沪教版(上海)八年级上册数学19.2证明举例(解析版)

19.2证明举例

一、解答题

1．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图点D在AB上，E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC,∠∠C,求证：BD=CE．

【答案】见解析

【解析】由两角和夹边ASA即可得出△ABE≌△ACD,由全等三角形的性质可到AE=AD,进而可得出结论BD=CE．证明:

BCAAABAC在△ABE和△ACD中 ,

所以△ABE≌△ACD（ASA）,

所以AD=AE,

因为AB=AC,

所以AB-AD=AC-AE即:BD=CE,

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题,关键是由两角和夹边得出△ABE≌△ACD．

2．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图所示ABC，BE，CD相交于O，AB=AC，AD=AE

（1）求证：OD=OE

（2）联结DE，求证：DE//BC．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）根据SAS证明ADCAEB，再由全等三角形对应边、对应角相等解题即可；

（2）先根据AB=AC，整理出BD、EC的数量关系，再由AAS证明BDOCEO,最后根据全等三角形对应边相等的性质解题即可．（1）证明：在ADC和△AEB中

AB=AC；

∠A=∠A；

AD=AE，

所以ADCAEB

所以∠ABE=∠ACD，

又因为AD=AE，

所以BD=CE，

在△BDO和CEO中

BD=EC

∠ABE=∠ACD

∠DOB=∠EOC

所以BDOCEO

所以OD=OE

（2）证明：ADAE，ABAC

ADAEABAC

AA

ADEABC

ADEABC

DE//BC

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

3．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图，在△ABC中，

∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．

【答案】135°

【解析】先设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∠A，∠ABC，∠ACB，在△ABD中，利用三角形内角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性质，可求出∠BHC．解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，

故设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x．

∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴3x+4x+5x=180°，

解得x=15°，

∴∠A=3x=45°．

∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，

∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，

∴在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-45°=45°，

∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°．

【点睛】

本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．

4．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）如图， AB=AC， E是AD上的一点，∠BAE=∠CAE．求证：∠EBD=∠ECD．

【答案】见解析

【解析】先证明△ABD≌△ACD，得到∠ADB=∠ADC，BD=CD，再证明△BDE≌△CDE，问题得证．证明：在△ABD和△ACD中

ABACBADCADADAD

∴△ABD≌△ACD，

∴∠ADB=∠ADC，BD=CD，

在△BDE和△CDE中

DEDEEDBEDCBDCD

∴△BDE≌△CDE，

∴∠EBD=∠ECD．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并根据题意灵活选择方法是解题关键．

5．（2020·仪征市第三中学初二月考）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．

【答案】证明见解析.

【解析】

求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．

∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，

∴BF=CE，

在△ABF和△DCE中

ABDCBCBFCE，

∴△ABF≌△DCE（SAS），

∴∠GEF=∠GFE，

∴EG=FG．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

6．（2020·全国初一课时练习）如图，现有以下3个论断：BD//EC；DC；AF．

（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？

（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；

（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．解：（1）由BD//EC，

DC，得到AF；

由BD//EC，AF，得到DC；

由AF，DC，得到BD//EC；

故能组成3个命题．

（2）由BD//EC，DC，得到AF，是真命题．理由如下：

BD//EC，ABDC．

DC，∴ABDD，

AC//DF，AF．

由BD//EC，AF，得到DC，是真命题．理由如下：

BD//EC，ABDC．

AF，AC//DF，

DABD,DC．

由AF，DC，得到BD//EC，是真命题．理由如下：

∵AF，AC//DF，DABD．

DC，ABDC，

BD//EC．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．

C、AFDC．F、D在一条直线上，AB∥DE，ABDE，7．（2020·四川前锋·初三其他）如图，点A、求

证：BC∥EF．

【答案】见解析.

【解析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB=∠DFE，故证得结论．∵

AB∥DE，

∴AD．

∵AFDC，

∴ACDF．

在△ABC与DEF中，

ABDEADACDF，

∴△ABC≌DEF（SAS）．

∴ACBDFE．

∴BC∥EF．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件.

ABC90，8．（2020·广西北流·初三学业考试）如图，在Rt△ABC中，点D在边AB上，使DBBC，

过点D作EFAC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F．求证：ABBF．

【答案】详见解析

【解析】根据EFAC得出FC90，再根据AC90，故AF，证明FBD≌ABC即可证明ABBF.∵EFAC，∴FC90．

∵AC90，∴AF．

AFFBDABC90BDBCABCFBD在和中，，

∴FBD≌ABC（AAS），∴ABBF．

【点睛】

本题考查了直角三角形两锐角互余以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余以及三角形全等的判定和性质是解题的关键.

