带电粒子在磁场中做匀速圆周运动题型归类

带电粒子在有界磁场中运动的分析方法： 1．圆心的确定

因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。

2．半径的确定和计算

利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：

①粒子速度的偏向角等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。

3．粒子在磁场中运动时间的确定

若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所

对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式

，即tmBq，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即

为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。

4．注意圆周运动的对称性与特殊性

（1）从一直线边界射入的粒子从同一直线边界射出时，速度与边界的夹角相等；

（2）在圆形磁场区域内，粒子射入时的速度方向过圆心，射出时的速度方向也过圆心； （3）圆形磁场区域的半径与粒子轨道半径相等时，出射方向一定垂直入射点与磁场圆心的连线。（此结论解题很难想到，也较难证明，利用几何知识。）

问题一：磁场边界问题

有界磁场的两种典型模型：

1．穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

（1）带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）

（2）带电粒子的侧移由R=L-（R-y）解出；（y见所图标）

2

2

2

（3）带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由 b、带电粒子在磁场中经历的时间由 1。矩形边界磁场

求出；（θ、r和R见图标） 得出。

题型1-1-1：如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2。磁感应强度为B，质量为m，电荷量为e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围？

解析：（1）带电粒子射入磁场后，由于速率大小的变化，导致粒子轨迹半径的改变，如图所示。当速率最小时，粒子恰好从d点射出，由图可知其半径R1=L/4，再由R1=mv1/eB，得:

当速率最大时，粒子恰好从c点射出，由图可知其半径R2满足

，即R2=5L/4，再由R2=mv2/eB，得:

。

电子速率v的取值范围为：

在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图，再根据几何关系确定对应的轨迹半径，最后求解临界状态的速率。 2．圆形边界磁场

题型1-2-1：在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图10所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。

（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m； （2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁

场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？

解析：（1）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。

如图11所示，粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径 r=R，又

， 则粒子的荷质比为 。

（2）粒子从D点飞出磁场速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角60°，粒子做圆

周运动的半径，又，所以 ，

粒子在磁场中飞行时间：。

在处理这类问题时重点是画出磁场发生改变后粒子运动的轨迹图，利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射点的位置，由于线速度的方向始终与半径垂直，线速度改变了60°角，故圆心角为60°，解题中充分应用这一特点是关键。

题型1-2-2：核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图9-19所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×10C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算：

（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

分析与解答：本题也属于极值类问题，寻求“临界轨迹”是解题的关键。要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切；要使所有粒子都不穿越磁场，应保证沿内圆切线方向射出的粒子不穿越磁场，即运动轨迹与内、外圆均相切。

（1）轨迹如图9-20所示

222rR(Rr)1121由图中知，解得r10.375m

7V12Bqr1BqV1mV11.5107m/sr1得m由

所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为

r1 图9-20

V11.5107m/s。

（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图9-21所示。

由图中知

r2R2R10.25m2

O O2 图9-21

V22Bqr2BqV2mV21.0107m/sr2得m由

7V1.010m/s 2所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度

带电粒子在有界磁场中运动时，运动轨迹和磁场边界“相切”往往是临界状态，对于解题起到关键性作用。

3．组合边界磁场

题型1-3-1：如图9-24所示，空间分布着有理想边界的匀强电场

d L 和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场

B B 宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸E 面向外。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁O 场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求： （1）中间磁场区域的宽度d;

（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t.

分析与解答：带电粒子在电场中经过电场加速，进入中间区域图9-24 磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，又进入右侧磁场区域做

圆周运动，根据题意，粒子又回到O点，所以粒子圆周运动的轨迹具有对称性，如图9-25画出粒子运动轨迹。

（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：

O12qELmV600 2

O 带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得： OV2BqVmR

OR由以上两式，可得

12mELBq。

图9-25

可见在两磁场区粒子运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角

形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为

dRsin60016mEL2Bq

2V2mV2mL2aqEqE，

t22T2m63qB

t1（2）在电场中

在中间磁场中运动时间

55mt3T63qB， 在右侧磁场中运动时间

tt1t2t32则粒子第一次回到O点的所用时间为

2mL7mqE3qB。

带电粒子从某一点出发，最终又回到该点，这样的运动轨迹往往具有对称性，由此画出运动的大概轨迹是解题的突破点。

题型1-3-2：如图所示，边长为L的等边三角形ABC为两有界匀强磁场的理想边界，三角形内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，三角形外的磁场（足够大）方向垂直纸面向里，磁感应强度大小也为B。把粒子源放在顶点A处，它将沿∠A的角平分线发射质量为m、电荷量为q、初速度为v0的带电粒子（粒子重力不计）。若从A射出的粒子

