福建省厦门市2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷含答案解析

福建省厦门市2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷含答

案解析

一．选择题（共10小题）

1．在平面直角坐标系中，点M（1，﹣2）与点N关于原点对称，则点N的坐标为（ ） A．（﹣2，1）

2

B．（1，﹣2） C．（2，﹣1）

2

D．（﹣1，2）

2．已知m是方程x+2x﹣7＝0的一个根，则代数式m+2m＝（ ） A．﹣7

B．7

C．

D．

3．如图，点A为函数y＝（x＞0）图象上的一点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接OA，如果△

AOB的面积为2，那么k的值为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

4．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°，得△A′B′C，若AC⊥A′B′，则∠A等于（ ）

A．50°

2

B．60° C．70° D．80°

5．将抛物线y＝x向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A．y＝x+2

2

B．y＝x﹣2

2

C．y＝（x+2）

2

D．y＝（x﹣2）

2

6．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ）

A．逐渐变短

B．逐渐变长

C．先变短后变长 D．先变长后变短

7．如图，某人从O点沿北偏东30°的方向走了20米到达A点，B在O点的正东方，且在A的正南方，则此时AB间的距离是（ ）

A．10米

B．10

2

米 C．10米

2

D．米

8．如图是二次函数y＝ax+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax+bx+c＜0的解集是（ ）

A．﹣1＜x＜5

B．x＞5

C．﹣1＜x且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5

9．有n支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A．n（n﹣1）＝15

B．n（n+1）＝15

C．n（n﹣1）＝30 D．n（n+1）＝30

10．有两个全等的含30°角的直角三角板重叠在一起，如图，将△A′B′C′绕AC的中点M转动，斜边A′B′刚好过△ABC的直角顶点C，且与△ABC的斜边AB交于点N，连接AA′、C′C、AC′．若AC的长为2，有以下五个结论：①AA′＝1；②C′C⊥A′B′；③点N是边AB的中点；④四边形AA′CC′为矩形；⑤A′N＝B′C＝，其中正确的有（ ）

A．2个

B．3个

C．4个 D．5个

二．填空题（共6小题） 11．若（m﹣2）

﹣mx+1＝0是一元二次方程，则m的值为 ．

12．在①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤锐角；⑥平行四边形中，绕某个点旋转180°后能与自身重合的有 个．

13．已知两个相似三角形相似比是3：4，那么它们的面积比是 ．

14．抛物线y＝ax+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，则a的取值范围是 ． 15．直角三角形两直角边的长分别为x，y，它的面积为3，则y与x之间的函数关系式为 ． 16．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为 ．

2

三．解答题（共9小题）

17．计算：2cos30°+sin45°﹣tan60°

18．如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD＝2，DB＝3，AE＝4，求AC的长．

19．解下列方程：

（1）3x（x+3）＝2（x+3） （2）2x﹣6x﹣3＝0

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与双曲线y＝的一个交点为P（m，2）． （1）求k的值；

（2）M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a＞b时，n的取值范围．

2

21．已知关于x的一元二次方程（m﹣m）x﹣2mx+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围；

（2）若m为整数且m＜3，a是方程的一个根，求代数式2a﹣3a﹣

2

2

2

+2的值．

22．如图，已知△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°； （1）请说明∠EAB＝∠FAC的理由；

（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换； （3）求∠AMB的度数．

23．如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，已知

AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm．

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）确定自变量x的取值范围是 ；

（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表： x/cm

2

2

0 0.5 3.7

1

1.5 3.9

2

2.5 3.8

3 3.3

3.5 2.0

… …

y/cm 4.0

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为 cm．

24．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．

（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；

（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，

AF之间的数量关系，并证明．

25．把函数C1：y＝ax﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称

2

C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．

（1）填空：t的值为 （用含m的代数式表示）

（2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式； （3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．在平面直角坐标系中，点M（1，﹣2）与点N关于原点对称，则点N的坐标为（ ） A．（﹣2，1）

