2019年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：专题5.4 数系的扩充与复数的引入(讲)(解析版)

【最新考纲解读】

要 求 内 容 A B C 对知识的考查要求依次分为了解、复数的代数表示法及其几何意义；两个具体复数相√ 加、相减的几何意义． A、B、C表示）. 了解：要求对所列知识的含义有初步数的，感性的认识，知道这一知识内容系的扩充理解：要求对所列知识有较深刻的理和性认识，知道知识间的逻辑关系，能复够对所列知识作正确的描述说明，用数数学语言表达，利用所学的知识内容的对有关问题作比较，判断，讨论，具引进行复数代数形式的四则运算. 入 力. 掌握：要求对所列的知识内容能够推导证明，利用所学知识对问题能够进行分析，研究，讨论，并且加以解决. 【考点深度剖析】

从近几年高考命题看，复数是高考必考内容，往往有一道选择题或填空题，属于容易题.主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐

√ 备利用所学知识解决简单问题的能 是什么，按照一定的程序和步骤照样复数的基本概念；复数相等的充要条件． 别和认识它. √ 模仿，并能（或会）在有关问题中识 理解、掌握三个层次（在表中分别用备注

标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算居多． 【课前检测训练】 [判一判]

(1i)21.【【百强校】2019届福建漳州市高三毕业班5月质检】已知复数z，则（ ）

1iA．|z|2 B．z1i C．z的实部为1 D．z1为纯虚数 【答案】D 【解析】

z2i2i(1i)1i，经验证，A、B、C均错，只有z1i为纯虚数正确，故选1i(1i)(1i)D．

2. 【2019高考新课标2理数】已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）

， （B）(1，3) （C）(1,+) （D）(-，3) （A）(31)【答案】A

[练一练]

1. 【山西省右玉一中2019届高三下学期模拟考试数学（理）】若复数z(a24)(a2)i为纯虚数，则

a2i的值为（ ） 1iA．2 B．2i C．2i D．i 【答案】C 【解析】

a2i2(1i)2试题分析：由题设a2,故2i,应选C.

1i2

2. 【2019新课标理】设x(1i)=1+yi,其中x,y实数,则xyi=( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【答案】B 【解析】

因为x(1i)=1+yi,所以xxi=1+yi,x=1,yx1,|xyi|=|1+i|2,故选B.

3. 【【百强校】2019届广东省湛江市普通高考测试题（二）】已知i是虚数单位，aR，复数z13ai,z212i，若z1z2是纯虚数，则a（ ） A．33 B． C．6 D．6 22【答案】A

4．【百强校】2019届广东省深圳市高三第二次调研】已知i为虚数单位，在复平面内，复数对应的点所在的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】

32i

1i

32i32i1i15i，在第四象限. =1i21i1i5. 【【百强校】2019届湖北省黄冈中学高三5月一模】已知i为虚数单位，aR，若纯虚数，则复数z2a2i的模等于（ ）

A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】B

2i为ai

【解析】 设

b22i1bi,则2iabib,故,解之得a,则z12i,故|z|3,应ai2ab1选B.

【题根精选精析】

考点1 复数的有关概念及性质

【1-1】下列命题中：

(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；

(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数； (3)若(z1－z2)＋(z2－z3)＝0，则z1＝z2＝z3； (4)x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；

(5)若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A

2

2

【1-2】(1)i是虚数单位，若复数a－A．－3 B．－1 C．1 D．3

3＋bi(2)若＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝________.

1－i【答案】（1）D；（2）3.

1010（3＋i）【解析】(1)复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝3.故选

3－i10D.

(2)由已知得3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝(a＋b)＋(b－a)i，根据复数相等的定义可得

a＋b＝3，

 ∴a＋b＝3.故填3. b－a＝b，

10

(a∈R)是纯虚数，则a的值为( ) 3－i

【基础知识】

1．虚数单位为i，规定：i＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立． 2．复数的概念

形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部． ①当b＝0时，复数a＋bi为实数； ②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；

③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．

2

【思想方法】

处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法．

【温馨提醒】

（1）i1中的负号易忽略.

（2）对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R.

(3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0.

