２０１１年高考广东数学（理科）模拟试题 ■刘会金陈兴旺 本卷分选择题和非选择题两部分，满分１５Ｏ分． 考试用时间１２Ｏ分钟． ②若Ｏｔ外一条直线ｚ与Ｏｔ内一条直线平行，则ｌ／Ｉｏｔ； （ ＞设 ｎｆｌ＝ｌ，若 内有一条直线垂直于ｌ， ｊ＿卢； ＠直线ｌ＿ｌ＿ｏｌ的充要条件是Ｚ与Ｏｔ内的两条直线垂直． 上面的命题中，真命题的序号是（ ） 第一部分选择题（共４０分） 一、选择题：本大题共１０小题，每小题５分， Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④ 满分５Ｏ分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 ８．定义一种运算Ｓ＝ａ￣ｂ，运算原理如下框图所 示，则式子ｃｏｓ４５。Ｏｓｉｎｌ５。＋ｓｉｎ４５。⑧ｃｏｓｌ５。的值为 Ｉ．已知集合Ａ＝卜１，０，Ⅱ｝，Ｂ－－－｛ｘ ｌ０＜ｘ＜ｌ Ｊ，若Ａｎ 日≠Ｄ，则实数ａ的取值范围是（ Ａ．（一 ，０） Ｂ．（０，１） ） Ｄ．（１，＋＊） Ａ． Ｃ．｛１｝２．若（１＋２ａ／）ｉ＝ｌ—ｂｉ，其中０、ｂ∈Ｒ，ｉ是虚数单 ｝ ｃ． 位，则ｌａ＋ｂｉ ｌ＝（ Ａ． ） Ｃ． ２ …Ｄ ５ Ｂ．Ｖ ３．已知ｆ％｝是等差数列，ａｌｏ＝１０，其前１Ｏ项和Ｓ－ ７０，则其公差ｄ：（ Ａ．一 ２ Ｂ．） ｃ． ９．已知双 一丁１ １ Ｄ－３ 曲线薯一Ⅱ ‘鲁０＝ １ （ａ＞０，ｂ＞０）与抛 物线 ＝８ｘ有一 第８题图 ４．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个 正三棱柱的表面积为（ Ａ．１８、／丁 ） Ｂ．１５Ｖ丁 个公共的焦点，，且两曲线的一个交点为Ｐ，若ＩＰＦ Ｊ ＝Ｃ．２４＋８、／ Ｄ．２４＋１６ ５，则双曲线的渐近线方程为（ ） 工正视图 ——２ 侧视图 Ａ． ±、／丁ｙ＝０ Ｃ．ｘ￣２ｙ＝０ Ｂ．、／丁 ±ｙ＝０ Ｄ．２ｘ￣ｙ＝０ １０．已知凸函数的性质定理：“若函数ｆ（ｘ）在区间 Ｄ上是凸函数，则对于区问Ｄ内的任意 ：，… ， 有：Ｌ［ｆ（ｘ ） ， ）＋．．・ｆ（ｘ ）】 ， ）”苦函 俯视图 数ｙ＝ｓｉｎｘ在区间（０，７ｒ）上是凸函数，则在＆ＡＢＣ中， ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ的最大值是（ ） ５．已知条件Ｐ：ｌ —ｌ『＞２，条件ｑ：ｘ＜ａ，且 是 的充分不必要条件，则。的取值范围是（ ） Ａ．（一∞，一１）Ｂ．（一。。，－１］Ｃ．（３，＋∞）Ｄ．［３，＋ｏｅ） Ａ Ｂ号ｃ． Ｄ． ６．已知函数ｇ（ ）＝２ ，且有ｇ（ｎ （６）＝２，若ａ＞０且 ｂ＞０，则 的最大值为（ ４ ～ 第二部分非选择题（共１００分） 二、填空题：（本大题共６小题，其中１１—１４ 题为必做题．