初二数学经典难题(带答案及解析)

一、解答题（共10小题，满分100分） 1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）

2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN=∠F．

-

3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．

4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB．

5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．

—

6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． 7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形

OPCQ周长的最小值．

8．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y． &

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

9．（10分）（2010•河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（1）求k1、k2的值． （2）直接写出

时x的取值范围；

（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．

（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．

…

10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线y=x与双曲线（1）求k的值； （2）若双曲线

上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶

交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

（3）过原点O的另一条直线l交双曲线点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

初二数学经典难题

参与试题解析

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一、解答题（共10小题，满分100分） 1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。 专题： 证明题。

分析： 在正方形内做△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角形，根据SAS证出

△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可．

； 证明：

解答： ∵正方形ABCD，

∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°， ∵∠PAD=∠PDA=15°，

∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，

在正方形内做△DGC与△ADP全等，

∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°， ∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°，

∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形）， >

∴DP=DG=PG，

∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°，

∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC， 在△DGC和△PGC中

，

∴△DGC≌△PGC，

∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°， 同理PB=AB=DC=PC，

∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°， ∴△PBC是正三角形． 、

点评： 本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是

正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求．

2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN=∠F．

考点： 三角形中位线定理。 - 证明题。 专题： 分析：

连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MG∥BC，且GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，根据平行线性质可得：∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN从而得出∠DEN=∠F．

解答： 证明：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG．

∵N是CD的中点，且NG∥AD，

∴NG=AD，G是AC的中点， 又∴M是AB的中点， ∴MG∥BC，且MG=BC．

/

∵AD=BC， ∴NG=GM，

△GNM为等腰三角形， ∴∠GNM=∠GMN， ∵GM∥BF， ∴∠GMF=∠F， ∵GN∥AD，

∴∠GNM=∠DEN， ∴∠DEN=∠F．

、

此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明△GNM为等腰三角形．

点评： 3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．

考点： 梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。 专题： 证明题。 `

分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ=（ER+FS），易证Rt△AER≌Rt△CAT，

分析：

则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证．

解答： 解：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ER∥PQ∥FS，

∵P是EF的中点，∴Q为RS的中点， ∴PQ为梯形EFSR的中位线，

∴PQ=（ER+FS），

∵AE=AC（正方形的边长相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°， ∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS）， 同理Rt△BFS≌Rt△CBT， 】

∴ER=AT，FS=BT，

∴ER+FS=AT+BT=AB， ∴PQ=AB．

点评： 此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键．

4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB．

《

考点： 四点共圆；平行四边形的性质。 专题： 证明题。

分析： 根据已知作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，利用AD∥EP，AD∥BC，进而得出

∠ABP=∠ADP=∠AEP，

得出AEBP共圆，即可得出答案．

解答： 证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，

^

∵AD∥EP，AD∥BC．

∴四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形， ∴AE∥DP，BE∥PC， ∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，

∴AEBP共圆（一边所对两角相等）． ∴∠BAP=∠BEP=∠BCP， ∴∠PAB=∠PCB．

点评： 此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键． 【

5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．

考点： 正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。 专题： 综合题。

分析： 把△ABP顺时针旋转90°得到△BEC，根据勾股定理得到PE=2a，再根据勾股定理逆定理证明△PEC是直

角三角形，从而得到∠BEC=135°，过点C作CF⊥BE于点F，△CEF是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出BC的长度，即可得到正方形的边长．

[ 解：如图所示，把△ABP顺时针旋转90°得到△BEC， 解答： ∴△APB≌△CEB，

∴BE=PB=2a，

∴PE=

=2

a，

在△PEC中，PC2=PE2+CE2=9a2，

∴△PEC是直角三角形， ∴∠PEC=90°，

∴∠BEC=45°+90°=135°， 过点C作CF⊥BE于点F， @

则△CEF是等腰直角三角形， ∴CF=EF=

CE=

a，

在Rt△BFC中，BC=即正方形的边长为

=a．

=a，

点评： 本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出

辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． / 分式方程的应用。 考点：

分析： 设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x，一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管

向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分可列方程求解．

解答： 解：设小水管进水速度为x立方米/分，则大水管进水速度为4x立方米/分．由题意得：

解之得：经检验得：

是原方程解．

立方米/分，大口径水管速度为

立方米/分．

∴小口径水管速度为

]

本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解．

点评： 7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形

OPCQ周长的最小值．

考点： 反比例函数综合题。 。 压轴题。 专题：

分析： （1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，

运用待定系数法可求它们解析式；

（2）因为P（﹣1，﹣2）为双曲线Y=上的一点，所以△OBQ、△OAP面积为1，依据反比例函数的图象

和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．

解答： 解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，

将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为y=x， 同样可得，反比例函数解析式为

|

；

（2）当点Q在直线OM上运动时， 设点Q的坐标为Q（m，m）， 于是S△OBQ=|OB×BQ|=×m×m=m2， 而S△OAP=|（﹣1）×（﹣2）|=1， 所以有，m2=1，解得m=±2，

所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC， 而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长， 】

所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）

因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，）， 由勾股定理可得OQ2=n2+

=（n﹣）2+4，

所以当（n﹣）2=0即n﹣=0时，OQ2有最小值4，

又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值， 所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=，

