数学竞赛专题讲座七年级第5讲-计算—工具与算法的变迁(含答案)

研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、

纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．

初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有： 1．巧用运算律； 2．用字母代数； 3．分解相约； 4．裂项相消； 5．利用公式； 6．加强估算等．

“当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法．——威尔逊

注：威尔逊，著名计算物理学家，20世纪80年代诺贝尔奖获得者．

【例1】 现有四个有理数3，4，6，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：

(1) ；(2) ；(3) ． (浙江省杭州市中考题) 思路点拨 从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．

链接： 今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算

变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维． 著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”． 有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在： (1)有理数的计算每一步要确定符号； （2）有理数计算常常是符号演算；

(3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．

程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构．

【例2】 如果4个不同的正整数m、n、p、q满足(7m)(7n)(7p)(7q)4，那么，mnpq等于( )．

A．10 B．2l C．24 D．26 E．28 (新加坡数学竞赛题) 思路点拨 解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式． 【例3】 计算： (1)1111； (“祖冲之杯”邀请赛试题) 121231231002

2

2

2

2

2

2

(2)1949—1950+1951—1952+…+1997—1998+1999 (北京市竞赛题) 232002

(3)5+5+5+…十5．

思路点拨 对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．

链接：裂项常用到以下关系式： （1）

ab11； abab111；

a(a1)aa1b11．

a(ab)aab（2）

（3）

运用某些公式，能使计算获得巧解，常用的公式有： （1）ab(ab)(ab)； （2）123n22n(n1)． 2错位相减、倒序相加也是计算中常用的技巧．

2004200420042004

【例4】(1)若按奇偶分类，则2+3+7+9是 数；

(2)设a3，b4，c5 ，则a、b、c的大小关系是 (用“>”号连接)； (3)求证：3+4是5的倍数．

思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法则；③a2n2002

2002

330；④an与a的奇偶性相同；⑤在n4kr中(k，r为非负整

4kr数，n0，0≤r<4)，当r=0时，n的个位数字与n的个位数字相同；当r0时，?

4

n4kr的个位数字与nr的个位数字相同．

【例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：

（1）证明：可以得到22； （2）证明；可以得到21002972．

思路点拨 （1）试值可以得到22，从计算中观察得数的规律性，为（2）做准备；（2）连续地运用同一种运算以获得高次，在进行适当的变换可以求解．

【例6】（1）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，e0且e1，那么

5(ab)2003(cd)2004e200的值为__________． (第19届江苏省竞赛题)

（2）已知S1134k20052006(1)k1k20052006，则小于S的最大整24816222数是______． （第11届“华杯赛“试题）

思路点拨 对于（1）从倒数、相反数的概念入手；（2）通过对数式的分组，估算S的值的范围．

【例7】按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（ ）．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （义乌市中考题）

是 输入x>500计算5x+1的值输出结果 否

思路点拨 看懂程序图，循环运算是解本题的关键．

【例8】如图所示是一33的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列及对角线上的和都是相等的，求k的值． （两岸四地少年数学邀请赛试题） 思路点拨 为充分利用条件，需增设字母，运用关系式求出k的值．

基础训练

一、基础夯实

1.(1)计算:211×(-455)+365×455-211×5+5×365=_________;

200420032002 (2)若a= -,b=-,c=-,则a、b、c的大小关系是___________(用“〈”号

200320022001连接〉. 2.计算:(1)0.7×1

4351+2×(-15)+0.7×+×(-15)=________; 9494 (第15届江苏省竞赛题)

1919197676 (2) -=________. (第12届“希望杯”邀请赛试题)

7676761919111 (3) ++…+=________; (天津市竞赛题)

355719971999 (4)(13.672×125+136.72×12.25-1367.2×1.875)÷17.09=________. (第14届“五羊杯”竞赛题)

3.在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号(不再添加括号),•使得等式成立:6□3□2□12=24. (第17届江苏省竞赛题) 4.1999加上它的

111得到一个数,再加上所得的数的又得到一个数,再加上这次得数的 23411999,那么最后得到的数是

又得到一个数,……,依此类推,一直加到上一次得数的_________.

5.根据图所示的程序计算,若输入的x值为

A.

3,则输出的结果为( ). 27919 B. C. D. (2002年北京市海淀区中考题) 2422输入x值y=x+2-2x-1y=x2-16.已知a=-

199919991999199819981998,b=-

200020002000199919991999,c=-

200120012001200020002000,则

abc=( ).