9．（2019·全国初二课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D点在BA的延长线上，点E在AC上，且AD=AE，DE的延长线交BC于点F，求证：DF⊥BC．

【答案】见解析证明．

【解析】

试题分析：过A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D，则∠BAM=∠D，根据平行线的判定得出DF∥AM，进而得到DF⊥BC．

试题解析：证明：如图，过A作AM⊥BC于M，

∵AB=AC，∴∠BAC=2∠BAM，∵AD=AE，∴∠D=∠AED，∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，∴∠BAC=2∠BAM=2∠D，∴∠BAM=∠D，∴DF∥AM，∵AM⊥BC，∴DF⊥BC．

考点：等腰三角形的性质．

C在同一直线上，B，10．（2020·玉山县南山乡中学月考）如图，点A，点E在BD上，且ABDEBC．

1求证：ACBD；

2判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）垂直，理由见解析

【解析】（1）根据全等三角形的对应角相等和平角的定答；

1（2）根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行解答．证明：∵ABDEBC，

ABDEBC．

又A，B，C在同一条直线上，

EBCEBA90，

即ACBD．

2解：直线AD与直线CE垂直．

理由：延长CE交AD于F，如图所示，

ABDEBC，

DC．

在Rt△ABD中，

AD90，

则AC90，

∴AFC90，

即CEAD．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答的关键．

11．（2020·荆州市实验中学月考）如图，△ABE和△CBF有公共顶点B，且满足AB=CB，EB=FB，

AB⊥BC，BE⊥BF，AE和CF交于点D．

（1）求证：△ABE≌△CBF；

（2）求证：AE⊥CF．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）由已知可得：∠ABE＝∠FBC，从而可得△ABE≌△CBF；

（2）记AE与BC交于点H，则由（1）和已知可得∠A＝∠C，∠CHD＝∠AHB，再由三角形内角和定理可以得到∠CDH=∠CBA=90°，从而可以证得AE⊥CF．（1）由AB⊥BC，BF⊥BE可知：

∠ABC＝∠EBF＝90°

∴∠ABC＋∠CBE＝∠EBF＋∠CBE

即∠ABE＝∠FBC

在△ABE和△CBF中：

ABCBABECBFEBFB

∴△ABE≌△CBF（SAS）

（2）由（1）知：△ABE≌△CBF

∴∠A＝∠C

记AE与BC交于点H，则：∠AHB＝180°－∠ABC－∠A＝90°－∠A

又∵∠CHD＝∠AHB＝90°－∠A

∴∠C＋∠CHD＝∠C＋90°－∠A＝90°

∴∠CDH＝180°－90°＝90° ∴AE⊥CF

【点睛】

本题考查三角形全等的应用，综合运用三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理求证是解题关键．

CE分别是ABC的高，RtBECRtCDB．BD，12．（2020·湖南渌口·初二期末）如图，且BECD，求证：

【答案】证明见解析.

【解析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可；证明：∵BD，CE分别是ABC的高，

∴BECCDB90，

在RtBEC和RtCDB中，

BCBCBECD，

∴

RtBECRtCDBHL．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

13．（2020·剑阁县公兴初级中学校初二月考）如图，AD是ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，求证：B122．

【答案】见解析

【解析】根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BAC，∠2=∠B+∠BAD，再利用角平分线的定义转化证明即可．证明：∵∠1=∠B+∠BAC，∠2=∠B+∠BAD，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAC=2∠BAD，

∴∠B+∠1=∠B+∠B+∠BAC=2∠B+2∠BAD=2∠2．

【点睛】

此题考查三角形外角的性质，关键是根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BAC，∠2=∠B+∠BAD．

14．（2020·安徽临泉·初二期末）如图，在ABC和DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：

①ABDE；②ACDF；③AB//DE；④BECF.请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明.

解：我写的真命题是：

已知：____________________________________________；

求证：___________.（注：不能只填序号）

证明如下：

【答案】已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：AB∥DE.证明见解析.或已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．求证：AC=DF．证明见解析.

【解析】由BE=CF⇒BC=EF，所以，由①②④，可用SSS⇒△ABC≌△DEF⇒∠ABC=∠DEF⇒ AB∥DE；由①③④，可用SAS⇒△ABC≌△DEF⇒AC=DF；由于不存在ASS的证明全等三角形的方法，故由其它三个条件不能得到1或4．解：将①②④作为题设，③作为结论，可写出一个正确的命题，如下：

已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．

求证：AB∥DE．

证明：在△ABC和△DEF中，

∵BE=CF，

∴BC=EF.

