完整讲义

余弦函数的图像和性质；掌握两角和与两角差的正弦、引入 三角函数部分我们应学会正、

余弦、正切公式；以及二倍角的正弦、余弦、正切公式；进而推出降幂公式。

诱导公式

将角除以2取其余数，将此余数改写成k2kZ的形式：

①“奇变偶不变”，k的奇偶，变的是函数名；

函数名

②“符号看象限”，认为是锐角，判断原函数在此象限内的正负。 练习：

sin ； cos ；

sin ； cos ；

sin ；cos ； 22 sin练习:

化简sin600的值是 ；

 ；cos ； 22cos(2009)的值为 。

由此又能得到什么结论？

结论 互补的两个角，正弦值相等；余弦值互为相反数；

互余的两个角，函数值相等函数名“相反”。

两角和、差公式及二倍角公式

两角和、差公式：

sin()sincoscossin； cos()coscossinsin；

1

tan()练习：

tantan。

1tantan已知sinx二倍角公式

1，sin(xy)1，则sin(2yx) 。 3：（即令）

sin2

cos2





tan2

降幂公式：（即降幂倍角）

sincos

sin2 cos2

讲解 上述公式的作用：将函数化成同一个角的一个三角函数。

练习：

设cos(xy)sinxsin(xy)cosx12y，且y是第四象限角，则tan的值是 。 132同样作用的还有辅助角公式：asinbcos即同一个角的正余弦的相加减。

asinbcos

a2b2(aab22sinbaba22cos)

bab22其中，两系数的平方和为1，则令

ab上式22cossin

a2b2(cossinsincos)

a2b2sin()

2

若令

aab22sinbab22cos

上式a2b2(sinsincoscos)

a2b2cos()

注：其中a、b不论正负。 练习：

函数y3sincos； y3sincos； ysincos； ysincos

例题讲解 求函数ysin4x2向量的数量积：

若(x1,y1)，(x2,y2)

3sinxcosxcos4x的最小正周期和最值。

①若，则x1x2y1y2（向量的数量积）； ②若∥,则，即x1y2x2y1。

三角函数的图像及性质

设问 画出正、余弦函数的图像，并回答下列问题：

①正、余弦函数的图像中的对称轴、对称中心的位置和集合表示及其周期； ②正、余弦函数的单调区间。

讲解

ysinx

y322o232x

3

对称轴：穿过“最值”垂直于x轴，x2k，kZ，周期为；

对称中心：“零点”， k,0，kZ，周期为； 单调区间 增 2k,2k

2232k,2k

22 减 x（略） ycos设问（1）对比陈述函数yAsin(x)和函数yAcos(x)的性质，即对称轴、

对称中心、单调区间。

，其中“整”指括号中的部分，“零”指自变量x。 讲解 战术“化整为零”

即 令括号中的部分等于上述的相应集合，进而求出自变量x。 函数yAsin(x)的性质： ①对称轴:令x=

2k ，求出x即可（A的正负不影响）

②对称中心：令x=k ，求出x即可（A的正负不影响） ③单调性（前提：A>0） 增 令x= 减 令x=

22k求出x1，x=

22k求出x2，即x1,x2；

22k求出x1，x=

32k求出x2，即x1,x2。 2 当A<0时，上述所求相反。

例题讲解

求函数ysin(32x)的单调递减区间、对称中心、对称轴？

x)如何由正、余弦函数平移伸设问陈述函数yAsin(x)和函数yAcos(缩可得？

讲解

4

ysinxysinx横坐标向（左 加右减） 平移 ysin(x)横坐标缩短（   1 ）或

0  伸长 （  1 ）为原来的

1横坐标 向（左 加右减） 平移 纵坐

标不变

ysin(x横坐标缩短（  1 ）或 伸长（ 0    1 ）为原来 的

1横坐标不变，纵坐标扩大（或缩小）A倍

yAsin(x)

其中，两种方法不可混用 练习：

要得到函数y2sin2x的图像，只需要将函数y3sin2xcos2x的图像（ ） A、向右平移

个单位 B、向右平移个单位

126C、向左平移个单位 D、向左平移个单位

126

（2）计算最值，（首先将函数化成一个角的函数）战术“化零为整”， 其中“整”指括

号中的部分，“零”指自变量x。即已知x的范围，求出括号中的部分的范围，画出“标准”图像（正弦函数、余弦函数），标出括号的范围，取出曲线即可。 练习： 函数y2sin(3x)cos(6x)(xR)的最小值等于 （ ）

