人教版中考数学模拟试题及答案(含详解)

中考数学模拟试卷

一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1．（3.00 分）﹣ 的相反数是（

）

A．﹣ B．

C．﹣ D．

2．（3.00 分）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达 214.7 亿 元，数据“214.7 亿”用科学记数法表示为（

）

A．2.147×102 B．0.2147×103 C ．2.147×1010 D．0.2147×1011

3．（3.00 分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么 在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（

）

A．厉 B．害 C．了 D．我

4．（3.00 分）下列运算正确的是（

）

A．（﹣x2）3=﹣x5

B．x2+x3=x5 C．x3•x4=x7 D．2x3﹣x3=1

5．（3.00 分）河南省旅游资源丰富，2013～2017 年旅游收入不断增长，同比增 速分别为： 15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正 确的是（

）

A．中位数是 12.7% B．众数是 15.3% C．平均数是 15.98%

D．方差是 0

6．（3.00 分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七， 不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还 差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数 为 x 人，羊价为 y 线，根据题意，可列方程组为（

）

A．

B．

C．

D．

）

7．（3.00 分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（

第1页（共33页）

A．x2 +6x+9=0 B．x2 =x C ．x2 +3=2x D．（x﹣1）2 +1=0

8．（3.00 分）现有 4 张卡片，其中 3 张卡片正面上的图案是“

”，1 张卡片正

面上的图案是“

”，它们除此之外完全相同．把这 4 张卡片背面朝上洗匀，从

）

中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（ A．

B．

C．

D．

9．（3.00 分）如图，已知 AOBC 的顶点 O（0，0），A（﹣1，2），点 B 在 x 轴正 半轴上按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA， OB 于点 D，E；②分别以点 D，E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠

AOB 内交于点 F；③作射线 OF，交边 AC 于点 G，则点 G 的坐标为（ ）

A．（ ﹣1，2）

B．（ ，2） C．（3﹣ ，2） D．（ ﹣2，2）

10．（3.00 分）如图 1，点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 A→D→B 以 1cm/s 的速度匀速运动到点 B，图 2 是点 F 运动时 △，FBC 的面积 y（cm2 ）随时间 x（s） 变化的关系图象，则 a 的值为（

）

A．

B．2 C． D．2

二、细心填一填（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，请把答案填在答 題卷相应题号的横线上）

11．（3.00 分）计算：|﹣5|﹣

=

．

第2页（共33页）

12．（3.00 分）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O，∠EOD=50°， 则∠BOC 的度数为

．

13．（3.00 分）不等式组

的最小整数解是 ．

14．（3.00 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕 AC 的中

点 D 逆时针旋转 90°得到△A'B′C'，其中点 B 的运动路径为 分的面积为

．

，则图中阴影部

15．（3.00 分）如图，∠MAN=90°，点 C 在边 AM 上，AC=4，点 B 为边 AN 上一 动点，连接 BC，△A△ ′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，连接 DE 并延长交 A′B 所在直线于点 F，连接 A′E．当△A△ ′EF 为直角三角 形时，AB 的长为

．

三、计算题（本大题共 8 题，共 75 分，请认真读题） 16．（8.00 分）先化简，再求值：（

﹣1）÷ ，其中 x=

+1．

17．（9.00 分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，

第3页（共33页）

漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对 治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所 示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

治理杨絮一一您选哪一项？（单选）

A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量

B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树

C．选育无絮杨品种，并推广种植

D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮

E．其他

根据以上统计图，解答下列问题： （1）本次接受调查的市民共有

人；

；

（2）扇形统计图中，扇形 E 的圆心角度数是 （3）请补全条形统计图；

（4）若该市约有 90 万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数． 18．（9.00 分）如图，反比例函数 y= （x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P． （1）求反比例函数的解析式；

（2）在图中用直尺和 2B 铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满 足下列两个条件：

①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 O，点 P；

②矩形的面积等于 k 的值．

第4页（共33页）

19．（9.00 分）如图，AB 是⊙O 的直径，DO⊥AB 于点 O，连接 DA 交⊙O 于点 C， 过点 C 作⊙O 的切线交 DO 于点 E，连接 BC 交 DO 于点 F．