B．（1，﹣2）

C．（2，﹣1）

D．（﹣1，2）

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【解答】解：∵点M（1，﹣2）与点N关于原点对称， 点N的坐标为（﹣1，2）， 故选：D．

2．已知m是方程x+2x﹣7＝0的一个根，则代数式m+2m＝（ ） A．﹣7

B．7

C．

2

2

2

D．

2

【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m+2m﹣7＝0，然后利用等式的性质可确定代数式m+2m的值． 【解答】解：∵m是方程x+2x﹣7＝0的一个根， ∴m+2m﹣7＝0， ∴m+2m＝7． 故选：B．

3．如图，点A为函数y＝（x＞0）图象上的一点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接OA，如果△

22

2

AOB的面积为2，那么k的值为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|＝2，再根据反比例函数的图象位于第一象限即可求出k的值． 【解答】解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝2， 又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0， 则k＝4． 故选：D．

4．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°，得△A′B′C，若AC⊥A′B′，则∠A等于（ ）

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

【分析】根据旋转的性质得∠BCB′＝∠ACA′＝40°，∠A＝∠A′，再利用AC⊥A′B′可计算∠A′＝50°，所以∠A＝∠A′＝50°． 【解答】解：如图，

∵△ACB绕点C顺时针方向旋转40°得△A′CB′，点B与B′对应， ∴∠BCB′＝∠ACA′＝40°，∠A＝∠A′， ∵AC⊥A′B′， ∴∠CDA′＝90°，

∴∠A′＝90°﹣40°＝50°， ∴∠A＝∠A′＝50°． 故选：A．

5．将抛物线y＝x向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A．y＝x+2

2

2

B．y＝x﹣2

2

C．y＝（x+2）

2

D．y＝（x﹣2）

2

【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x向上平移2个单位后的顶点坐标为（0，2）， ∴所得抛物线的解析式为y＝x+2． 故选：A．

6．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ）

22

A．逐渐变短 C．先变短后变长

B．逐渐变长

D．先变长后变短

【分析】由题意易得，小亮离光源是由远到近的过程，根据中心投影的特点，即可得到身影的变化特点． 【解答】解：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短， 故选：A．

7．如图，某人从O点沿北偏东30°的方向走了20米到达A点，B在O点的正东方，且在A的正南方，则此时AB间的距离是（ ）

A．10米

B．10

米

C．10

米

D．

米

【分析】由AB＝OAsin∠AOB可得答案． 【解答】解：根据题意知∠AOB＝60°、OA＝20， 则AB＝OAsin∠AOB＝20sin60°＝20×故选：B．

8．如图是二次函数y＝ax+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax+bx+c＜0的解集是（ ）

2

2

＝10（米），

A．﹣1＜x＜5

B．x＞5

C．﹣1＜x且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5

【分析】先根据图象求出：抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），利用数形结合得出不等式的解． 【解答】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， 由图象可知不等式ax+bx+c＜0的解集是：x＜﹣1或x＞5， 故选：D．

9．有n支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A．n（n﹣1）＝15

B．n（n+1）＝15

C．n（n﹣1）＝30 D．n（n+1）＝30

2

【分析】由于每两个队之间只比赛一场，则此次比赛的总场数为：n（n﹣1）场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝15场，依此等量关系列出方程即可．

【解答】解：设有n支球队参加篮球比赛，则此次比赛的总场数为n（n﹣1）场，

根据题意列出方程得：n（n﹣1）＝15， 整理，得：即n（n﹣1）＝30， 故选：C．

10．有两个全等的含30°角的直角三角板重叠在一起，如图，将△A′B′C′绕AC的中点M转动，斜边A′B′刚好过△ABC的直角顶点C，且与△ABC的斜边AB交于点N，连接AA′、C′C、AC′．若AC的长为2，有以下五个结论：①AA′＝1；②C′C⊥A′B′；③点N是边AB的中点；④四边形AA′CC′为矩形；⑤A′N＝B′C＝，其中正确的有（ ）

