高中三角函数专题练习题及答案

一、填空题

1．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.

2．已知三棱锥PABC中，APB2，PAPB3，AC5，BC4，且平面3PAB平面ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．

3．已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E是AB中点，点F为CC1的中点，点P为棱DD1上一点，且满足AP//平面D1EF，则直线AP与EF所成角的余弦值为_______．

4．已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a6，点O为其外接圆的圆心.已知BO·AC15，则当角C取到最大值时ABC的面积为______

π25．已知函数fx4sinx0，圆C的方程为x5y225，若在圆C内部

3恰好包含了函数fx的三个极值点，则的取值范围是______. 6．给出下列命题：

①若函数f(x)的定义域为0,2，则函数f(2x)的定义域为0,4； ②函数f(x)tanx在定义域内单调递增；

③若定义在R上的函数f(x)满足f(x1)f(x)，则f(x)是以2为周期的函数；

log2x,0x4④设常数aR，函数f(x)10若方程f(x)a有三个不相等的实数根x1，

,x4x1x2，x3，且x1x2x3，则(x1x21)x3的值域为[64,)．

其中正确命题的序号为_____．

7．已知函数f(x)sinxcosx，g(x)sinxcosx：①函数f(x)的图象关于点(,0)对

4称；②函数|g(x)|的最小正周期是

；③把函数f(2x)图象上所有点向右平移个单位长28度得到的函数图象的对称轴与函数y=g(x)图象的对称轴完全相同；④函数

y1f(x)g(x)在R上的最大值为2.则以上结论正确的序号为_______________

28．平面向量a，b，c满足aabc1，b2acbcbac，

2abbbca1bb，则bc2______．

9．设向量OAa，OBb，OCc，abab2，点C在AOB内，且向量c与向量ac的夹角为

|c|，则的取值范围是____________． 3|cb|log2x,x010．已知函数fx，函数gx满足以下三点条件：①定义域为R；②对任

x,x0意xR，有gx2gx；③当x0,时，gxsinx.则函数yfxgx在区间4,4上零点的个数为__________个.

二、单选题

11．已知函数fxsinxcosxsinxcosx0，则下列结论错误的是（ ）

①1时，函数fx图象关于x对称；②函数fx的最小值为-2；③若函数fx在π,0上单调递增，则0，3；④x1，x2为两个不相等的实数，若fx1fx244π4且x1x2的最小值为π，则2. A．②③

B．②④

C．①③④

D．②③④

12．《九章算术》卷五“商功”：今有刍甍，下广3丈，袤4丈；上袤2丈，无广；高1丈.其描述的是下图的一个五面体，底面ABCD是矩形，AB4，BC3，EF2，EF//底面ABCD且EF到底面ABCD的距离为1.若DEAEBFCF，则该刍甍中点F到平面

EBC的距离为（ ）

1A．

53B．

5C．10 5D．255

13．已知函数f(x)2sin(x)0,0，且有f02，若函数2gxfx1的图象在0,2内有5个不同的零点，则的取值范围为（ ）

5571A．,

24245571B．,

24244755C．,

24244755D．,

242414．在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且2b2c22Sabc，则的取值范围为（ ）

bc224359A．,

151543B．22,

1559C．22,

15D．22,

15．如图，在正方体ABCDEFGH中，P在棱BC上，BPx，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为AlP为，已知初始状态下

x0，d0，则（ ）

A．当x增大时，先增大后减小 C．当d增大时，先增大后减小 的半径r（ ） A．1

B．7 2B．当x增大时，先减小后增大 D．当d增大时，先减小后增大

16．已知ABC的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则ABC内切圆

3C．

2D．2

x2y217．设点Px1,y1在椭圆1上，点Qx2,y2在直线x2y80上，则

82x2x1y2y1的最小值是（ ）

A．12 2B．3 C．13 2D．2

18．在ABC中，BAC的平分线交BC于点D,BD2DC,BC6，则ABC的面积的最大值为（ ） A．6

B．62 C．12

D．122

19．设函数fxcos2xsinx，下述四个结论： ①fx是偶函数； ②fx的最小正周期为； ③fx的最小值为0； ④fx在0,2上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②

B．①②③

C．①③④

D．②③④

20．设函数fxasinxbcosx0在区间,上单调，且

622ff23fx，当时，fx取到最大值4，若将函数fx的图象上各1263点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数gx的图象，则函数ygxx为（ ） A．4

B．5

C．6

D．7

零点的个数三、解答题

21．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系yf(t)均近似地满足函数f(t)Asin(t)b(A0,0,0).