（1）求证：CE=EF；

（2）连接 AF 并延长，交⊙O 于点 G．填空：

①当∠D 的度数为 ②当∠D 的度数为

时，四边形 ECFG 为菱形； 时，四边形 ECOG 为正方形．

20．（9.00 分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低 两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节 高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学 问题，请你解答．

如图所示，底座上 A，B 两点间的距离为 90cm．低杠上点 C 到直线 AB 的距离 CE 的长为 155cm，高杠上点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234cm，已知低杠的支 架 AC 与直线 AB 的夹角∠CAE 为 82.4°，高杠的支架 BD 与直线 AB 的夹角∠DBF 为 80.3°．求高、低杠间的水平距离 CH 的长．（结果精确到 1cm，参考数据 sin82.4° ≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168， tan80.3°≈5.850）

第5页（共33页）

21．（10.00 分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量 y（个） 与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利 润的几组对应值如表：

销售单价 x（元） 日销售量 y（个） 日销售利润 w（元）

85

95

105

115

175 875

125 75 m

1875 1875 875

（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））

（1）求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出 x 的取值范围）及 m 的值； （2）根据以上信息，填空：

该产品的成本单价是 大，最大值是

元，当销售单价 x=

元；

元时，日销售利润 w 最

（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日 销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为 90 元时，日销售 利润不低于 3750 元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？ 22．（10.00 分）（1）问题发现

如图 1，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接 AC， BD 交于点 M．填空：

① 的值为 ；

．

②∠AMB 的度数为

（2）类比探究

如图 2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接 AC

第6页（共33页）

交 BD 的延长线于点 M．请判断

的值及∠AMB 的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将△OCD 绕点 O 在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点 M，

若 OD=1，OB= ，请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长．

23．（11.00 分）如图，抛物线 y=ax2+6x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直 线 y=x﹣5 经过点 B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 A 的直线交直线 BC 于点 M．

①当 AM⊥BC 时，过抛物线上一动点 P（不与点 B，C 重合），作直线 AM 的平行 线交直线 BC 于点 Q，若以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标；

②连接 AC，当直线 AM 与直线 BC 的夹角等于∠ACB 的 2 倍时，请直接写出点 M 的坐标．

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中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1．（3.00 分）﹣ 的相反数是（

）

A．﹣ B．

C．﹣ D．

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．

【解答】解：﹣ 的相反数是： ．

故选：B．

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．

2．（3.00 分）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达 214.7 亿 元，数据“214.7 亿”用科学记数法表示为（

）

A．2.147×102 B．0.2147×103 C ．2.147×1010 D．0.2147×1011

【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．

【解答】解：214.7 亿，用科学记数法表示为 2.147×1010 ， 故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．

3．（3.00 分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么 在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（

）

第8页（共33页）

A．厉 B．害 C．了 D．我

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特 点作答．

【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “的”与“害”是相对面，

“了”与“厉”是相对面，

“我”与“国”是相对面．

故选：D．

【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形， 从相对面入手，分析及解答问题．

4．（3.00 分）下列运算正确的是（

）

A．（﹣x2）3=﹣x5

B．x2+x3=x5 C．x3•x4=x7 D．2x3﹣x3=1

【分析】分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一 计算即可判断．

【解答】解：A、（﹣x2 ）3=﹣x6 ，此选项错误； B、x2、x3 不是同类项，不能合并，此选项错误；

C、x3 •x4 =x7，此选项正确； D、2x3 ﹣x3 =x3，此选项错误；

故选：C．

【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、

同底数幂相乘及合并同类项法则．

5．（3.00 分）河南省旅游资源丰富，2013～2017 年旅游收入不断增长，同比增 速分别为： 15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正 确的是（

）

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A．中位数是 12.7% B．众数是 15.3%

C．平均数是 15.98%

D．方差是 0

【分析】直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析 得出答案．

【解答】解：A、按大小顺序排序为：12.7%，14.5%，15.3%，15.3%，17.1%， 故中位数是：15.3%，故此选项错误；

B、众数是 15.3%，正确；

B、 （15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%）

=14.98%，故选项 C 错误；

D、∵5 个数据不完全相同，

∴方差不可能为零，故此选项错误． 故选：B．

【点评】此题主要考查了方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义， 正确把握相关定义是解题关键．

6．（3.00 分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七， 不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还 差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数 为 x 人，羊价为 y 线，根据题意，可列方程组为（