１５、１６题为选做题，任选一题完成．每 ） Ｄ．４ ７．设Ｏｌ和 是两个不重合的平面，给出下列命题： ①若ＯＬ内两条相交直线分别平行于 内的两条 直线，则ｄ ； 小题５分，共３Ｏ分，将正确答案填在答卷相应的位 置上） （一）必做题：９－１３题是必做题，每道试题考生 ３９ 都必须作答． Ｂ有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠 ＾ １ １１．已知向量ａ－－（１，２），ｂ＝（Ｘ￣－４）若ａ／／ｂ，则Ⅱ・６等 于． ——服用Ａ有效的概率为争，服用Ｂ有效的概率为下１． 二 ｆ Ｉ）求一个试验组为甲类组的概率； （１Ｉ）观察３个试验组，用ｆ表示这３个试验组 ． １２．若ＡＡＢＣ的对边分别为０、ｂ、ｃ且ａ＝ｌ， Ｂ＝４５。 ｓ△＾Ｂｃ＝２，则６＝ 中甲类组的个数，求 的分布列和数学期望． ２０．（本小题满分１２分） １３．若（ 一 ＝ａｏ＋ａｌｘ＋ａ￣ ＋…＋ａｓＸ ，且ａ￣＝５６，贝４ ｃ ０ｌ＋啦＋…＋￡ ——・ 已知定点Ｅ（一１，０）， １，ｏ），动点Ａ满足Ｉ Ｅ ４，线 （ ）的 段ＡＦ的垂直平分线交Ａ 方程； Ｙ （１）求点 的轨迹Ｃ ）Ｙ １４．已知正实数ｘ，ｙ满足ｘｙ＝ｌ，则（ 最小值为 ．． （二）选做题：第１４、１５题是选做题。考生只 （２）抛物线Ｃ２：ｙ２＝４ｘ 选做一题。两题全答的，只计算第１４题的得分． 与Ｃ 在第一象限交于点 Ｐ，直线ＰＦ交抛物线于另 一１５．（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极 坐标方程为ｐｓｊｎ（ ＋ ）＝ ２。，／。 Ｆ 个点Ｑ，求抛物线的 则点Ａ（２，手）到这条 册ｐ弧上的点 到直线 直线的距离为 ． ＝２． 尸９的距离的最大值． ２１．（本题满分ｌ３分） 设数列 ｊ是首项为ａｌ ＞０），公差为２的等差数 １６．（几何证明选讲选做题） 如图：已知ＰＡ是圆 ０的切线，切点为Ａ， Ａ Ｃ是圆０的直径，ＰＣ与圆０ 列，其前ｎ项和为 ，且、／Ｓ ，、／ｓ：，、／Ｓ，成等差数列． （Ｉ）求数列｛Ⅱ『Ｌｊ的通项公式； 交于点Ｂ，ＰＢ＝Ｉ，则圆０的半径 ： ． （Ⅱ）记ｂｏ＝ 的前ｎ项和为 ，求 ． 二 第１６题图 ２２．（本题满分１４分） 已知三次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ ＋６ ２＋ｃ ６，ｃ∈Ｒ）． 三、解答题：本大题共６小题，共７５分．解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． （Ｉ）若函数＿厂（ ）过点（一ｌ，２）且在点（１ （１）） 处的切线方程为ｙ＋２＝Ｏ，求函数／（ ）的解析式； １７．