又∵AB=DE，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF（SSS）

∴∠ABC=∠DEF．

∴ AB∥DE.

将①③④作为题设，②作为结论，可写出一个正确的命题，如下：

已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．

求证：AC=DF．

证明：∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF.

在△ABC和△DEF中

∵BE=CF，∴BC=EF.

又∵AB=DE，∠ABC=∠DEF，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴AC=DF．

【点睛】

本题考查命题与定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．

15．（2020·上虞市实验中学初二月考）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB．求证：AF=DE．

【答案】见解析．

【解析】先根据CE=FB得到CF=BE，然后利用“边边边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，再利用“边角边”证明△ABF和△DCE全等，然后根据全等三角形对应边相等得证．∵CE=FB，

∴CE+EF=FB+EF，

即CF=BE，

在△ABE和△DCF中，

AB＝CDAE＝DFCF＝BE

∴△ABE≌△DCF（SSS），

∴∠B=∠C，

在△ABF和△DCE中

AB＝CDB＝CCE＝FB

∴△ABF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，根据CE=FB证明得到CF=BE是解题的关键，注意本题需要两次证明三角形全等．

16．（2020·江苏海安·月考）如图，AD=CB，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F是垂足，AE=CF．

求证：（1）AB=CD

（2）AB//CD．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）利用HL得到直角三角形ADE与直角三角形CBF全等，利用全等三角形的对应边相等得到DE=BF，可得DF=BE，利用SAS得到三角形AEB与三角形CFD全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；

（2）由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．证明：（1）AEBD，CFBD

AEBCFDAEDCFB90

AECF，ADCB

RtADECBF(HL)

∴DE=BF

BDDEBDBF

BEDF

∵AEBCFD，AECF

∴ABECDF（SAS）

∴AB=CD；

（2）∵ABECDF

∴ABECDF

AB//CD

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

17．（2020·上虞市实验中学初二月考）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P放在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．

【答案】PC=PD，证明见解析

【解析】作PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E、F，易证△ PEO≌△PFO，得出∠CPE=∠DPF，再证△PEC≌△PFD即可.解：PC=PD

证明：作PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E、F．

则有 ∠PEC=∠PFD=90°

即 ∠PEO=∠PFD=90°

∵OM平分∠AOB

∴∠POE=∠POF

于是 在△PEO和△PFO中

PEOPFOPOEPOFPOPO∵

∴ △ PEO≌△PFO(AAS)

∴ PE=PF(全等三角形的对应边相等)

∵ ∠CPD= 90 ° 即 ∠CPE+∠EPD=90°

易知∠ EPF= 90 ° 即∠ DPF+∠EPD=90°

∴ ∠CPE=∠DPF

于是 在△PEC和△PFD中

∵

PECPFDCPEDPFPEPF

∴ △PEC≌△PFD(AAS)

∴ PC=PD(全等三角形的对应边相等)

18．（2020·湖北红安·初二月考）如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°

角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.

（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N，证明:DM＝DN；

（2）在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

（3）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

1【答案】（1）详情见解析；（2）四边形DMBN面积不发生变化，面积为4；（3）仍然成立，证明

见解析.

【解析】（1）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明△MBD≌△NCD，进而求证即可；

（2）根据全等得出△MBD与△NCD面积相等，求出四边形DMBN的面积等于△BDC的面积，进而求解即可；

（3）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明△MBD≌△NCD，进而求证即可.（1）如图1，连接BD.

∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴BD=DC=AD，∠BDC=90°，

∴∠ABD=∠C=45°，

∵∠MDB+∠BDN=90°，∠CDN+∠BDN=90°

∴∠MDB=∠NDC，

在△MBD与△NCD中，

∵∠MDB=∠NDC，BD=DC，∠MBD=∠C，

∴△MBD≌△NCD，

∴DM=DN.

（2）四边形DMBN面积不发生变化.

由（1）得△MBD≌△NCD，

∴S△MBD=S△NCD，

11∴四边形DMBN面积=S△DMB+S△BDN= S△CND+ S△BDN=2S△ABC=4.

（3）DM=DN仍然成立.

如图2，连接BD，

∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴DB=DC,∠BDC=90°，

∴∠DCB=∠DBC=45°，

∴∠DBM=∠DCN=135°，

∵∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，

∴∠CDN=∠BDM，

在△CDN与△BDM中，

∵∠CDN=∠BDM，DC=DB，∠DCN=∠DBM，

∴△CDN≌△BDM，

∴DM=DN.

【点睛】

本题主要考查了三角形旋转问题与全等三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.