（1）根据图象，求函数f(t)的解析式；

（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比

企业甲推迟m(m0)小时投产，求m的最小值.

22．如图，长方形ABCD中，AB2,BC3，点E,F,G分别在线段AB,BC,DA（含端点）上，E为AB中点，EFEG，设AEG.

（1）求角的取值范围；

（2）求出EFG周长l关于角的函数解析式f()，并求EFG周长l的取值范围.

23．已知函数f(x)sinxcosxcosxa的最大值为1.

63（1）求常数a的值；

（2）求函数f(x)的单调递增区间； （3）求使f(x)0成立的实数x的取值集合. 24．已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)，xR． （1）求函数f(x)的最小正周期；

ππ（2）求函数f(x)在区间,上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x的值．

4425．已知向量a，b满足a2sinx,6sinx，bcosx,2cosx，函数

44fxabxR.

（1）求fx的单调区间；

112n*（2）已知数列annfnN，求an的前2n项和S2n. 24226．已知函数fxab，其中a3sinx,1，b1,cosx，xR.

（1）求函数yfx的单调递增区间； 

（2）求fx在区间0,上的最值.

2

27．已知函数fx3cos2xsinxcosx30的最小正周期为.将函数2yfx的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数ygx的图象.

（1）求的值及函数gx的解析式； （2）求gx的单调递增区间及对称中心

xx28．设向量a=（2sincos，3sinx），b=（cosx，sinx），x∈[-，]，函数f（x）

2263=2a•b．

（1）若|a|=2|b|，求x的值；

（2）若-23≤f（x）-m≤3恒成立，求m的取值范围．

29．已知函数f(x)2cos2x23sinxcosx. （Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）若f(x)在区间,m上的值域为0,3，求m的取值范围.

630．函数f(x)Asin(x)1（A0,0）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之

6间的距离为

， 2（1）求函数f(x)的解析式；

π（2）设(0,)，则f()2，求的值

22

【参考答案】

一、填空题

1282 811．2．28 3．116 304．35 5．1925731,12,48 48486．③④ 7．②③④ 8．23##32

9．(0,10．6

23] 3二、单选题 11．B 12．C 13．A 14．C 15．C 16．B

17．D 18．C 19．B 20．D 三、解答题

21．（1）f(t)sint4；（2）4

26【解析】 【分析】 （1）由T12题答案；

2Ab5，得，由，得A，b，代入(0,5)，求得，从而即可得到本bA3（2）由题，得f(tm)f(t)cos(tm)cost89恒成立，等价于

66cos(tm)cost1恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转66化，即可得到本题答案. 【详解】

（1）解：由图知T122， 6b4Ab5又，可得 bA3A1f(t)sint4，代入(0,5)，得2k，

26又0，

2所求为f(t)sint4

26（2）设乙投产持续时间为t小时，则甲的投产持续时间为(tm)小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t变化的关系式为：

f(t)sint4cost4同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：

266f(tm)cos(tm)4

6两企业用电负荷量之和

f(tm)f(t)cos(tm)cost8，t0

66依题意，有f(tm)f(t)cos(tm)cost89恒成立

66即cos(tm)cos6t1恒成立 6展开有cosm1costsinmsint1恒成立

6666cosm1costsinmsintAcost 666662cosm1sinm2其中，Acosm1sinm，，6 6sincos66AAAcosm1sin2m1

6621整理得：cosm

2624解得2km2k

363即12k4m128 取k0得：4m8 m的最小值为4. 【点睛】

本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.