）

A．

B．

C．

D．

【分析】设设合伙人数为 x 人，羊价为 y 线，根据羊的价格不变列出方程组． 【解答】解：设合伙人数为 x 人，羊价为 y 线，根据题意，可列方程组为：

．

故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的 关键．

7．（3.00 分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（

）

第10页（共33页）

A．x2 +6x+9=0 B．x2 =x C ．x2 +3=2x D．（x﹣1）2 +1=0

【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【解答】解：A、x2+6x+9=0

=△6△

﹣4×9=36﹣36=0，

2

方程有两个相等实数根； B、x2 =x x2﹣x=0

△=△ （﹣1﹣）4×1×0=1＞0

2

两个不相等实数根；

C、x2 +3=2x x2 ﹣2x+3=0

△=△ （﹣2﹣）4×1×3=﹣8＜0，

2

方程无实根；

D、（x﹣1）2 +1=0 （x﹣1）2 =﹣1， 则方程无实根； 故选：B．

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程 ax2 +bx+c=0（a ≠0）的根与△=b2﹣ 4ac 有如下关系：①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个 实数根；②当=△0△ 时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0 时，方程无实 数根．

8．（3.00 分）现有 4 张卡片，其中 3 张卡片正面上的图案是“

”，1 张卡片正

面上的图案是“

”，它们除此之外完全相同．把这 4 张卡片背面朝上洗匀，从

）

中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（ A．

B．

C．

D．

【分析】直接利用树状图法列举出所有可能进而求出概率．

第11页（共33页）

【解答】解：令 3 张 可得：

用 A ，A ，A

1 2 3，表示，

用 B 表示，

，

一共有 12 种可能，两张卡片正面图案相同的有 6 种，

故从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是： ． 故选：D．

【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键．

9．（3.00 分）如图，已知▱AOBC 的顶点 O（0，0），A（﹣1，2），点 B 在 x 轴正 半轴上按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA， OB 于点 D，E；②分别以点 D，E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠

AOB 内交于点 F；③作射线 OF，交边 AC 于点 G，则点 G 的坐标为（ ）

A．（ ﹣1，2）

B．（ ，2） C．（3﹣ ，2）

D．（ ﹣2，2）

，依据∠AGO=∠AOG，即 ﹣1，2）．

【分析】依据勾股定理即可得到 Rt△AOH 中，AO= 可得到 AG=AO=

，进而得出 HG= ﹣1，可得 G（

【解答】解：∵▱AOBC 的顶点 O（0，0），A（﹣1，2）， ∴AH=1，HO=2，

∴Rt△AOH 中，AO=

，

由题可得，OF 平分∠AOB， ∴∠AOG=∠EOG，

又∵AG∥OE，

∴∠AGO=∠EOG，

∴∠AGO=∠AOG，

第12页（共33页）

∴AG=AO=

，

∴HG=

﹣1， ﹣1，2），

∴G（

故选：A．

【点评】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运 用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求 出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．

10．（3.00 分）如图 1，点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 A→D→B 以 1cm/s

的速度匀速运动到点 B，图 2 是点 F 运动时 △，FBC 的面积 y（cm2 ）随时间 x（s） 变化的关系图象，则 a 的值为（

）

A．

B．2 C． D．2

【分析】通过分析图象，点 F 从点 A 到 D 用 as，此时，△FBC 的面积为 a，依此

可求菱形的高 DE，再由图象可知，BD=

，应用两次勾股定理分别求 BE 和 a．

【解答】解：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E

由图象可知，点 F 由点 A 到点 D 用时为 as，△FBC 的面积为 acm2． ∴AD=a

∴

∴DE=2

当点 F 从 D 到 B 时，用

s

第13页（共33页）

∴BD=

Rt△DBE 中， BE=

∵ABCD 是菱形 ∴EC=a﹣1，DC=a Rt△DEC 中， a2=22+（a﹣1）2 解得 a=

故选：C．

【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数 图象变化与动点位置之间的关系．

二、细心填一填（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，请把答案填在答 題卷相应题号的横线上）

11．（3.00 分）计算：|﹣5|﹣

= 2 ．

【分析】直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式=5﹣3

=2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

12．（3.00 分）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O，∠EOD=50°，

则∠BOC 的度数为

140° ．

第14页（共33页）

【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案． 【解答】解：∵直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O，