A、-3 B、-2 C、-1 D、5

例题讲解

已知函数yAsin(x)xR,A0,2，若该函数图象一个最高点坐标为

,3，与其相邻的对称中心的坐标为,0。

126

（1）求函数yAsin(x)的解析式；

5

（2）求函数的最小值，并写出函数取得最小值是自变量x的集合； （3）向左平行x0个单位得到一个偶函数，求x0的最小值。

小结：

本节课复习、归纳了三角函数的求值和化简两方面的主要内容： ① 求值部分要弄清相关论述及使用；

② 化简部分主要是对三角函数性质的考察和应用，注意图形结合。

作业：

① 练习题 ② 看书，复习 ③ 思考题（选做）

求函数ycos2xcosx2的最值

三角函数（二）

复习（1） 默写两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；以及二倍角的正弦、余弦、

正切公式；进而推出降幂公式；

（2）画出正、余弦函数的图像，并回答下列问题：

①正、余弦函数的图像中的对称轴、对称中心的位置和集合表示及其周期； ②正、余弦函数的单调区间。

不能化成一个角的一个三角函数

即函数解析式中同时出现一个角的一次函数、二次函数或二倍角时，函数不能化成一个角的一个三角函数。 做法：

① 以一次函数为基础，化简其他部分，最终化成关于一次函数的二次函数； ② 令一次函数为中间变量，注意中间变量的范围。

例题讲解

（1）求函数ycosxcosx2的最值

2 6

（2）求函数y3-cosx-sin2x的最大值和最小值

高考真题精讲

正弦定理和余弦定理

正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc2RABC的外接圆半径（四颗心） sinAsinBsinC结论：a2RsinA, b2RsinB，c2RsinC作用：实现边角互换

：sin：BsinC a：b：csinA

缺点：解角时可能会出现两个角，利用大边对大角来判断（若2bac，b是a、c的等差中项，算术平均值；若bac，b是a、c的等比中项，几何平均值）

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即

2a2b2c22bccosA

b2c2a2cosA

2bc作用：

① 三边一角，知三求一； ② 判断三角形的形状。 隐含条件： ①ABC

则其中任意一个内角与剩余两角之和互补。则 互补的两个角，正弦值相等；余弦值互为相反数。 ②

ABC 2222则其中任意一个内角的一半与剩余两角之和的一半互余。则 互余的两个角，函数值相等，函数名相反。 作用：实现等式关系中的三角化成两个角。 练习：

7

1、在ABC中，若C90，a6，B30,则c-b等于 。

2、若A为ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A、sinA B、cosA C、tanA D、

1 tanA3、在RtABC中，C90，则sinAsinB的最大值是 。

4、在Δ ABC中，已知a = 80，b =100， 0 ∠A = 45 ，试判断此三角形的解的情况。 5、在Δ ABC中，若a =1，c =

1。

，∠C = 40 ，则符合题意的b 的值有_____个。 2 0

6、在Δ ABC 中，a = xcm ，b = 2cm ，∠B = 45 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

7、已知Δ ABC 满足条件a cosA =b cosB ，判断Δ ABC 的类型。 三角形的面积公式： 在ABC中，S练习：

1、在Δ ABC中，若a = 55，b =16，且此三角形的面积S =2203，求角C

1absinC. 2a2b2c22、在Δ ABC 中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S，求角C

4[课堂小结]

（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。 作业：

（1）在Δ ABC中，已知b = 4，c =10， B = 30 ，试判断此三角形的解的情况。 （2）设x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。 （3）在Δ ABC 中， A = 60 ，a =1，b +c = 2，判断Δ ABC 的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x − 7x − 6 = 0的根， 求这个三角形的面积。

2

0

。

8

应用举例

1、 △ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA2cos并求出这个最大值。

2、 已知△ABC中，B45，AC10，cosC（1） 求BC边的长；

（2） 记AB的中点为D，求中线CD的长。

3、 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC37。 （1） 求cosC； （2） 若CBCA

9

BC取得最大值，225。 55，且ab9，求c。 2

4、 已知△ABC三个顶点的直角坐标分别为A（3,4）、B（0,0）、C（c，0）。 （1） 若ABAC0，求c的值； （2） 若c=5，求sinA的值。

5、 设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB3，bsinA4， （1） 求边长a；

（2） 若△ABC的面积S=10，求△ABC的周长。

6 △ABC中，D为边BC上的一点，BD=33,sinB

53 ,cosADC.求AD. 135 10