（本小题满分１２分） 已知ｏＡ ＝（１￣ｓｉＩ１Ｘ一１），０ ＝（ｓｉｎｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）， （ＩＩ）在（Ｉ）的条件下，若对于区间【－３，２Ｊ上 任意两个自变量的值ｘｉ，ｘ：都有 （ ） （ ）ｌ≤￡，求实 数的最小值； （ＨＩ）当一１≤ ≤１时，ｆ （ ）≤１，试求。的最大 值，并求 取得最大值时＿厂（ ）的表达式． ，（ ）＝ ・ ． ｅＲ） 求：（１）函数 ）的最大值和最小正周期； （２）函数Ａｘ）的单调递增区间． １８．（本小题１２分）如图 ３，已知在侧棱垂直于底面的 三棱柱Ａ曰Ｃ＿Ａ。日ｌ ｃ１中，ＡＣ＝ Ａ ＢＣ，ＡＣ＿ＬＢＣ，点Ｄ是Ａｌ 。中点． ２０１ １年高考广东数学（理科）仿真试题 参 一（１）求证：平面ＡＣ Ｄ上 平面 ＢＢ ； 、选择题：本大题共１０小题，每小题５分， 共５Ｏ分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 （２）若ＡＣ 与平面Ａ１ＡＢＢ－ 所成角的正弦值为 弦值． ＿求二面角Ｄ－ＡＣ。）－Ａ 的余 ，ｌ ２ ３ Ｉ ４ Ｉ ５ ｌ ６ ｌ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｃ Ｄ｝Ｃ ｉ Ｂ ｆ Ｂ｛Ａ Ｂ Ｂ Ｃ 二、填空题（每小题５分，共２５分，１５、１６ 题为选做题） １９．（本小题ｌ２分） Ａ、Ｂ是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验 组进行对比试验．每个试验组由４只小白鼠组成，其 中２只服用Ａ，另２只服用 ，然后观察疗效．若在 一１１．一１０．１２．５Ｉｌ３．２８；ｌ４．４．１５．孚；１６． ． 三、解答题 个试验组中，服用Ａ有效的小白鼠的只数比服用 鬻串２０ 冬雾８赣 １７．（本小题满分ｌ２分） １９．【１）议Ａ 衣不争仟“一／ｒ试验组甲，服片ｊ Ａ 解：（１）厂（ ）＝ ・－ＯＹ＝ｓｉｎｘ＋ｓｉ ＣＯＳＸ＋ｓｉｎ 一ｓｉｍ …………有效的小鼠有ｉ只”，ｉ＝０，１，２， ２分 ４分 Ｂ 表示事件“一个试验组中，服用Ｂ有效的小 鼠有ｉ只”，ｉ＝０，１，２， …………………２分 ： ＾ ｓｉ…一 ｎ（２ ・） ＋ ．． ＝ 丌＋ 【 ｚ）时 ）取得最大值 ・・………・一， ６分 依题意有：ｅ（Ａ ）＝２× １× ２＝号一， ２）＝３２×Ｉ｝＝ ． Ｐ（Ｂ。）＝ １一×争＝ １，Ｐ（Ｂ・）＝２×争× １＝ １，…．．４分 所求概率为：尸：Ｐ（Ｂ。・Ａ。）＋Ｐ（Ｂ０￣Ａ ）＋Ｐ 。・Ａ ２） ＝最小正周期为７ｒ． ・－………．８分 （２）当２ｋｚ－一手≤ 一 －ｆ ＜￣２ｋ－ｎ－＋等， ∈ｚ…１０分 ｝×争＋｝× ＋争×争＝ ４．………………６ ｉ＋ ）＝（ ） ＝ ， 即 一 ≤ ￣＜ｋ－ｔｒ 誓一， ｅｚ时函数为增函数， ． ………．