人教版初三数学：垂径定理—巩固练习(提高)

垂径定理—巩固练习（提高）

【巩固练习】 一、选择题

1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D， 下列结论： ①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③ACBC；④ADBD；⑤CD⊥AB． 其中正确的有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下面四个命题中正确的是( )．

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心

D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

C O A D B 3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=22，BD=3，则AB的长为（ ）

A．2 B.3 C.4 D.5

第3题 第5题 第6题

4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是2、3，则∠BAC的度数为( )．

A．15° B．45° C．75° D．15°或75°

5.（2015•河东区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则

的度数为（ ）

A．25° B． 30° C． 50° D． 65°

6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（ ）．

A．3cm B．4cm C．8cm D．6cm 二、填空题

7．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______． 8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．

7题图 8题图 9题图

9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm． 10．（2015•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．

11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为 ．

A E

P

O B F (第12题)

12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，

PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= . 三、解答题

13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，OE∶OC3∶5，求弦AB和AC的长．

14．如图所示，C为ACB的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，

且CE：BE=3：2，求弦AB的长．

15．如图所示，已知O是∠MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.

⑴求证：PB=PD.

⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.

16.（2015•杭州模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED． （1）求证：AB=CD；

（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．

AEDCOB

【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D．

【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的. 2．【答案】D．

【解析】根据垂径定理及其推论来判断. 3．【答案】B． 【解析】由垂径定理得HD=2，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，

则R222R1，由此得R=

23， 2 所以AB=3.故选 B. 4.【答案】D．

【解析】分弦AB、AC在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】C；

【解析】连接CD，

∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°， ∴∠ABC=90°﹣25°=65°， ∵BC=CD，

∴∠CDB=∠ABC=65°，

∴∠BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，

∴

=50°．故选C．

6．【答案】D．

【解析】E、F两点到直线AB的距离之和为圆心O到AB距离的2倍. 二、填空题 7．【答案】2． 8．【答案】13. 9．【答案】13. 10．【答案】42 ．

【解析】解：连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CE=DE=CD=4cm，

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA=22.5°， ∵∠COE为△AOC的外角， ∴∠COE=45°，

∴△COE为等腰直角三角形， ∴OC=CE=4cm， 故答案为：4

11．【答案】23cm.

【解析】连接OC,易求CF=3. CD=23cm. 12.【答案】5.

【解析】易证EF是△APB的中位线，EF=

三、解答题

13.【答案与解析】

连结OA，

∵CD=15，OE∶OC3∶5， ∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，

∴

1AB5. 2AEOA2OE27.524.526AB2AE12，ACAECE63352222

14.【答案与解析】

因为C为ACB的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，所以 CD⊥AB. 由BC=10cm，且CE：BE=3：2，得CE=6cm，BE=4cm，

222ab10设BPa,CPb,则2解得a210，AB2a410cm. 222a4b615.【答案与解析】

（1）证明：过O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F.

∵ PO平分∠MPN ∴ OE=OF，PE=PF

∴ AB=CD，BE=DF ∴ PE+BE=PF+DF ∴ PB=PD

（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.

A A E E P O P O F F C C PA=PC PA=PC

16.【答案与解析】 解：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，

ANDOECMB图1

∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD， ∴OM=ON， ∴AB=CD；

（2）如图2所示，

ANDOECMB

由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD， ∴DN=CN=AM=BM，

在Rt△EON与Rt△EOM中， ∵

，

图2∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL）， ∴NE=ME，

∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME， 即AE=CE，

∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE， ∵∠BED=60°，OE平分∠BED， ∴∠NEO=

BED=30°，

∴ON=OE=1，

在Rt△EON中，由勾股定理得： NE=

∴DE﹣AE=2NE=2

=

， ．

附录资料：

《相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）

【巩固练习】 一、选择题

1．（2015•乐山）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知则

的值为（ ）

，

A．

B．

C．

D．

2. （2016•奉贤区一模）用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（ ） A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍 B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍 C．△ABC放大后，周长是原来的4倍 D．△ABC放大后，面积是原来的16倍

3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )

4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（ ）

A． B． C． D．

5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( )

A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点 D．BP：BC=2：3 7. 如图，在△ABC中，EF∥BC，AE1,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ） EB2

A．9 B．10 C．12 D．13

8.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ）

A．∠E=2∠K B．BC=2HI

C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL

二、填空题 9. （2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为 ． 10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.

