2006北京十三中高三数学第二轮复习讲义--------函数

专题六：等差、等比数列

一．基础练习

1．(山东卷)an使首项a11，公差d3的等差数列，如果an2005， 则序号n等于 669

2．(全国卷II)如果数列{an}是等差数列，则 （ B ）

A．a1a8a4a5 C．a1a8a4a5

B．a1a8a4a5 D．a1a8a4a5

3．（福建卷）已知等差数列{an}中，a7a916,a41，则a12的值是 15

4．(江苏卷)在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5 84 5．(湖北卷)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 －2 . 6．(全国卷II)在和

二．典型例题 第一课时

【例1】（2005年春考·北京卷)已知an是等比数列，a12，a4；bn是等差数列，b12，

8327之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 216 . 2b1b2b3b4a1a2a3．

（1）求数列an的通项公式及前n项和Sn的公式； （2）求数列bn的通项公式；

（3）设Unb1b4b7b3n2,其中n1,2,,求U10的值. 解：（Ⅰ）设{an}的公比为q，

由a4a1q3得q3a427,q3a1

所以数列{an}的通项公式为an23n1.2(3n1)数列{an}的前n项和的公式为Sn3n1.31（Ⅱ）设数列{bn}的公差为d，

43d86d,23 由b1b2b3b4a1a2a33126

b1b2b3b44b1得86d26,d3,所以bnb1(n1)d3n1.（Ⅲ）b1,b4,b7,…,b3n-2组成以3d为公差的等差数列，所以

U1010b1

10(101)3d425. 2例2．（全国卷II）已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列，又bnn=1，2，3….

（Ⅰ）证明{bn}为等比数列；

（Ⅱ）（文）如果数列{bn}前3项的和等于

1，a2n7，求数列{an}的首项a1和公差d. 24（Ⅰ）证明：lga1、lga2、lga4成等差数列，2lga2lga1lga4，即a22a1a4 又设等差数列an的公差为d，则(a1d)2a1(a13d)，即d2a1d

d0,da10，a2na1(2n1)d2nd，bn这时bn是首项b1111n a2nd211，公比为的等比数列。 2d21117(1),d3，a1d3 （Ⅱ）(文)解：b1b2b32d2424【例3】（湖南卷)已知数列{log2(an1)}nN*)为等差数列，且a13,a39. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明

1111.

a2a1a3a2an1an（I）解：设等差数列{log2(an1)}的公差为d.

由a13,a39得2(log22d)log22log28,即d=1.

所以log2(an1)1(n1)n,即an2n1. （II）证明因为

111， n1nnan1an222所以

1111111123n

a2a1a3a2an1an2222111n2111. 2 212n12第二课时

【例1】已知数列｛an｝为等差数列，公差d≠0，｛an｝的部分项组成下列数列：ak1，ak2，…，akn，恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1＋k2＋k3＋…＋kn.

剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得akn，然后列方程求得kn. 解：设｛an｝的首项为a1，∵ak1、ak2、ak3成等比数列， ∴（a1＋4d）2＝a1（a1＋16d）.得a1＝2d，q＝

－

ak2ak1＝3.

∵akn＝a1＋（kn－1）d，又akn＝a1·3n1，∴kn＝2·3n1－1.

－

∴k1＋k2＋…＋kn＝2（1＋3＋…＋3

n－1

13n）－n＝2×－n＝3n－n－1.

13【例2】.已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n为正偶数，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列，又f（1）=n2，f（－1）=n.试比较f（

1）与3的大小. 2解：∵f（1）=a1+a2+…+an=n2. 依题设，有

n(a1an)2

=n，故a1+an=2n，即2a1+（n－1）d=2n. 2又f（－1）=－a1+a2－a3+a4－a5+…－an－1+an=n， ∴

n·d=n，有d=2.进而有2a1+（n－1）2=2n，解出a1=1. 2于是f（1）=1+3+5+7+…+（2n－1）. f（x）=x+3x2+5x3+7x4+…+（2n－1）xn.

111111）=+3（）2+5（）3+7（）4+…+（2n－1）（）n.① 2222221①两边同乘以，得

21111111f（）=（）2+3（）3+5（）4+…+（2n－3）（）n+（2n－1）（）n+1. ② 22222221111111①－②，得f（）=+2（）2+2（）3+…+2（）n－（2n－1）（）n+1，

22222221111111－

即f（）=++（）2+…+（）n1－（2n－1）（）n+1. 222222211n1111111112∴f（）=1+1++2+…+n2－（2n－1）n=1+－（2n－1）n=1+2－n2－（2n－1）n12222222212∴f（＜3. ∴f（

【例3】 设数列｛an｝，a1＝

1）＜3. 25，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程：an－1x2－anx＋1＝0（n∈Ｎ*6且n≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.

（1）求证:｛an－（2）求an；

1｝为等比数列； 2（3）求｛an｝的前n项和Sn. （1）证明：∵α＋β＝

an111，αβ＝代入3α－αβ＋3β＝1得an＝an－1＋， an1an133∴

anan11111an132＝1为定值. 2＝3113an1221｝是等比数列. 215111111－

（2）解：∵a1－＝－＝，∴an－＝×（）n1＝（）n.

2623233311∴an＝（）n＋.

3211(1n)111n33+n＝n1－1. （3）解：Sn＝（＋2+…+n）+＝

1323n3322213∴数列｛an－

三．课后练习

1．等差数列{an}中，已知a1=

1，a2+a5=4，an=33，则n是 50 3212解析：由已知解出公差d=，再由通项公式得+（n－1）=33，解得n=50.

3332．已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为

11的等差数列，则|m－n|等于 42解析：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为

13571715，，，，∴m=，n=.∴|m－n|=. 4444216163．在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点（an，an1）在直线x－y－3=0上，则an=____3n2____. 解析：将点代入直线方程得an－an1=3，由定义知{an}是以3为首项，以3为公差的等差数列，故an=3n，即an=3n2.

4．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{Sn}中也为常数的项是( C )

A.S7 B.S8

C.S13

D.S15

解析：设a2+a4+a15=p（常数），∴3a1+18d=p，即a7=

13(a1a13)113p. ∴S13==13a7=p. 323

b25．在等比数列{an}中，a5+a6=a（a≠0），a15+a16=b，则a25+a26的值是

a解析：由等比数列的性质得三个和成等比数列，由等比中项公式可得 6．公差不为零的等差数列{an}的第二、三及第六项构成等比数列，则

2

2

a1a3a53=__.

a2a4a65解析：设公差为d（d≠0），由题意a3=a2·a6，即（a1+2d）=（a1+d）（a1+5d），解得d=－2a1，故

a1a3a53a16d9a13===.

a2a4a63a19d15a157．(湖南卷)已知数列{an}满足a10,an1an33an1C．3

(nN*)，则a20=（ B ）

3 2 A．0

B．3

D．

8．(浙江卷)已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，a+b+c=15,求a，b，c． 解：由题意，得

abc15 1ac2b 2 2a1c4b1 3由（1）（2）两式，解得b5 将c10a代入（3），整理得 故a2,b5,c8或a11,b5,c1.经验算，上述两组数符合题意。

a213a220,解得a2或a11,