A．2个

B．3个

C．4个 D．5个

【分析】①根据旋转的性质，可得AM＝MC＝A′M＝MC′＝1，根据等腰三角形的性质，可得∠MCA′，根据等边三角形的判定，可得答案；

②根据垂线的性质：过直线外一点与已知直线垂直的直线只有一条，可得答案； ③根据等腰三角形的判定，可得答案

④根据平行四边形的判定，可得四边形AA′CC′是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得答案；

⑤根据勾股定理可得BA的长，根据AB与AN的关系，可得AN的长，根据直角三角形的性质，可得答案． 【解答】解：①∵点M是线段AC、线段A′C′的中点，AC＝2， ∴AM＝MC＝A′M＝MC′＝1， ∵∠MA′C＝30°，

∴∠MCA′＝∠MA′C＝30°，

∴∠A′MC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴∠A′MA＝180°﹣A′MC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠AMA′＝∠C′MC＝60°， ∴△AA′M是等边三角形， ∴AA′＝AM＝1，故①正确；

②∵∠A′CM＝30°，∠MCC′＝60°， ∴∠ACA′＝∠A′CM+∠MCC′＝90°，

∴CC′⊥A′C，故②正确；

③∵∠A′CA＝∠NAC＝30°，∠BCN＝∠CBN＝60°， ∴AN＝NC＝NB，故③正确； ④∵△AA′M≌△C′CM，

∴AA′＝CC′，∠MAA′＝∠C′CM＝60°， ∴AA′∥CC′，

∴四边形AA′CC′是平行四边形， ∵∠AA′C＝∠AA′M+∠MA′C＝90°， 四边形AA′CC′为矩形，故④正确； ⑤AN＝AB＝

，

∠NAA′＝30°，∠AA′N＝90°， ∴A′N＝AN＝故选：C．

二．填空题（共6小题） 11．若（m﹣2）

﹣mx+1＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣2 ． ，故⑤错误；

【分析】本题根据一元二次方程的定义求解． 一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0．

由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【解答】解：根据题意得：解得：m＝﹣2． 故答案是：﹣2．

12．在①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤锐角；⑥平行四边形中，绕某个点旋转180°后能与自身重合的有 4 个．

【分析】根据中心对称图形的概念对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：①正方形是中心对称图形； ②长方形是中心对称图形； ③等边三角形不是中心对称图形；

，

④线段是中心对称图形； ⑤锐角，不是中心对称图形； ⑥平行四边形是中心对称图形； 所以，①②④⑥共4个． 故答案为：4．

13．已知两个相似三角形相似比是3：4，那么它们的面积比是 9：16 ． 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果． 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是3：4， ∴它们的面积为9：16． 故答案为9：16．

14．抛物线y＝ax+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，则a的取值范围是 0＜a＜3 ．

【分析】将点的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b的等式和c的值并用a表示出b，再根据顶点坐标和第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列不等式组求解即可．

【解答】解：∵抛物线y＝ax+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3）， ∴

，

2

2

所以，a﹣b＝3，

b＝a﹣3，

∵顶点在第四象限，

∴，

即﹣＞0①，

＜0②，

解不等式①得，a＜3， 不等式②整理得，（a+3）＞0， 所以，a≠﹣3，

所以，a的取值范围是0＜a＜3． 故答案为：0＜a＜3．

15．直角三角形两直角边的长分别为x，y，它的面积为3，则y与x之间的函数关系式为 y＝ ．

2

【分析】根据直角三角形的面积公式可得xy＝3，据此可得． 【解答】解：根据题意知xy＝3， 则xy＝6， ∴y＝， 故答案为：y＝．

16．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为 ﹣6 ．

【分析】求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在x轴上方，然后判断点P所在抛物线的位置，求出抛物线的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解． 【解答】解：∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣5）（0≤x≤5）， ∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（5，0）， ∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3； …