A.-1 B.3 C.-3 D.1 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 7.如果有理数a、b、c满足关系abcac的值( ).

ab2c3 A.必为正数 B.必为负数 C.可正可负 D.可能为0 8.将322、414、910、810由大到小的排序是( ).

A.322、910、810、414 B.322、910、414、810

C.910、810、414、322 D.322、414、910、810 (美国犹他州竞赛题) 9.阅读下列一段话,并解决后面的问题:

观察下面一列数:1,2,4,8,…,我们发现,这一列数从第2项起,•每一项与它前一项的比都等于2.

一般地,如果一列数从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,•这一列数就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比. (1)等比数列5,-15,45,…的第4项是________;

(2)如果一列数a1,a2,a3,a4,…是等比数列,且公比为q,那么根据上述的规定,有 •

aa2a=q, 3=q, 4=q,…, a1a2a3所以a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=a1q3,…,an=_______(用a1与q的代数式表示). (3)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. (2003年广西省中考题)

nmabcabc10.(1)已知a、b、c都不等于零,且+++的最大值是m,最小值为n,求

|a||b||c||abc|mn的值.

(2)求证:5353-3333是10的倍数.

二、能力拓展

2003240042003200240082003200411.计算:(1) =_________.

22003300520032003200520053005 (第15届“希望杯”邀请赛试题)

(2)2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=___________;

1233695101571421 (3) =_______________.

13539155152572135 (4)98+998+9998+…+9998=_________.(2003年“信利杯”竞赛题)

50个912.(1)32001×72002×132003所得积的末位数字是________;(第17届江苏省竞赛题) 13.若a、b、c、d是互不相等的整数(a为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比较nn+1与(n+1)n的大小(n是自然数),然后,我们从分析n=1,n=2,n=3,……中发现规律,经归纳、猜想得出结论. (1)通过计算,比较下列各组中两数的大小(在空格中填写“)”、“＝”、•“〈”号〉. ①12_____21; ②23______32; ③34______43; ④45______; ⑤56_____65;…… (2)从第(1)题的结果经过归纳,可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是_______.

(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论,试比较下列两个数的大小20012002___20022001. (江苏省常州市中考题) 15.如果

t|ttt|t1t+2+3=1,则123的值为( ). |t1||t2||t3|t1t2t3

A.-1 B.1 C.±1 D.不确定 (2003河北省竞赛题) 16.如果ac<0,那么下面的不等式

a<0,ac2<0,a2c<0,c3a<0,ca3<0中必定成立的有( • ). c A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

22232492482122217.设S=+++…,T=+++…,则S-T=( ).

979999133557357249249249249A. B.1- C.-1 D.+1 99999999 (第14届“五羊杯”竞赛题)

18.10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”，则这10个有理数的和为( ).

11175 B. C. D. (第11届江苏省竞赛题) 218691119.图中显示的填数“魔方”只填了一部分,将下列9个数: ,,1,2,4,8,•16,•32,填

42 A.

入方格中,使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等,求x的值. (上海市竞赛题)

32x

20.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a+b,a的形式,又可分别表示为0, 形式,求a2002+b2001的值.

三、综合创新

21.(1)三个2,不用运算符号,写出尽可能大的数; (2)三个4,不用运算符号,写出尽可能大的数.

(3)用相同的3个数字(1～9),不用运算符号,写出最大的数.

22.如图,是一个计算装置示意图,J1、J2是数据输入口,C是计算输出口,计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n,经计算后得自然数K由C输出,此种计算装置完成的计算满足以下三个性质:

(1)若J1、J=2分别输入1，则输出结果为1;

(2)若J=1输入任何固定的自然数不变,J2输入自然数增大1,则输出结果比原来增大2; (3)若J2输入1,J1输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍. 试问:(1)若J1输入1,J2输入自然数n,输出结果为多少? (2)若J2输入1,J1输入自然数m,输出结果为多少?

(3)若J1输入自然数m,J2输入自然数n,输出的结果为多少?