∴∠EOB=90°，

∵∠EOD=50°，

∴∠BOD=40°，

则∠BOC 的度数为：180° ﹣40°=140°．

故答案为：140°．

【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定义 是解题关键．

13．（3.00 分）不等式组

的最小整数解是 ﹣2 ．

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【解答】解：

∵解不等式①得：x＞﹣3，

解不等式②得：x≤1，

∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，

∴不等式组的最小整数解是﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的 解集得出不等式组的解集是解此题的关键．

14．（3.00 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕 AC 的中

点 D 逆时针旋转 90°得到△A'B′C'，其中点 B 的运动路径为

，则图中阴影部

分的面积为

π﹣ ．

第15页（共33页）

【分析】先利用勾股定理求出 DB′=

=

，A′B′= =2

，再根据 S 阴

=S 扇形 BDB′﹣

S

，计算即﹣S DB′C △DBC △可．

【解答】解：△ABC 绕 AC 的中点 D 逆时针旋转 90°得到△A'B′C'，此时点 A′在斜 边 AB 上，CA′⊥AB，

DB′=

=

，

A′B′=

=2

，

∴S 阴=

﹣1×2÷2﹣（2 ﹣ ）× ÷2= π﹣ ．

故答案为 π﹣ ．

【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型．

15．（3.00 分）如图，∠MAN=90°，点 C 在边 AM 上，AC=4，点 B 为边 AN 上一 动点，连接 BC，△A△ ′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，连接 DE 并延长交 A′B 所在直线于点 F，连接 A′E．当△A△ ′EF 为直角三角

形时，AB 的长为 4

或 4 ．

第16页（共33页）

【分析】当△A′EF 为直角三角形时，存在两种情况：

①当∠A'EF=90°时，如图 1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直 角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得 AB 的长； ②当∠A'FE=90°时，如图 2，证明△ABC 是等腰直角三角形，可得 AB=AC=4． 【解答】解：当△A′EF 为直角三角形时，存在两种情况：

①当∠A'EF=90°时，如图 1，

∵△A△ ′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称，

∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，

∵点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，

∴D、E 是△ABC 的中位线，

∴DE∥AB，

∴∠CDE=∠MAN=90°，

∴∠CDE=∠A'EF，

∴AC∥A'E，

∴∠ACB=∠A'EC，

∴∠A'CB=∠A'EC，

∴A'C=A'E=4，

Rt△A'CB 中，∵E 是斜边 BC 的中点，

∴BC=2A'B=8，

由勾股定理得：AB2

=BC2﹣AC2 ，

∴AB=

=4

；

②当∠A'FE=90°时，如图 2， ∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，

第17页（共33页）

∴∠ABF=90°，

∵△A△ ′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称， ∴∠ABC=∠CBA'=45°，

∴△ABC 是等腰直角三角形，

∴AB=AC=4；

综上所述，AB 的长为 4

或 4；

故答案为：4 或 4；

【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角 三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．

三、计算题（本大题共 8 题，共 75 分，请认真读题）

16．（8.00 分）先化简，再求值：（

﹣1）÷ ，其中 x=

+1．

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案， 【解答】解：当 x=

+1 时，

原式=

•

=1﹣x

第18页（共33页）

=﹣

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属 于基础题型．

17．（9.00 分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代， 漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对 治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所 示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

治理杨絮一一您选哪一项？（单选）

A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量

B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树

C．选育无絮杨品种，并推广种植

D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮

E．其他

根据以上统计图，解答下列问题：

（1）本次接受调查的市民共有 2000 人；

（2）扇形统计图中，扇形 E 的圆心角度数是 28.8° ； （3）请补全条形统计图；

（4）若该市约有 90 万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数． 【分析】（1）将 A 选项人数除以总人数即可得；

（2）用 360°乘以 E 选项人数所占比例可得；

（3）用总人数乘以 D 选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得； （4）用总人数乘以样本中 C 选项人数所占百分比可得．

第19页（共33页）

【解答】解：（1）本次接受调查的市民人数为 300÷15%=2000 人， 故答案为：2000；

（2）扇形统计图中，扇形 E 的圆心角度数是 360°× 故答案为：28.8°；

=28.8°，

（3）D 选项的人数为 2000×25%=500，

补全条形图如下：

（4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为 90×40%=36（万人）． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不 同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每 个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