如此进行下去，

由2018÷5＝403…3可知抛物线C404在x轴下方， ∴抛物线C404的解析式为y＝（x﹣2015）（x﹣2020）， ∵P（2018，m）在第404段抛物线C404上， ∴m＝（2018﹣2015）（2018﹣2020）＝﹣6． 故答案为﹣6．

三．解答题（共9小题）

17．计算：2cos30°+sin45°﹣tan60°

【分析】先把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝＝＝

．

． ，

，

故答案为：

18．如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD＝2，DB＝3，AE＝4，求AC的长．

【分析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴

，即

，

解得：EC＝6，

∴AC＝AE+EC＝4+6＝10； 19．解下列方程：

（1）3x（x+3）＝2（x+3） （2）2x﹣6x﹣3＝0

【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案． （2）根据公式法即可求出答案．

【解答】解：（1）∵3x（x+3）＝2（x+3）， ∴（x+3）（3x﹣2）＝0，

2

∴x＝﹣3或x＝． （2）∵2x﹣6x﹣3＝0， ∴a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3， ∴△＝36+24＝60， ∴x＝

＝

．

2

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与双曲线y＝的一个交点为P（m，2）． （1）求k的值；

（2）M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a＞b时，n的取值范围．

【分析】（1）将点P坐标代入两个解析式可求m，k的值； （2）根据反比例函数图象性质可求解．

【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与双曲线y＝的一个交点为P（m，2）．

∴

∴m＝1，k＝2 （2）∵k＝2，

∴双曲线每个分支上y随x的增大而减小， 当N在第一象限时， ∵a＞b ∴n＞2

当N在第三象限时， ∴n＜0

综上所述：n＞2或n＜0

21．已知关于x的一元二次方程（m﹣m）x﹣2mx+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围；

（2）若m为整数且m＜3，a是方程的一个根，求代数式2a﹣3a﹣

2

22

+2的值．

【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可； （2）先利用m的范围确定整数m的值得到2a＝4a﹣1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【解答】解：（1）由题意有：解得m＞0且m≠1； （2）∵m＞0且m≠1， 而m为小于3的整数， ∴m＝2，

当m＝2时，方程化为2x﹣4x+1＝0， ∵a是方程的一个根， ∴2a﹣4a+1＝0， 即2a＝4a﹣1， ∴原式＝4a﹣1﹣3a﹣＝a﹣1﹣a+2 ＝1．

22．如图，已知△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°； （1）请说明∠EAB＝∠FAC的理由；

（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换； （3）求∠AMB的度数．

+2

22

2

2

，

【分析】（1）先利用已知条件∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，利用SAS可证△ABC≌△AEF，那么就有∠C＝∠F，∠BAC＝∠EAF，那么∠BAC﹣∠PAF＝∠EAF﹣∠PAF，即有∠BAE＝∠CAF＝25°； （2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；

（3）由（1）知∠C＝∠F＝57°，∠BAE＝∠CAF＝25°，而∠AMB是△ACM的外角，根据三角形外角的性质可求∠AMB．

【解答】解：（1）∵∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF， ∴△ABC≌△AEF，

∴∠C＝∠F，∠BAC＝∠EAF， ∴∠BAC﹣∠PAF＝∠EAF﹣∠PAF， ∴∠BAE＝∠CAF＝25°；

（2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；

（3）由（1）知∠C＝∠F＝57°，∠BAE＝∠CAF＝25°， ∴∠AMB＝∠C+∠CAF＝57°+25°＝82°．

23．如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，已知

AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm．

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）确定自变量x的取值范围是 0≤x＜4 ；

（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表： x/cm

2

2

0 0.5 3.7

1

1.5 3.9

2

2.5 3.8

3 3.3

3.5 2.0

… …

y/cm 4.0

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为 0或2 cm．

【分析】（1）利用点E在线段AB上，即可得出结论； （2）先判断出△ADE∽△BEF，得出

，进而表示出BF＝

，再取x＝1和x＝2求出y的即可；

（3）利用画函数图象的方法即可得出结论； （4）由图象可知，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点E在AB上， ∴0≤x＜4， 故答案为：0≤x＜4；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝4，∠A＝∠B＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∵EF⊥DE，

