分

2n111 知其单调且有界，---------4分 又 0nn1212故由阿贝尔判别法知，级数收敛. --------------------------------5分

五.1. 解：极限函数为fxlimfnx0xD ---------------------2

n分

又 fnxfx---4分

limsupfnf0 故知 该函数列在D上一致收敛.-----------5分

nsinnx1 ------------------------------nnn2n2n2 2. 解：因当 xD 时，unxnnn--------------------x2x--3分

n2而 正项级数 n收敛， -----------------------------24分

由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.---------------5分

27

六．已知一圆柱体的的半径为R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面

300 角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分10分）

解:在底圆面上以所截直径线为x轴，底圆的圆心为原点示坐标系，

过x处用垂直x轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为：

1R2x2tan300R2x2------------------------------- Sx2-5分

322Rx

6

 故所求立体的体积为： VRR32233Rx2dx ------------7分 =R -------1069分

七.解：建立图示坐标系(竖直方向为x轴)

则第一象限等腰边的方程为 xy10 ------------------------------------3分

28

压力微元为：dF210x10xdx2100x2dx

故所求为

F2100x2dx ---------------------------------010-------7分

1333.33吨 13066.67千牛 ------10分 八. 证明：unx 又unx 所以cosnxn3n1,2每一项在,上连续，

1cosnx1 而收敛 333nnncosnx在,上一致收敛，----------------------------n3---3分

故由定理结论知

cosnx fx在,上连续，---------------------------3n---5分

x再者un1sinnx1 而收敛 222nnnx在,上的连续x在,上一致收敛，结合un所以un性

可知fx9分

cosnx在,上有连续的导函数. ----------------n329

2014 ---2015学年度第二学期

《数学分析2》B试卷

学院 班级 学号（后两位） 姓名

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 二、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.若fx为偶函数，则fxdx必为奇函数（ ）.

2.ysgnx为符号函数，则上限函数y=sgntdt在,上连续

ax（ ）. 3.若afxdx收敛，必有limfx0（ ）.

x4.若fn在区间I上内闭一致收敛，则fn在区间I上处处收敛（ ）. 5.若un(x)在a,b上内闭一致收敛，则un(x)在a,b上一致收敛

n1n1（ ）.

6.若数项级数an绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝

n1对收敛，并且其和不变（ ）.

(x)在a,b上一7.若函数项级数un(x)在a,b上的某点收敛，且un致收敛，则un(x)也在a,b上一致收敛（ ）. 二.单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 函数f(x)是奇函数，且在[a,a]上可积，则（ ）

A f(x)dx2f(x)dx B f(x)dx0

a0aaaa30

C f(x)dx2f(x)dx D f(x)dx2f(a)

a0aaaa 2.关于积分1sinxx1x20dx，正确的说法是（ ）

A.此为普通积分 B. 此为瑕积分且瑕点为0 C. 此为瑕积分且瑕点为1 D. 此为瑕积分且瑕点为0,1

13.就级数2p（p0）的敛散性而言，它是（ ）

nlnn A. 收敛的 B. 发散的 C. 仅p1 时收 D. 仅p1 时收敛

4..函数列fn在区间I上一致收敛于0的充要条件是（ ）

A. xI,limfnx0 B. xnI,limfxn0

nn C. nNlimfnx0 D. limsupfnx0

xnxI2n5.幂级数xn的收敛域为： 2n01n A.（,） B.[,] C.0.5,0.5 D.0.5,0.5 三.求值与计算题（每小题5分，共10分）

1.lim

31

133xnxsinxe22xn0dx

2. 设fsin2xxx ，求fxdx sinx1x

四.判别敛散性（每小题5分，共10分） 1.

2. n21arctanx1x20dx

1lnnlnn

32

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分） 1. fnxx

2. 2nsin 3. 

1n2,n1,2,D0,

x3n,D[1,1]

1nx2n,D,

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六. 设平面区域D是由圆x2y22，抛物线yx2及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）

七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功（本题满分10分）

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八．设unxnn1,2是[a,b]上的单调函数，证明：若una与

nub 都绝对收敛，则ux在[a,b]上绝对且一致收敛. （本题满分9

分）

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