18．（9.00 分）如图，反比例函数 y= （x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P． （1）求反比例函数的解析式；

（2）在图中用直尺和 2B 铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满 足下列两个条件：

①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 O，点 P；

②矩形的面积等于 k 的值．

第20页（共33页）

【分析】（1）将 P 点坐标代入 y= ，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析 式；

（2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．

【解答】解：（1）∵反比例函数 y= （x＞0）的图象过格点 P（2，2）， ∴k=2×2=4，

∴反比例函数的解析式为 y= ；

（2）如图所示：

矩形 OAPB、矩形 OCDP 即为所求作的图形．

【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征， 待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解 析式是解题的关键．

19．（9.00 分）如图，AB 是⊙O 的直径，DO⊥AB 于点 O，连接 DA 交⊙O 于点 C， 过点 C 作⊙O 的切线交 DO 于点 E，连接 BC 交 DO 于点 F．

（1）求证：CE=EF；

（2）连接 AF 并延长，交⊙O 于点 G．填空：

①当∠D 的度数为 30° 时，四边形 ECFG 为菱形； ②当∠D 的度数为 22.5°

时，四边形 ECOG 为正方

形． 第21页（共33页）

【分析】（1）连接 OC，如图，利用切线的性质得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角 形和互余证明∠1=∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；

（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF 和△FEG 都为等边三角形，从而 得到 EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形 ECFG 为菱形；

②当∠ D=22.5°时，∠ DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出∠ COE=45°，利用对 称得∠EOG=45°，则∠COG=90°，接着证明△OEC≌△OEG 得到∠OEG=∠OCE=90°， 从而证明四边形 ECOG 为矩形，然后进一步证明四边形 ECOG 为正方形． 【解答】（1）证明：连接 OC，如图，

∵CE 为切线，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，

∵DO⊥AB，

∴∠3+∠B=90°，

而∠2=∠3，

∴∠2+∠B=90°，

而 OB=OC，

∴∠4=∠B，

∴∠1=∠2，

∴CE=FE；

（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°，

而 AB 为直径，

第22页（共33页）

∴∠ACB=90°，

∴∠B=30°，

∴∠3=∠2=60°，

而 CE=FE，

∴△CEF 为等边三角形，

∴CE=CF=EF，

同理可得∠GFE=60°，

利用对称得 FG=FC，

∵FG=EF，

∴△FEG 为等边三角形，

∴EG=FG，

∴EF=FG=GE=CE，

∴四边形 ECFG 为菱形；

②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°， 而 OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=67.5°，

∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°， ∴∠AOC=45°，

∴∠COE=45°，

利用对称得∠EOG=45°，

∴∠COG=90°，

易得△OEC≌△OEG，

∴∠OEG=∠OCE=90°，

∴四边形 ECOG 为矩形，

而 OC=OG，

∴四边形 ECOG 为正方形． 故答案为 30°，22.5°．

第23页（共33页）

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的 切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形 的判定．

20．（9.00 分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低 两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节 高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学 问题，请你解答．

如图所示，底座上 A，B 两点间的距离为 90cm．低杠上点 C 到直线 AB 的距离 CE 的长为 155cm，高杠上点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234cm，已知低杠的支 架 AC 与直线 AB 的夹角∠CAE 为 82.4°，高杠的支架 BD 与直线 AB 的夹角∠DBF 为 80.3°．求高、低杠间的水平距离 CH 的长．（结果精确到 1cm，参考数据 sin82.4° ≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168， tan80.3°≈5.850）

第24页（共33页）

【分析】利用锐角三角函数，在 Rt△ACE 和 Rt△DBF 中，分别求出 AE、BF 的长．计 算出 EF．通过矩形 CEFH 得到 CH 的长．

【解答】解：在 Rt△ACE 中，

∵tan∠CAE=

，

∴AE=

=

≈ ≈21（cm）

在 Rt△DBF 中，

∵tan∠DBF=

，

∴BF=

=

≈

=40（cm）

∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm）

∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF

∴四边形 CEFH 是矩形，

∴CH=EF=151cm

答：高、低杠间的水平距离 CH 的长为 151cm．

【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．

21．（10.00 分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量 y（个） 与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利 润的几组对应值如表：

