初中数学｜几何题中做辅助线技巧全攻略

初中数学｜几何题中做辅助线技巧全攻略

几何可以说是初中数学的半壁江山，囊括了无数的重点知识、难点知识、无数的中考考点……

学好几何，初中数学自然不会低！！

在几何问题中，添加辅助线可以说是解题的关键！

辅助线画得好，解题轻松又快速！

辅助线画不对，可能就是解题绕弯又出错！

如何快速、添加利于解题的辅助线？诀窍都在下面了！

几何常见辅助线口诀：

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，倍长中线得全等。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为三角或平四。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆形

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径联。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

由角平分线想到的辅助线

一、截取构全等

如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB CD。

分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自己试一试。

二、角分线上点向两边作垂线构全等

如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC ∠B=180

分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。

三、三线合一构造等腰三角形

如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。

分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。

四、角平分线 平行线

如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。

分析：AB上取E使AC=AE，通过全等和组成三角形边边边的关系可证。

由线段和差想到的辅助线

截长补短法

AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B ∠D=180°，求证：AE=AD BE。

分析：过C点作AD垂线，得到全等即可。

由中点想到的辅助线

一、中线把三角形面积等分

如图，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

分析：利用中线分等底和同高得面积关系。

二、中点联中点得中位线

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。

分析：联BD取中点联接联接，通过中位线得平行传递角度。

三、倍长中线

如图，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

分析：倍长中线得到全等易得。

四、RTΔ斜边中线

如图，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。

分析：取AB中点得RTΔ斜边中线得到等量关系。

由全等三角形想到的辅助线

一、倍长过中点得线段

已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是。

分析：利用倍长中线做。

二、截长补短

如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分 ，求证：∠A ∠C=180

分析：在角上截取相同的线段得到全等。

三、平移变换

如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB AC>AD AE

分析：将△ACE平移使EC与BD重合。

四、旋转

正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE DF=EF，求∠EAF的度数

分析：将△ADF旋转使AD与AB重合。全等得证。

由梯形想到的辅助线

一、平移一腰

所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长。

分析：利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四边形。

二、平移两腰

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

分析：利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内。

三、平移对角线

已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积。

分析：通过平移梯形一对角线构造直角三角形求解。

四、作双高

在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。

分析：作梯形双高利用勾股定理和三角形边边边的关系可得。

五、作中位线

（1）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：EF//AD

分析：联DF并延长，利用全等即得中位线。

（2）在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=90°，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

分析：在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

圆中常见辅助线的添加（归纳分析）

常说“辅助线是几何的生命线”，可见添加辅助线的重要，而圆这一章涉及面广，综合性强，大多数解题往往是围绕“如何添加辅助线”展开的，下面从具体实例谈谈圆中如何添加辅助线。

一、解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”和用垂径定理相关知识解题。

例1：已知：如图一，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为F。

求证：⑴EC＝DF

⑵当EF向下平移时，若与AB相交，其它条件不变，那么CE是否与DF相等？［相等，证法与（1）同］

证明（1）

（变式练习）例2：已知：如图二，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE、DF⊥AB于E、F。

求证：AE＝BF

略证：作OK1⊥CD于K1，证法与上相仿。

二、涉及弦长半径、弓形高、弦心距、弧长、圆心角等相关量计算时，常构造直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解题。

在处理圆与圆的公切线长a，两圆半径（R、r），圆心距d等相关量的计算问题时，亦属构造直角三角形解题。

即此弦中点到这弦所对劣弧的中点距离为1cm。

例4：“圆材埋壁”是我国古代茂名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达为“如图四，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长？

略解：连OA，在Rt△AEO中，设OA＝r，则OE＝r-1，AE=5（寸）

由勾股定理知：

即直径CD的长为26寸。

例5：如图五：⊙O1、⊙O2外切于点A，外公切线BC、DE分别与⊙O1、⊙O2于点B、C和D、E，并相交于点P。已知∠BPD＝60°。

⑴求⊙O1与⊙O2半径的比。

切

三、圆中出现直径时，常添加辅助线，构成直径上的圆周角，以便利用直径上的圆周角是直角的性质。

例6：如图六，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，求证：AB·AC＝AE·AD

四、在解有关圆的切线问题时，常作出过切点的半径，以便利用切线的性质定理。

例7：如图七，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。

分析：（1）连结OC

五、在处理内心的问题时，常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。

例8：如图八，点I是△ABC的内心，AI交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E，求证：IE是AE和DE的比例中项

略证：连结BI、BE

六、两圆相切时，可作过切点的公切线，它对两圆起着一个“桥梁”的作用，对于每一个圆，公切线都会产生切线的性质，另外，公切线和过切点的两圆的弦会产生弦切角定理运用的前提。

例9：已知如图九、十：⊙O1、⊙O2相切于点T，直线AB、CD经过点T交⊙O1于点A、C，交⊙O2于点B、D。求证：AC∥BD。

七、两圆相交、相切时常连结公共弦、连心线等。利用连心线垂直平分公共弦这一性质。

例10、如图十一、十二，半径为5cm和4cm的两圆相交于A、B两点，AB＝6cm，则两圆的连心线⊙O1、⊙O2的长是多少？

八、添加辅助圆证题。

例11：如图十三，在△ABC中，OA＝OB＝OC。求证：△ABC是Rt△。

如图十四，在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C

总结：在解决与圆的性质有关的问题时，通常可以考虑添加什么样的辅助线？

• （1）遇到有弦时，常常添加弦心距，以便利用垂径定理或圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系的定理等；

• （2）遇到有直径时，常常添加（画直径所对的圆周角，将直径条件转化为直角条件，遇到有切线时，常常添加经过切点的半径，以便利用切线的性质定理；

• （3）遇到两圆，常常添加经过点的半径，以便利用切线的性质定理；

• （4）遇到两圆，常常添加它们的连心线，以便密切两圆之间的联系；

• （5）遇到两圆相交，常常添加它们的公共弦；

• （6）遇到两圆相切，常常添加它们的公切线，以便利用切线的性质或弦切角定理；

• （7）遇到四边形对角互补，或两个三角形同底同侧并有相等顶角时，常常添加辅助圆，以便利用圆的性质。