∴∠AED+∠BEF＝90°， ∴∠ADE＝∠BEF， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE∽△BEF， ∴

，

∵AE＝x，

∴BE＝AB﹣AE＝4﹣x， ∴∴BF＝

，

，

当x＝1时，BF＝， ∴CF＝BC﹣BF＝2﹣＝，

y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△CDF＝8﹣×2×1﹣×3×﹣×4×＝3.75≈3.8，

当x＝2时，BF＝2，

∴CF＝BC﹣BF＝0，此时，点F和点C重合，

y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF＝8﹣×2×2﹣×2×2＝4.0

故答案为：3.8，4.0

（3）描点，连线，画出如图所示的图象，

（4）由图象可知，当x＝0或2时，△DEF面积最大， 即：当△DEF面积最大时，AE＝0或2， 故答案为0，2．

24．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．

（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；

（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，

AF之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）首先证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠BAC＝∠DAC＝45°，推出∠FAC＝∠EAC＝135°，再证明△ACF≌△ACE（ASA）即可解决问题； （2）由△ACF∽△AEC，推出

＝

，可得AC＝AE•AF，求出AC即可解决问题；

2

【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，

∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°， ∴∠FAC＝∠EAC＝135°， ∵∠FCA＝∠ECA， ∴△ACF≌△ACE（ASA）， ∴AE＝AF．

（2）证明：作CG⊥AB于G． ∵BC＝2，∠B＝30°， ∴CG＝BC＝1， ∵AG＝AC＝1， ∴AC＝

，

∵∠FAC＝∠EAC＝135°， ∴∠ACF+∠F＝45°， ∵∠ACF+∠ACE＝45°， ∴∠F＝∠ACE， ∴△ACF∽△AEC， ∴

2

＝，

∴AC＝AE•AF， ∴AE•AF＝2．

25．把函数C1：y＝ax﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称

2

C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．

（1）填空：t的值为 2m﹣1 （用含m的代数式表示）

（2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式； （3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

【分析】（1）C1：y＝ax﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）﹣4a，顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m﹣1，4a），即可求解； （2）分

2

2

t＜1、1≤t、t三种情况，分别求解；

（3）分a＞0、a＜0两种情况，分别求解．

【解答】解：（1）C1：y＝ax﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）﹣4a，

顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m﹣1，4a），

2

2

C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1， t＝2m﹣1，

故答案为：2m﹣1； （2）a＝﹣1时，

2

C1：y＝﹣（x﹣1）+4，

①当

2

t＜1时，

，

2

x＝时，有最小值y2＝

x＝t时，有最大值y1＝﹣（t﹣1）+4，

则y1﹣y2＝﹣（t﹣1）+4﹣②1≤t时，

2

＝1，无解；

x＝1时，有最大值y1＝4，

x＝时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）+4， y1﹣y2＝≠1（舍去）；

③当t时，

2

x＝1时，有最大值y1＝4，

x＝t时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）+4， y1﹣y2＝（t﹣1）＝1，

解得：t＝0或2（舍去0），

2

2

故C2：y＝（x﹣2）﹣4＝x﹣4x； （3）m＝0，

22

C2：y＝﹣a（x+1）+4a，

点A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0）， 当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，

2

当C2过点A′时，y＝﹣a（0+1）+4a＝1，解得：a＝， 当C2过点D′时，同理可得：a＝1， 故：0＜a当a＜0时，

当C2过点D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣， 故：a≤﹣； 综上，故：0＜a

或a≥1或a≤﹣． 或a≥1；

2