11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.

12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在 面上的影长为40米，则古塔高为________.

13. （2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是 ．

14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________. 15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为_________.

第14题 第15题

16. －油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为 . 三、解答题

17. 如图，等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线上有点E、F，且∠E+∠F=45°，AE=3，设AB=x，BF=y，求y关于x的函数解析式.

18.（2015•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA；

（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

19. 如图，圆中两弦AB、CD相交于M，且AC=CM=MD，MB=AM=1，求此圆的直径的长.

20. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么:

(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论； (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】D.

【解析】∵l1∥l2∥l3，

∴

=

=

，

=，故选：D．

2.【答案】A.

【解析】∵放大前后的三角形相似，

∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍， 则A错误，符合题意． 3．【答案】A

【解析】考点：相似三角形的判定. 4．【答案】D. 5．【答案】B.

【解析】提示：①③. 6．【答案】C. 7.【答案】A. 【解析】 求出S1AE的值，推出△AEF∽△ABC，得出△AEF，把S四边形BCFE=8代入求出即可． S△ABC9AB8.【答案】B.

【解析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．

二．填空题

9.【答案】5：4．

【解析】∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16， ∴△ABC与△DEF的相似比为5：4； ∴△ABC与△DEF的周长之比为5：4． 10．【答案】2，1:4，1:6. 11．【答案】1:3 . 【解析】∵S△AOD:S△COB=1:9， ∴S△DOC:S△BOC=1:3. 12．【答案】30m. 13．【答案】5. 【解析】∵l3∥l6，

∴BC∥EF，

∴△ABC∽△AEF，

∴

=，

，∵△AOD与△DOC等高，∴S△AOD:S△DOC=1:3，

∵BC=2， ∴EF=5．

14．【答案】68°，1:2.

【解析】首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果. 15.【答案】10.

【解析】∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴16.【答案】0.m.

【解析】将实际问题转化为几何问题是解题的关键，即由题意可得Rt△ABC，其中AB=1m，AC=0.8m，

BD=0.8m，DE//BC，将问题转化为求CE的长，由平行线分线段成比例定理计算即得.

三. 解答题 17．【解析】解：△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=∠CBA=45°，∠E+∠F=45°， ∠E+∠ECA=∠CAB=45°，∠F+∠BCF=∠CBA=45°， 所以∠ECA=∠F，∠E=∠BCF， 所以△ECA∽△CFB，

，3y=CA=

2

AEDE，DE=10. ABCBx，即y=

2

x.

2

18.【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA；

（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，

∴AM==13，AD=12，

∵F是AM的中点， ∴AF=AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴即

， ，

∴AE=16.9，

∴DE=AE﹣AD=4.9．

19．【解析】连结BD，由∠CAM=∠BDM，∠AMC=∠DMB，△ACM∽△DBM， 又DM=CM，CM2=AM·BM=2，CM=DM= 又AC+CM=AM，所以∠ACD=90°， 所以圆的直径为AD=

=

.

2

2

2

，

，AC=.

20.【解析】(1)对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t，

当QA=AP时，△QAP•是等腰直角三角形，即6-t=2t，t=2秒.

2

(2) 四边形QAPC的面积=S△QAC+S△APC =(36-6t)+6t=36cm， 在P、Q两点移动的过程中，

四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变) (3)分两种情况: ①当 ②当

时△QAP∽△ABC，则时△PAQ∽△ABC，则

，从而t=1.2， ，从而t=3.