初二数学各类经典难题(含答案)

简单的极端原理 1 钟面上有十二个数1，2，3，…，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n个负号，这个数n是（ ） A、4 2、 B、5 C、6 D、7 学生甲、乙、丙三人竞选学校的学生会，选举时收到有效选票1500张，统计其中1000张选票的结果是：甲350张，乙370张，丙280张，则甲在剩下的500张选票中至少再得 票，才能保证以得票最多当选该校的学生会． （a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2这四个代数3 已知a、b、c为实数．证明：式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值，也至少有一个不大于a2+b2+c2的值． 4 如果a，b，c是正实数且满足abc=1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（ ） A、 B、8 2 C、8 D、 2 5 如图，在矩形ABCD中，AE，AF三等分∠BAD，若BE=2，CF=1，则最接近矩形面积的是（ ） A、13 B、14 C、15 D、16 y 6.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2， …按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3， …和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b A2 (k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)， B2(3，2)，则Bn的坐标是_________． A1 B1 A3 B3 B2 O C1 C C3 x 7（2005•烟台）（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由． （2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米． 8 已知，如图，等边三角形ABC中，AB=4，点P为AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y． （1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合． 9（2001•苏州）如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长ycm与所挂物体质量xkg之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是（ ） A、k甲＞k乙 B、k甲=k乙 C、k甲＜k乙 D、不能确定

10 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- x + 3 交x轴于A点，交y轴于B点，点C是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C顺时针旋转30°交x轴于点D，再过D点作直线DC1∥OC，交AB与点C1，然后过C1点继续作直线D1C1∥OC，交x轴于点D1，并不断重复以上步骤，记△OCD的面积为S1，△DC1D1的面积为S2，依次类推，后面的三角形面积分别是S3，S4…，那么S1= ，若S=S1+S2+S3+…+Sn，当n无限大时，S的值无限接近于 ．

11 如图，正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），连接AE，取线段AE的中点M． 证明：FM⊥MD，且FM=MD．

3 假设（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2都小于a2+b2+c2，得出假设不成立，再假设（a+b+c）2（a+b-c）2（b+c-a）2（c+a-b）2都大于a2+b2+c2，得出命题不成立，即可得出答案． 解答：解：如果（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2都小于a2+b2+c2， 则 （a+b+c）2+（a+b-c）2+（b+c-a）2+（c+a-b）2＜4（a2+b2+c2）， ∴（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）+（a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc）+（b2+c2+a2+2bc-2ac-2ab）+（c2+a2+b2+2ac-2bc-2ab）＜4（a2+b2+c2）， 整理得：0＜0，明显不成立． 故这四个代数式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值； 同理，如果（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2都大于a2+b2+c2， 可得0＞0 也不成立， 故（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2这四个代数式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值，也至少有一个不大于a2+b2+c2的值，命题得证． （1）△ABC与△AEG面积相等． 7：理由：过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则， ∠AMC=∠ANG=90°∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， ，AB=AE，AC=AG， ∴∠BAE=∠CAG=90°， ∴∠BAC+∠EAG=180°， ∵∠EAG+∠GAN=180°∴∠BAC=∠GAN， ∴△ACM≌△AGN， ∴CM=GN， ∵S△ABC= 1/2AB•CM，S△AEG= 1/2AE•GN， ∴S△ABC=S△AEG， （2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和． ∴这条小路的面积为（a+2b）平方米． （1）PE⊥BC，EF⊥AC，FQ⊥AB， 8 证明：，设BP=x， ∠A=∠B=∠C=60°∴BE= x/2，EC=4- x/2，CF=2- x/4， AF=4-2+ x/4=2+ x/4， ∵△BEP∽△AQF， ∴ AFBP=AQBE， ∴AQ=1+ x/8， ； ∴y=1+ x/8（0＜x≤4） （2）当x+y=4，x+1+ x/8=4， ∴ 9/8 x =3， ∴x= 8/3． 故BP为 8/3时，P与Q重合． 解答： 证明：如图，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN． ∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2， ∴△AMD≌△EMN ∴DM=NM，AD=EN． ∵ABCD和CGEF是正方形， ∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°， ∠5=∠6=90°-∠NEG=∠NEF，DC=AD=NE． 又∵∠H=90°， ∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90° ∴∠DCF=∠5=∠NEF ∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF． ∴FD=FN，∠DFC=∠NEF． ∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°，即△DFN为等腰直角三角形． 又DM=MN，∴FM⊥MD，MF=MD． 点评：本题考查了正方形各边相等且各内角为直角的性质，考查了全等三角形的判定和对应边、对应角相等的性质，本题中求证△DCF≌△NEF是解题的关键．