（Ⅱ） 的可能值为ｏ，１，２，３且 ～Ｂ（３， ）． Ｐ １１分 －．．原函数的递增区间是【 ７ｒ一 ７／＂， ７ｒ 孚］ ｚ）． 一………・Ｐ ） ×争×（手） ， 尸 ＝２）＝ｃ ２×（ ） × ５＝ Ｐ ：３）＝（ ４＝ ．１２分 １８．（１）据题意Ａ。Ｃ， Ｃ。， 且Ｄ为Ａ Ｂ 中点，．・． Ｃ，Ｄ上４ 日 ，又ＢＢ 上面Ａ，Ｂ，Ｃ ， Ｃ Ｄ Ｃ面Ａ。Ｂ。Ｃ，，．‘． ＢＢ．上ＣＩ，），．’．Ｃ】Ｄｊ一面Ａ ＢＢ１． …………， …………．１０分 ２分 义ＧｌＤ面ＡＣ１Ｄ， ‘．．的分布列为 Ｏ １ ２ ３ 面 Ｃ Ｄ上平面 Ａ Ｐ Ａ ｌＡＢＢ卜１…………・＿４分 （２）南（１）知Ｃ Ｄ ｊ－ 面ＡＩＡＢＢｌ， ・．． １２５ ７２９ ｌＯ０ ２４３ ８０ ２４３ ６４ ７２９ Ｃ ＡＤ为ＡＣ 与平 数学期望： ＝３×争＝争．……………………１２分 ２０．（１）依题意有ｌＭＥ ｌ＋ｌ ｌ＝ＪＭＥ ｊ＋ｌＭＡ ｌ＝ ＡＥ ｌ－４＞ＩＥＦ ｆ：２， ・．．面４ ＢＢ 所成的角．…６分 设Ａ Ｃ＝ＣＢ＝Ｉ，ＡＡ ，则 Ａ Ｃｊ＝Ｖ，１ ｒ，ｃ Ｄ＝ 一， 点 的轨迹是以Ｅ．Ｆ为焦点的椭圆．……３分 ２ａ＝４，２ｃ＝２，．・． ２，６＝、／ ， ・．‘． ＿ ２ｌｃ４ ＣＩＤ ２ 瑚．……＿・８分 故所求点Ｍ的轨迹方程是莩＋４ ’ ＝１ ．……・６分 ｆｙＺ＝４ｘ， Ｊ‘Ｙ 又因为ＡＣ、ＣＢ、ＣＣ。两两互相垂直，所以可建 立如图所示的坐标系： 取面Ａ ＧＡ的法向量为 ＝ ＝（０，１，０），设面ＡＤＣ。 的法向量为 ＝ ， ），又ｃ，（０，０，２） （１，０，０），Ｄ（ ， １一＿立方程 手：ｌ ＝＝》３ ＋１６ 一１２＝０． ‘ ／ Ｅ Ｆ 冈’ ，２）， 解得 ： 或 一解得 ＝ 或 一６６（舍 去）． ．．ＧＡ＝（１，０，一２）， ＝【｝， １ ０），１一２２・ ＝０，．‘一２ｚ＝Ｏ． ＝０，取 ：１，则脚 一２，．－ａ—ｚ２＝￣２，１）． ，一一ｎ２・ 将 ＝争代入抛物线方程得 ＝—２，了／６，… ・．…（ ，ｎ一２） 街一音一｝・……¨分 又Ｄ在面Ａ ＡＣ。上的射影为Ａ。Ｃ．的中点，故二 面角Ｄ－ＡＣ 卅 为锐角，设为 ，所以ｃ。ｓ ＝丁２． ．点Ｐ的坐标为尸（｝，２ ）．……………８分 一・．． ２、／ ，于是可得尸 所在直线的方程为： 一＝０．………………………………９分 ２、／ ｘ＋ｙ一２ ………………．．．１２分 设尸Ｑ的平行线方程为：２Ｘ／６ｘ＋ｙ＋ｔ＝Ｏ， ４１ 由ｆ由｛ １ｊ２ ｌＸ２＋４（（ ６一、／一）ｔ）ｘ ＋ｔ２＝Ｏ． ２、／６ ｘ＋ｙ＋ｔ＝Ｏ 令△＝１６（￣ｒ６￡一 一９６ｃ２－０ 拄 ・‘２２．（本题满分１４分） 解：（Ｉ）‘．‘函数，（ ）过点（一ｌ，２） ．‘ 一１）＝一叶６－ｃＩ２， ① ………………………………．