销售单价 x（元） 日销售量 y（个） 日销售利润 w（元）

85

95

105

115

175 875

125 75 m

1875 1875 875

（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））

（1）求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出 x 的取值范围）及 m 的值； （2）根据以上信息，填空：

该产品的成本单价是 80 元，当销售单价 x= 100 最大值是 2000 元；

元时，日销售利润 w 最大，

（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日 销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为 90 元时，日销售

第25页（共33页）

利润不低于 3750 元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？ 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得 y 关于 x 的函数解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和 w 的最大值； （3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本． 【解答】解；（1）设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b，

，得

，

即 y 关于 x 的函数解析式是 y=﹣5x+600，

当 x=115 时，y=﹣5×115+600=25，

即 m 的值是 25；

（2）设成本为 a 元/个，

当 x=85 时，875=175×（85﹣a），得 a=80，

w=（﹣5x+600）（x﹣80）=﹣5x2 +1000x﹣48000=﹣5（x﹣100）2 +2000， ∴当 x=100 时，w 取得最大值，此时 w=2000，

故答案为：80，100，2000；

（3）设科技创新后成本为 b 元，

当 x=90 时，

（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，

解得，b≤65，

答：该产品的成本单价应不超过 65 元．

【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解答 本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想 解答．

22．（10.00 分）（1）问题发现

如图 1，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接 AC， BD 交于点 M．填空：

①

的值为 1 ；

②∠AMB 的度数为 40° ． （2）类比探究

第26页（共33页）

如图 2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接 AC

交 BD 的延长线于点 M．请判断

的值及∠AMB 的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将△OCD 绕点 O 在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点 M，

若 OD=1，OB= ，请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长．

【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得 AC=BD，比值为 1；

②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180° ﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣140°=40°；

（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则

=

，由全等

三角形的性质得∠AMB 的度数；

（3）正确画图形，当点C 与点 M 重合时，有两种情况：如图3 和 4，同理可得：

△AOC∽△BOD，则∠AMB=90° ，

，可得 AC 的长．

【解答】解：（1）问题发现 ①如图 1，∵∠AOB=∠COD=40°， ∴∠COA=∠DOB， ∵OC=OD，OA=OB， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC=BD，

∴

=1，

②∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠AOB=40°，

第27页（共33页）

∴∠OAB+∠ABO=140°，

在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+ ∠ABD）=180°﹣140°=40°，

故答案为：①1；②40°；

（2）类比探究

如图 2，

=

，∠AMB=90°，理由是：

Rt△COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，

∴

，

同理得：

，

，

∴

∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， ∴△AOC∽△BOD，

∴

=

，∠CAO=∠DBO，

在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO） =90°；

（3）拓展延伸

①点 C 与点 M 重合时，如图 3，同理得：△AOC∽△BOD，

∴∠AMB=90°，

， x，

设 BD=x，则 AC=

Rt△COD 中，∠OCD=30°，OD=1， ∴CD=2，BC=x﹣2，

Rt△AOB 中，∠OAB=30°，OB= ∴AB=2OB=2

，

，

在 Rt△AMB 中，由勾股定理得：AC2 +BC=AB2，

，

2

x2﹣x﹣6=0，

第28页（共33页）

（x﹣3）（x+2）=0，

x =3，x =﹣2， 1 2

∴AC=3

；

②点 C 与点 M 重合时，如图 4，同理得：∠AMB=90°， 设 BD=x，则 AC=

，

x，

在 Rt△AMB 中，由勾股定理得：AC2 +BC=AB2，

+（x+2）2=

2

x2 +x﹣6=0，

（x+3）（x﹣2）=0， x =1 ﹣3，x =22 ， ∴AC=2

；

综上所述，AC 的长为 3 或 2

．

【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定， 几何变换问题，解题的关键是能得出 △：AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质， 并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．

23．（11.00 分）如图，抛物线 y=ax2 +6x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直 线 y=x﹣5 经过点 B，C．

（1）求抛物线的解析式；

第29页（共33页）

（2）过点 A 的直线交直线 BC 于点 M．

①当 AM⊥BC 时，过抛物线上一动点 P（不与点 B，C 重合），作直线 AM 的平行 线交直线 BC 于点 Q，若以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标；

