高数全部复习资料之_微分方程

1.一阶微分方程 方程类型 变量可分离 标准形式 dyf(x)g(y)dx dyyfdxx 求解方法 dyg(y)f(x)dxC uyx,代入得 齐次型方程 令duf(u)udxx,再分离变量 一阶线性微分方程 yP(x)yQ(x) 方法一:常数变易法 方法二:公式法 P(x)dxP(x)dxdxCyeQ(x)e 贝努利方程 1nzydyn令化为一阶线性方程P(x)yQ(x)ydxdz(n0,1) dx(1n)P(x)z(1n)Q(x) 后再求解

2.高阶微分方程

(1)可降阶的高阶微分方程. 典型形式 y(n)f(x) yf(x,y) 求解方法 两边经过n次积分即可 dpdx 令(不显含未知函数y) yp,ydpf(x,p)得dx为一阶微分方程，再求解 yf(y,y) yp,y令(不显含自变量x) pdpdpdydppdxdydxdy 得解 (2)二阶线性微分方程的解结构 记二阶线性微分方程

yP(x)yQ(x)yf(x)dpf(y,p)dy为一阶微分方程，再求(1)

对应的齐次方程为yP(x)yQ(x)y0(2)

*y若为(1)的一个特解,y1,y2为(2)的两个线性无关的特解,则

c1y1c2y2为(2)的通解

y*c1y1c2y2为(1)的通解.

注:对于n阶线性微分方程的解结构也有类似结论. (3)二阶常系数线性齐次微分方程的解法 ypyqy0(p,q为常数)(3)

首先写出对应于该方程的特征方程

2 pq0

解此方程，求出两特征值1,2,根据1,2的不同情形按下表写出通解.

1,2 两个不相同的实根1,2 两个相的实根12 一对共轭复根i 通解 yc1e1xc2e2x y(c1c2x)e1x yex(c1cosxc2sinx) (4) n阶常系数线性齐次微分方程的解法 以上结论可推广至n阶常系数线性齐次微分方程

y(n)p1y(n1)p2y(n2)pn1ypny0(4)

其中pi(i1,2,3,,n)为常数.

nn1n2pppn1pn0 12根据特征方程

的根的四种情况,分别写出对应的解：

a) 为特征方程的单重实根,(4)有相应的一个解e

xxk1xb) 为特征方程的k重实根, (4)有相应的k个解e,xe,,xe

xaxaxc) abi为特征方程的单重复根,(4)有相应的两个解ecosbx,esinbx

d) abi为特征方程的k重共轭复根,(4)有相应的2k个解

axaxaxaxk1axk1axecosbx,esinbx,xecosbx,xesinbx,,xecosbx,xesinbx

若记以上求出的n个解为y1(x),y2(x),,yn(x),则（4）的通解就是

c1y1(x)c2y2(x)cnyn(x)

(5)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法

ypyqyf(x)(f(x)0)(5)

其中p,q为常数. 方程(5)的解法:首先求出(5)对应的齐次方程(3)的通解c1y1c2y2,再求出(5)的一个特解y*,则(5)的通解为yy*c1y1c2y2

*y而的求法如下:

*当f(x)为某些特殊类型函数时,用待定系数法求y.

xf(x)ePm(x),其中为常数,Pm(x)为x的m次多项式 a)

*kxyxQ(x)e(6) m则可设(5)的特解为

其中

0,不是(3)的特征方程的根;k1,是(3)的特征方程的单根;2,是(3)的特征方程的二重根;

Qm(x)为与Pm(x)同次的多项式.将(6)代入(5)比较系数可求出Qm(x),从而求出y*.

xPl(x)cosxPn(x)sinx f(x)eb)

其中,均为常数, Pl,Pn(x)分别为l次, n次多项式. 则(5)的特解可设为

y*xkexQm(x)cosxRm(x)sinx(7)

0,i不是(3)的特征方程的根k1,i是(3)的特征方程的单重根 其中

Qm(x),Rm(x)为m次多项式,mmaxl,n

将(7)代入(5)比较同类项系数可求出Qm(x),Rm(x),从而求出y.

复习指导：

*第9章 微分方程

学习指导

一．解微分方程的方法

解微分方程的问题一般分求通解和求特解两类，需要求特解时，先求其通解，然后将已知的初始条件代入通解，

确定任意常数，得到特解。求通解时首先要判断微分方程的类型，然后对不同类型的方程用不同

的方法去解。

所学的微分方程分类如下 一 dyf(x)g(y)阶 变量可分离: dx 微 分 dyyf方 dxx 程 齐次型方程: 一阶线性微分方程: yP(x)yQ(x) dyP(x)yQ(x)yn贝努利方程: dx高 阶 微 分 方 程 可降阶的高阶微分方程 (n0,1) y(n)f(x) yf(x,y) (不显含未知函数y) yf(y,y) (不显含自变量x) 常系数线性微分方程 常系数线性齐ypyqyf(x)次微分(p,q为常数) 方程 二阶常系数线性齐次微分方程 ypyqy0 n阶常系数线性齐次微分方程 y(n)p1y(n1)p2y(n2)pn1ypny0 常系数线性非齐次微分方程(二阶) f(x)exPm(x)的情况, 其中为常数,Pm(x)为x的m次多项式 f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinx的情况, 其中,均为常数, Pl,Pn(x)分别为l次, n次多项式.

注: 另外还有一种全微分方程，将在下册讲授.

二． 微分方程的应用题

解微分方程的应用题分两步：

a) 根据具体问题建立微分方程：对于几何问题一般利用导数的几何意义列方程,对于物理问题一般根据微元法和物理定理列方程。

注: 在应用问题中常常包含有一些初试条件，在列方程时不要遗漏。 b) 解微分方程。