………１１分 一 又 ）＝３ ＋２ｂｘ＋ｃ，函数 ）在点（Ｉ， １））处的切线 方程为ｙ＋２＝Ｏ， ｆｆ（１）＝－２， 【ｆ（１）－０， ｆ叶６＋ｃ＝一２。 【３ａ＋２ｂ＋ｃ＝Ｏ ．Ｒ到 的最大距离即为直线２Ｘ／６ ＋ｙ＋ Ｖ ６ ２Ｘ／－６－ ：０与ＰＱ之间的距离，故所求为ｄ＝ 弋由①和（ 得ａ＝ｌ，ｂ＝Ｏ，ｃ一３，故ｆ（ｘ）￣３ｘ．……４分 （１／）由（Ｉ）厂（ｘ）＝３ｘ２－３，令ｆ （ ）＝Ｏ，解得 ＝±ｌ， ’音 ． 一…………………１３分 ． －厂（一３）＝一１８， －１）－２， １）＝－２， ２）．２， 在区间｛一３，２］上 （ ）＝２， （ｘ）＝－１８， ’２１．（本题满分１２分） 解： （Ｉ）‘．’Ｓ１＝口１，Ｓ２＝ａ】＋０２＝２ Ｊ＋２， ………２分 ．．：．．对于区间［－３，２】上任意两个自变量的值 由、／ ，、／ ，、／ 成等差数列得，２Ｖ－ｓＴ＝ －厂（ ｔ）＿厂（Ｘ２）Ｉ≤２０， ‘．．ｔ≥２０，从而ｔ的最小值为２Ｏ．……………８分 、／ 十、／ ，即２、 ＝、／Ｉ¨＋、／丽， ／ｆ （０） ， （Ⅲ）‘．‘ｆ （ ）＝３ ＋２ｂｘ＋ｅ，则 （一１）＝３ａ－２ｂ＋ｅ， 解得ａｌ：１，故ｏ￣＝２ｎ一１． …………………４分 （Ⅱ）６ 争＝ ＝（２ｎ一１）（｝） ，………５分 厂 （１）＝３ａ＋２ｂ＋ｅ， 可得６ｎ＿厂 （一１）＋厂 （１）一２厂 （０）． 法１： ＝１×（争） ＋３×（ ）２＋５×（争 … ｎ—１）Ｘ（争 ．．……………………………・① ①× １，得 ：１×（ ３×（争） ５×（争 …＋（２ｎ一 当一１≤ ≤１时，【厂 ）ｆ≤１，．・．Ｌ厂 （－１）ｆ≤１， 【厂 （０）｝≤１，Ｉｆ （１）｝≤１， ６ Ｊａ｝＝Ｉｆ （一１）七 （１）一２ｆ＇（０）ｌ≤ （一１）Ｊ＋ （１）Ｊ ・‘．・ ．＋２＿厂（０）ｌ≤４， ‘．３）×（ （２ｎ－１）×（｝ ‘………………………② ．。≤睾，故ｎ的最大值为 ． Ｊ ①一②，得 ： １＋２×（ ） ＋２×（争） －＋２×（ ） 一 』Ｌ厂 （０） Ｉ ｃ Ｉ－ｌ， 当。＝ 时，｛ｌ厂 （一１）Ｉ＝Ｉ２－２ｂ＋ｃ Ｉ＝１，解得ｂ：０， ｌ （１）ｌ：Ｉ２＋２ｂ＋ｃ Ｉ＝１， Ｃ＝－－Ｉ， ・．．（２ 一 ， 争， ｔ：２ 肄一， 一ｃ２ 一 ｃ争， ： ２ Ⅱ取得最大值时＿厂（ ）＝ Ｘ３一．……………１４分 Ｊ ２ ２＂一 一 ………………………２ ，’ １０分 （作者单位：刘会金：光明新区教育科学研究管 理中心；陈兴旺：光明新区高级中学） 责任编校徐国坚 ＿．． ３号一 ＝３一 ．…………－２分 法２： 争： … 一 ， 设 ∑— ｋ，记 ）：∑（ ，则 ）：∑ Ｉ（荟 ＝（ ｝） ＝ 一－４七十２）（ ， －４一（¨２）・ １—１＋ ：３一 等 ４２ ｌ２分 翥 童 莲蓥８赣