所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4．（10分）

点评： 此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的

灵活应用．

%

8．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y．

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

考点： 二次函数综合题。 专题： 》

动点型。

分析： （1）可通过构建全等三角形来求解．过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，那么可通过证三角形GPD

和EFP全等来求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF相等，因此可得出两直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE． （2）求三角形PBE的面积，就要知道底边BE和高PF的长，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的长，那么就知道了底边BE的长，而高PF=CD﹣GP，也就可求出PF的长，可根据三角形的面积公式得出x，y的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值．

解答： （1）证明：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．

∵四边形ABCD是正方形，

∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形， △AGP和△PFC都是等腰直角三角形．

∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度． ）

又∵PB=PE， ∴BF=FE， ∴GP=FE，

∴△EFP≌△PGD（SAS）．

∴PE=PD．

②∴∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度． ∴∠DPE=90度． ∴PE⊥PD． 、

（2）解：①过P作PM⊥AB，可得△AMP为等腰直角三角形， 四边形PMBF为矩形，可得PM=BF， ∵AP=x，∴PM=

x，

∴BF=PM=

，PF=1﹣

． x×（1﹣）． ）2+

x）=﹣x2+

x．

∴S△PBE=BE×PF=BF•PF=即y=﹣x2+②y=﹣x2+∵a=﹣＜0， ∴当x=

（

x．（0＜x＜x=﹣（x﹣

时，y最大值=．

点评： 本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定以及二次函数的综合应用等知识点，通过构建全

等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键．

9．（10分）（2010•河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（1）求k1、k2的值． （2）直接写出

时x的取值范围；

（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．

（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．

】

反比例函数综合题；一次函数的性质；反比例函数系数k的几何意义。

考点：

专题： 综合题。

分析： （1）先把点A代入反比例函数求得反比例函数的解析式，再把点B代入反比例函数解析式求得a的值，再

把点A，B代入一次函数解析式利用待定系数法求得k1的值．

（2）当y1＞y2时，直线在双曲线上方，即x的范围是在A，B之间，故可直接写出范围． （3）设点P的坐标为（m，n），易得C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=m+2，利用梯形的面积是12列方程，可求得m的值，从而求得点P的坐标，根据线段的长度关系可知PC=PE．

解答： 解：（1）由题意知k2=1×6=6

、

∴反比例函数的解析式为y=（x＞0） ∵x＞0，

∴反比例函数的图象只在第一象限， 又∵B（a，3）在y=的图象上， ∴a=2，

∴B（2，3）

∵直线y=k1x+b过A（1，6），B（2，3）两点 ∴

∴

故k1的值为﹣3，k2的值为6；

|

（2）由（1）得出﹣3x+9﹣＞0， 即直线的函数值大于反比例函数值， 由图象可知，此时1＜x＜2， 则x的取值范围为1＜x＜2；

（3）当S梯形OBCD=12时，PC=PE． 设点P的坐标为（m，n），过B作BF⊥x轴， ∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3）， ∴C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=OE+ED=OE+BF=m+2 {

∴S梯形OBCD=∴m=4，又mn=6 ∴n=，即PE=CE

∴PC=PE．

点评： 此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点的

特点和利用待定系数法求函数解析式的方法．要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，从而确定关键点的坐标是解题的关键．

10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线y=x与双曲线（1）求k的值； （2）若双曲线

\"

，即12=

交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶

（3）过原点O的另一条直线l交双曲线点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

考点： 反比例函数综合题。 专题： 综合题；压轴题。

分析： （1）先根据直线的解析式求出A点的坐标，然后将A点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k的值；

（2）由（1）得出的双曲线的解析式，可求出C点的坐标，由于△AOC的面积无法直接求出，因此可通过

作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得．（解法不唯一）； :

（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA的面积，由于△POA的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．

解答： 解：（1）∵点A横坐标为4，

把x=4代入y=x中 得y=2，

∴A（4，2），

∵点A是直线y=x与双曲线∴k=4×2=8；

（2）解法一：如图， &

∵点C在双曲线上， 当y=8时，x=1，

∴点C的坐标为（1，8）．

过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON． ∵S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．

∴S△AOC=S矩形ONDM﹣S△ONC﹣S△CDA﹣S△OAM=32﹣4﹣9﹣4=15；

解法二：如图，

过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点C在双曲线

~

（k＞0）的交点，

上，

当y=8时，x=1，

∴点C的坐标为（1，8）． ∵点C、A都在双曲线

上，

∴S△COE=S△AOF=4，

∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF． ∴S△COA=S梯形CEFA．

∵S梯形CEFA=×（2+8）×3=15，

∴S△COA=15；

（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴OP=OQ，OA=OB，

∴四边形APBQ是平行四边形， ∴S△POA=S平行四边形APBQ×=×24=6， 设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4）， 得P（m，），

过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，

∵点P、A在双曲线上， ∴S△POE=S△AOF=4， 若0＜m＜4，如图，

∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF， ∴S梯形PEFA=S△POA=6． ∴

（2+）•（4﹣m）=6．

∴m1=2，m2=﹣8（舍去）， ∴P（2，4）；

若m＞4，如图，

∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE， ∴S梯形PEFA=S△POA=6． ∴

（2+）•（m﹣4）=6，

解得m1=8，m2=﹣2（舍去）， ∴P（8，1）．

∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）．

点评： 本题考查反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题

的能力．难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解．