2考点2 复平面的概念及复数的几何意义

【2-1】已知A，B是锐角三角形的两内角，则复数(sinA－cosB)＋(sinB－cosA)i在复平面内对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A

【2-2】【2019学年福建晋江平山中学】已知复数z(m2m)(mm6)i所对应的点分别在

（1）虚轴上；

22

（2）第三象限．试求以上实数m的值或取值范围． 【答案】

（1）m0 ；（2）0m2. 【解析】 试题分析：

（1）由题z(m22m)(m2m6)i在虚轴上，则为纯虚数，即满足；

a0zabi(a,bR),，建立关于m的方程组，解得；

b0（2）由z(m22m)(m2m6)i在复平面上对应的点位于第三象限，即要实部小于零，虚部小于零。

【基础知识】

→

1.z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量OZ都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)．

2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．

【思想方法】

复数的几何意义

(1) (其中a，b∈R)．

(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．

(3)|z1－z2|表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离．

【温馨提醒】易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)． 考点3 复数相等的充要条件

【3-1】已知i为虚数单位，复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别→→→

为A，B，C，若OC＝xOA＋yOB，x，y∈R，求x＋y的值． 【答案】5

→→→

【解析】由OC＝xOA＋yOB，得3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)＝(－x＋y)＋(2x－y)i，∴

－x＋y＝3，x＝1， 解得 故x＋y＝5. 2x－y＝－2.y＝4，

【3-2】【2019高考天津理数】已知a,bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则为_______. 【答案】2 【解析】

a的值b1baa2a，所以，2，故答案为2． (1i)(1bi)1b(1b)ia，则1b0b1b【基础知识】

复数相等的充要条件

a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0.

【思想方法】

利用利用复数相等的充要条件，建立方程或方程组求解.

【温馨提醒】

注意把把复数化为代数形式，转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

考点4 复数的代数运算

【4-1】【【百强校】2019届湖南省湘西自治州高三第二次质量检测】复数z实部与虚部之和为（ ） A．-3 B．4 C．3 D．-11 【答案】D

2i3i2的

i

【4-2】【百强校】2019届福建厦门外国语学校高三5月适应性】复数z单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】

2i（其中i为虚数2i2i(2i)234i34i因z，故z在第一象限，应选A． 2i555【基础知识】

复数的加、减、乘、除的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； (2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； z1ac＋bdbc－ad

(3)＝22＋22i (z2≠0)． z2c＋dc＋d

【思想方法】

复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把i换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．

2【温馨提醒】

复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.

考点5 复数的模与共轭复数

【5-1】【2019高考山东理数】若复数z满足2zz32i, 其中i为虚数单位，则z=（ ） （A）1+2i

（B）12i

（C）12i

（D）12i

【5-2】【百强校】2019届四川凉山州高三第三次诊断】i为虚数单位，zA．5 B．5 C．1 D．2 【答案】A 【解析】 由题意z5i，则z( ) 12i5i12i52i5i2iz2i5 12i12i12i5【基础知识】

1.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作z． 2. 复数的模

→

向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝r＝a＋b(r≥0，r∈R)． 22

3. zz＝|z|＝|z|.

2

2

【思想方法】

对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i,(a,b,c.dR)，

abi(acbd)(bcad)i,(a,b,c.dR)，. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数cdic2d2abi(a,bR)的实部为a、虚部为b、模为a2b2、对应点为(a,b)、共轭为abi.

【温馨提醒】

由于复数z的模|z|和共轭复数z都可用复数z的实部与虚部表示，因此解答有关复数的模与共轭复数的题目时，可设复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，这样易于表示题目的条件和结论，具有较强的可操作性，为解题创造了有利的条件． 【易错问题大揭秘】

【名校学术联盟﹒2019学年度高考押题卷一】已知复数z的共轭复数的虚部为（ ）

34i（i为虚数单位），则复数z12i

A．i B．i C．

252542 D． 55【易错点】（Ⅰ）共轭复数的概念不清；（Ⅱ）分式中分母实数化过程中，分子分母同乘分母的共轭复数出错． 【分析】 z温馨提醒：

1.在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时，不是总成立的：(1)(z)＝z(m，n为分数)；(2)若z＝z，则m＝n(z≠1)；(3)若z1＋z2＝0，则z1＝z2＝0.

222

2.注意利用共轭复数的性质zz＝|z|＝|z|，将zz转化为|z|，即复数的模的运算，常能使解题简捷．

【针对训练】【2019高考新课标3理数】若z12i，则

2

2

mn

mn

m

n

34i112i112i2z，所以，虚部为，选D. 12i5554i（ ） zz1(A)1 (B) -1 (C)i (D) i 【答案】C