②连接 AC，当直线 AM 与直线 BC 的夹角等于∠ACB 的 2 倍时，请直接写出点 M 的坐标．

【分析】（1）利用一次函数解析式确定 C（0，﹣5），B（5，0），然后利用待定 系数法求抛物线解析式；

（2）①先解方程﹣x2 +6x﹣5=0 得 A（1，0），再判断△OCB 为等腰直角三角形得

到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB 为等腰直角三角形，所以 AM=2

，接着根据平

行四边形的性质得到 PQ=AM=2

，PQ⊥BC，作 PD⊥x 轴交直线 BC 于 D，如图

1，利用∠PDQ=45°得到 PD=

PQ=4，设 P（m，﹣m2 +6m﹣5），则 D（m，m﹣5），

讨论：当 P 点在直线 BC 上方时，PD=﹣m2 +6m﹣5﹣（m﹣5）=4；当 P 点在直线 BC 下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2 +6m﹣5），然后分别解方程即可得到 P 点的横坐 标；

1 ，交 AC 于 E， ②作 AN⊥BC 于 N，NH⊥x 轴于 H，作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M

如图 2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM 1 B=2∠ACB，再确定 N（3，﹣2），

AC 的解析式为 y=5x﹣5，E 点坐标为（ ，﹣ ），利用两直线垂直的问题可设直

第30页（共33页）

线 EM 1 的解析式为 y=﹣ x+b，把 E（ ，﹣ ）代入求出 b 得到直线 EM 1 的解析

式为 y=﹣ x﹣ ，则解方程组

得 M 1 点的坐标；作直线 BC 上作点

M 2，利用对称性得到∠AM C=1 关于 N 点的对称点 M 2，如图 2 ∠AM B=21 ∠ACB，

设 M 2（ x，x﹣5），根据中点坐标公式得到 3=

，然后求出 x 即可得到 M 2 的

坐标，从而得到满足条件的点 M 的坐标．

【解答】解：（1）当 x=0 时，y=x﹣5=﹣5，则 C（0，﹣5）， 当 y=0 时，x﹣5=0，解得 x=5，则 B（5，0），

把 B（5，0），C（0，﹣5）代入 y=ax2+6x+c 得 ∴抛物线解析式为 y=﹣x2+6x﹣5；

，解得 ，

（2）①解方程﹣+6x﹣5=0 得 x =11 ，x =52 ，则 A（1，0）， x2

∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB 为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM⊥BC，

∴△AMB 为等腰直角三角形，

∴AM=

AB= ×4=2

，

∵以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，

∴PQ=AM=2

，PQ⊥BC，

作 PD⊥x 轴交直线 BC 于 D，如图 1，则∠PDQ=45°， ∴PD=

PQ=

×2

=4，

设 P（m，﹣m2 +6m﹣5），则 D（m，m﹣5）， 当 P 点在直线 BC 上方时，

PD=﹣m2 +6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2 +5m=4，解得 m =1，m =4， 当 P 点在直线 BC 下方时，

1 2

PD=m﹣5﹣（﹣m2 +6m﹣5）=m2 ﹣5m=4，解得 m =

1

，m =

2

，

综上所述，P 点的横坐标为 4 或

或

第31页（共33页）

；

1 ②作 AN⊥BC 于 N，NH⊥x 轴于 H，作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M ，交 AC 于 E，

如图 2，

∵M A=M C1 1 ，

∴∠ACM =1 ∠CAM 1， ∴∠AM ∠ACB， 1B=2

∵△ANB 为等腰直角三角形， ∴AH=BH=NH=2，

∴N（3，﹣2），

易得 AC 的解析式为 y=5x﹣5，E 点坐标为（ ，﹣ ），

设直线 EM 1 的解析式为 y=﹣ x+b，

把 E（ ，﹣ ）代入得﹣ +b=﹣ ，解得 b=﹣

，

∴直线 EM 1 的解析式为 y=﹣ x﹣

，

解方程组

得

，则 M 1（ ，﹣ ）；

作直线 BC 上作点 M 1 关于 N 点的对称点 M 2，如图 2，则∠AM 2C=∠ACB， ∠AM B=21

设 M 2（ x，x﹣5），

∵3=

， ，

∴x=

∴M 2（

，﹣ ），

综上所述，点 M 的坐标为（

，﹣ ）或（ ，﹣ ）．

第32页（共33页）

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

第33页（共33页）

二法