1sincos22．（1）[,]（2）f()，[,]，EFG周长l的取值范围为

63sincos63[2(21),2(31)]

【解析】

（1）结合图像可得当点G位于D点时，角取最大值，点F位于C点时，BEF取最大值，角取最小值，在直角三角形中求解即可. （2）在RtΔEAG中，求出EG11，在RtΔEBF中，求得EF，在RtΔGEF中，cossin111，通分可得cossinsincos根据勾股定理得FG2EF2EG2，从而可得f()f()1sincos，令tsincos，借助三角函数的性质即可求解.

sincos【详解】

（1）由题意知，当点G位于D点时，角取最大值， 此时tan3，因为02，所以max3

当点F位于C点时，BEF取最大值，角取最小值，

此时BEF=3，所以min236

故所求的取值集合为[,]

63（2）在RtΔEAG中，cosAE1，AE1，所以EG EGcos在RtΔEBF中，cosBEFcos(2)BE1，BE1，所以EF EFsin在RtΔGEF中，有勾股定理得FG2EF2EG2

11sin2cos21 sin2cos2sin2cos2sin2cos2因为[,]，所以sin63所以f()EGEFFG所以f()0,cos0，FG1

sincos111 cossinsincos1sincos，[,]

sincos63t21令tsincos，则sincos

2所以l2(1t)2 t21t157因为[,]，[,]，

6341212所以sin(4)[62,1] 4所以tsincos2sin()[431,2] 2所以EFG周长l的取值范围为[2(21),2(31)] 【点睛】

本题考查了三角函数的在平面几何中的应用，主要考查了辅助角公式以及换元法求三角函数的值域，属于中档题.

422k,2k,kZ.（3）x|2kx2k,kZ 23．（1）a1（2）333【解析】

（1）化简f(x)，求最大值，即可求解；

（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论； （3）运用正弦函数图像，即可求解. 【详解】 解：f(x)sinxcos6cosxsin6cos3cosxsin3sinxcosxa

3113sinxcosxcosxsinxcosxa 2222312sinx2sinxcosxa3sinxcosxaa. 262（1）函数f(x)的最大值为2a1，所以a1. （2）由解得22kx622k,kZ，

22kx2k,kZ， 3322k,2k,kZ. 所以f(x)的单调递增区间为33（3）由（1）知f(x)2sinx1.

6因为f(x)0，即2sinx10.

61所以sinx，

62所以所以72kx2k,kZ. 66642kx2k,kZ， 342kx2k,kZ. 所以使f(x)0成立的x的取值集合为x|3【点睛】

本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题.

ππ24．（1）；（2）x,fxmin0,x,fxmax21.

48【解析】

(1) 函数f(x)解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出w的值，代入周期公式即可求出最小正周

期;(2)根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f(x)的值域，进而求出f(x) 的最小值与最大值.. 【详解】

π（1）fx2cosxsinxcosxsin2xcos2x12sin2x1，

4因此，函数fx的最小正周期Tπ． （2） 因为ππππ3πx 所以2x, 4444420,21sin2x,1，即f(x)， 42所以当2x当2x444，即x8

4时，fxmin0，

2，即x

时，fxmax21.

8

所以x【点睛】

4时，fxmin0，x时，fxmax21.

此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.

75,k，kZ，单调减区间为k,k25．（1）单调增区间为k，

121212122kZ；（2）22nn

【解析】 【分析】

2（1）由向量数量积的坐标运算可得fxabsin2x3cos2x2sin2x3， 再利用三角函数单调区间的求法即可得解；

22122232422n12n，又（2）由题意可得S2n22n12n【详解】

224n1，则S2n2442434nn，再利用等差数列求和

公式即可得解.

解：（1）向量a，b满足a2sinx,6sinx，bcosx,2cosx，

442函数fxabsin2x3cos2x2sin2x3， 由2k22x272k，可得kxk，kZ， 3212127,k，kZ； 解得fx的单调增区间为k12125单调减区间为k,k，kZ．