(2002年扬州中学招生试题)

a,b的bmj1nj2C

答案：

1.(1)1000,(2)a>b>c. 2.(1)-43.6;(2)-3(4)•48,•注意13672=•8•×1709. 3.略 4.1999000 提示:原式=1999×(1+

3998;(3) ; 45997111)(1+)×…×(1+) 2319995.C 6.A 7.B 8.A 9.(1)-135;(2)an=a1qn-1;(3)a1=5,a4=40. 10.(1)-16 提示:

x=±1,m=4,n=-4;(2)5353与3333的个位数字相同. |x|11.(1)

667668 ;(2)6 提示:2n+1-2n=2n;(3)

2; (4) 111000 12.(1)9;(2)115200 9个113.-12

14.(1)略;(2)当n<3时,nn+1<(n+1)n;当n≥3时,nn+1>(n+1)n;(3)>. 15.A 16.C 17.B 提示:

1n(n2)111() 18.A 2nn219.这9个数的积为

11××1×2×4×8×16×32×=3, 4211,, 2,4中的某个数,推得x=8. 4232beacxdf

所以,每行、每列、每条对角线上三个数字积为, 得ac=1,ef=1,ax=2,a,c,e,f分别为

20.2 提示:这两个三数组在适当的顺序下对应相等,

于是可以断定,a+b与a•中有一个为0,

b与b中有一个为1,再讨论得a=-1,b=1. a21.(1)222;(2)444=4256>444;

(3)设所用数字为a,可得下面4种写法:

①当a=1时,111最大;②当a=2时,222最大;③当a=3时,333最大;④当a≥4时,a最大. 22.由题意设输出数,

设C(m,n)为k,则C(1,1)=1,C(m,n)=c(m,n-1)+2,C(m,•1)•=2C(m-1,1).

(1)C(1,n)=C(1,n-1)+2=C(1,n-2)+2×2=…= C(1,1)+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1 (2)C(m,1)=2C(m-1,1)=22·C(m-2,1)=…=2m-1C(1,1)=2m-1.

(3)C(m,n)=C(m,n-1)+2=C(m,n-2)+2×2=…=C(m-1)+2(n-1)

=22C(m-2,1)+2(n-1)=…=2m-1C(1,1)+2n-2=2m-1+2n-2.

提高训练

1．若mm1，则(4m1)2004=______． （“希望杯”邀请赛试题）

2．符号“f”表示一种运算，他对一些数的运算结果是： （1）f(1)0，f(2)1，f(3)2，f(4)3，… （2）f()2，f()3，f()4，f()5，…

121314151 )f(2008)______． （贵阳市中考题）

2008123414153．等于（ ）．

246828301111A． B． C． D． （“希望杯”邀请赛试题）

4422利用以上规律计算：f(4．(2)A．220043(2)2003 的值为（ ）．

20032003 B．2 C．22004 D．22004 (江苏省竞赛题)

11111111，则等于（ ）． 1a2b2c2d2a3b4c5d613715A． B． C． D． （北京市竞赛题）

816325．自然数a、b、c、d满足

6．a、b、c、d是互不相等的正整数，且abcd441，那么abcd的值是（ ）． A．30 B．32 C．34 D．36 (“希望杯”邀请赛试题)

7．已知(ab)b5b5，且2ab10．求ab的值．（北京市迎春杯竞赛题） 8．已知a、b、c都不等于0，且

2abcabc的最大值为m，最小值为n，则abcabc(mn)2005______． (重庆市竞赛题)

9．从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是______．

1，4.25，5.75； 311第二组：2，；

315第一组：5，3

第三组：2.25，

5，4． （“华杯赛”试题） 12333310．计算：2461004246100624610082462006的值是（ ）． A．

11．已知有理数x、y、z两两不相等，则

3311 B． C． D． （第18届五羊杯竞赛题） 100310043341000xyyzzx，，中负数的个数是（ ）． yzzxxyA．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （重庆市竞赛题） 12．若有理数x、y使得xy、xy、xy、值是（ ）． A．

13．已知abcde0，下列判断正确的是（ ）．

A．abcde0 B．abcde0 C．abcde0 D．abcde0 (江苏省竞赛题) 14．已知m，n都是正整数，并且A(1)(1)(1)(1)(124242345x这四个数中的三个数相等，则yx的y113 B．0 C． D． （天津市竞赛题） 2221212131311)(1)，mm111111B(1)(1)(1)(1)(1)(1)．

2233nn

m1n1，B； 2m2n1 （2）若AB,求m和n的值． （华杯赛试题）

26证明：（1）A