1212112n（2）因为annf24222nsinn， 422122232422n12n， 所以S2n2又2n12n4n1，

22S2n2442434nn，

所以S2n2【点睛】

34n1n222n2n．

本题考查了三角函数单调区间的求法及数列中捆绑求和，属中档题. 26．（1）[【解析】 【分析】

32k,22k],kZ；（2）最小值为1，最大值为3. 3（1）先利用平面向量数量积的坐标运算律以及辅助角公式得出fx2sinx，然后

6解不等式22kx622kkZ可得出函数yfx的单调递减区间；

（2）由x0,得出x的取值范围，然后再利用正弦函数的性质得出函数yfx的

62最大值和最小值． 【详解】 （1）

a3sinx,1，b1,cosx，

31fx3sinxcosx2sinxcosx2sinxcoscosxsin 2266 2sinx，

6解不等式22kx22kkZ，得32kx22kkZ， 3因此，函数yfx的单调递增区间为[（2）0x32k,22k],kZ； 3

，x，所以，函数yfx在区间0,上单调递增， 26632

则fxmin2sin1，fxmax2sin2sin3，

3626

因此，函数yfx在区间0,上的最小值为1，最大值为3．

2

【点睛】

本题考查三角函数的单调性与最值，考查平面数量积的坐标运算，解这类问题首先要利用三角三角恒等变换公式将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解题问题的能力，属于中等题．

5x,4k，kZ，27．（1）1，g(x)2sin()；（2）单调递增区间为4k3323对称中心为(2k【解析】

2,0)(kZ). 3【分析】

（1）整理fx可得：f(x)sin(2x)，利用其最小正周期为即可求得：1，即

3x可求得：f(x)sin(2x)，再利用函数图象平移规律可得：g(x)2sin()，问题得

323解. （2）令2k2x2k，kZ，解不等式即可求得gx的单调递增区间；令232xk，kZ，解方程即可求得gx的对称中心的横坐标，问题得解. 23【详解】 解：（1）f(x)由

31cos2xsin2xsin(2x)， 2232,得1. 2所以f(x)sin(2x).

3x于是yg(x)图象对应的解析式为g(x)2sin().

23（2）由2k2x2k,kZ得 2324k5x4k，kZ 335,4k，kZ. 所以函数g(x)的单调递增区间为4k332x(kZ). 由k，解得x2k233所以g(x)的对称中心为(2k【点睛】

本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题．

π28．（1）x；（2）3,332.

42,0)(kZ). 3【解析】 【分析】

（1）根据|a|2|b|，利用化简函数化简解得x的值； （2根据f（x）＝2a•b．结合向量的坐标运算，根据x∈[23f（x）﹣m3恒成立，可得m的取值范围． 【详解】

解：（1）由|a|=2|b|，

6，

]，求解范围，）﹣3可得a22b2； 即4sin2x=2（cos2x+sin2x） 即sin2x=∴sinx=∵x∈[-∴x=

1； 22； 2，]， 63 4（2）由函数f（x）=2a•b=2sin2x+23sin2x

11=sin2x+23（cos2x）=sin2x3cos2x+3=2sin（2x-）3 223，]， 632∴2x-∈[-，]， 333则32≤2sin（2x-）3≤23；

3∵x∈[-要使-23≤f（x）-m≤3恒成立， m2332则

3m23解得：3m332

故得m的取值范围是[3，332]． 【点睛】

本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．

29．(Ⅰ) k,kkZ,(Ⅱ) m

3662【解析】 【分析】

（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数fxπ(Ⅱ) 化为2sin2x1，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数fx的递增区间; 6πππ11，要使得fx在,m上的值域为0,3，即sin2x在,m上的值域为，66327可得 2m，从而可得结果.

266【详解】

2（Ⅰ）fx2cosx23sinxcosx

πcos2x3sin2x12sin2x1，

6由2k22x62k2kZ,得k3xk6kZ,

所以，fx的单调递增区间是k,kkZ,

36π（Ⅱ）由（Ⅰ）知fx2sin2x1.

6ππ因为x,m，所以2x,2m.

6666πππ11. 要使得fx在,m上的值域为0,3，即sin2x在,m上的值域为，6362所以

22m67，即m. 662【点睛】

本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数yAsin(x)的单调区间的求法：若A0,0,把x看作是一个整体，由22kx32kkZ求得函数的减区间，222kx22k求得增区间.

30．（1）f(x)2sin(2x)1.；（2）.

63【解析】 【详解】

（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期

2222，

6∴f（x）=2sin（2x-）+1 π（2）(0,)，f（）=2

22∴2sin（21-）+1=2,得sin（-）=2，=

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