qBL，第一次到达C点所用时间为t1 mqBL②带负电，v0，第一次到达C点所用时间为t2

2mqBL③带正电，v0，第一次到达C点所用时间为t3

mqBL④带正电，v0，第一次到达C点所用时间为t4

2m①带负电，v0则下列判断正确的是（B ）

A v0 B C A、t1= t3< t2= t4 B、t1< t2< t4 < t3 C、t1< t2< t3< t4 D、t1< t3< t2< t4

mv0BqL

分析与解答：根据带电粒子在磁场中运动的半径公式：R＝可知，当速度v0＝时，

BqmBqL

半径为L，当速度v0＝时，半径为0.5L。如图所示，分别为四种情况下粒子运动的轨迹。

2m

①：粒子从A点经过60°的圆心角的圆弧向右偏转运动

1

到C点，时间为t1＝T，其中T为粒子在磁场中圆周运动的周期；

6

②：粒子从A点经过60°的圆心角的圆弧后进入三角形

外面的磁场中，再经过60°的圆心角的圆弧到达C点，时间为t21＝T； 3

③：粒子从A点经过60°的圆心角的圆弧向左偏转运动

到B点，再从B点经过300°的圆心角的圆弧到达C点，总时间为t3＝T；

④：粒子从A点经过60°的圆心角的圆弧向左进入三角形外面的磁场中，再经过

60°的圆心角的圆弧向右到达B点，从B点经过60°的圆心角的圆弧向上进入三角形内部

2

的磁场中，最后经过60°的圆心角的圆弧向下运动到C点，总时间为t4＝T。

3

因此B选项正确。

4．确定磁场的边界范围

题型1-4-1：如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于

Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。

解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动， qvB=（Mv）/R，得：R=（MV）/（qB）。

根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度

相切。如图13所示，过a点作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R的O′点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆（图中虚线圆）上的圆弧MN，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。 在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为：

2

，

所求磁场区域如图13所示中实线圆所示。

处理这类问题时重点是画出粒子在磁场中运动的轨迹图，确定临界状态的粒子运动轨迹图，找到粒子进出磁场的两个点（即开始和结束弯曲点），再利用轨迹半径与几何关系确定对应的磁场区域的位置。

题型1-4-2：一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。

分析与解答：由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿AB进入磁场而从BC射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示，只要小的一段圆弧PQ能处于磁场中即能完成题中要求；故由直径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线PQ为直径的圆如图中实线圆所示。

由题意知，圆形磁场区域的最小面积为图中实线所示的圆的面积。 ∵△ABC为等边三角形，故图中α＝30°

2rPQ2RCos3则：

mv0qB

Sr故最小磁场区域的面积为

223m2v04q2B2。

根据轨迹确定磁场区域，把握住“直径是圆中最大的弦”。

问题二：与带电粒子的速度大小、方向有关的问题

1、速度大小相同、方向不同的同种带电粒子

题型2-1-1：i如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝mv/Bq。哪个图是正确的？

A

B

RM2R2RN

本题的难点在于不同方向的粒子运动

C

D 的轨迹组成图案。画出若干个不同方向飞出的粒子的轨迹（如图所示），右侧是一个半径为R的半圆，水平向右飞出的粒子的边界；左侧是一个半径为2R的圆的1/4，它是大量不同方向粒子所到达的最远点的集合。故A正确。

题型2-1-2：如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l16cm处，有一个点状的放射源S，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是

v3.0106m/s，已知粒子的电荷与质量之比

q5.0107C/kg，现只考虑在图纸平m面中运动的粒子，求ab上被粒子打中的区域的长度。

分析与解答：粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，

2v用R表示轨道半径，有qvBm ① R由此得Rv

(q/m)B代入数值得R=10cm 可见，2R>l>R.

因朝不同方向发射的粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆

轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是粒子能打中的左侧最远点.为定出P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1. NP1R2(lR)2 ②

再考虑N的右侧。任何粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点.

由图中几何关系得 NP2(2R)2l2 ③

所求长度为 P1P2NP1NP2 ④ 代入数值得 P1P2=20cm ⑤

2、方向相同、速度大小不同的同种带电粒子

题型2-2-1：如图9-8所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？

分析与解答：如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。

图9-8 图9-9 图9-10

粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图9-10所示，作出A、P点速度的垂线相交于O/即为该临界轨迹的圆心。

dR0RR0Cosθd1Cos； 临界半径R0由0 有: 故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0

R即:

mv0dqBdv0qB1Cos 有: m(1Cos) 。

由图知粒子不可能从P点下方向射出EF，即只能从P点上方某一区域射出；

又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG，

且由图知:

PGR0SindcotdSindcot1Cos。

带电粒子在磁场中以不同的速度大小运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解。

题型2-2-2：两屏幕荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别去垂直于两屏交线的直线为x和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点出有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x周经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速

度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2︰5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。

分析与解答：对于y轴上的光屏亮线范围的临界条件如图1所示：带电粒子的轨迹和x=a相切，此时r=a，y轴上的最高点为y=2r=2a ; 对于 x轴上光屏亮线范围的临界条件如图2所示：左边界的极限情况还是和x=a相切，此刻，带电粒子在右边的轨迹是个圆，由几何知识得到在x轴上的坐标为x=2a;速度最大的粒子是如图2中的实线，又两段圆弧组成，圆心分别是c和c’ 由对称性得到 c’在 x轴上，设在左右两部分磁场中运动时间分别为t1和t2,满足 t12 t257t1t2T1215解得t1T t2T 由数学关系得到：3R2a 612OP=2a+R 代入数据得到：OP=2(1+3)a 33)a 3所以在x 轴上的范围是：2ax2(1+（1）画出粒子的轨迹和可到达的区域是解决带电粒子在磁场中运动问题的关键。 （2）在有多种条件的情形下，可采用“控制变量”方法，先不考虑边界，画出可能轨迹图，再结合其他条件判断出其区域范围。

3、速度大小、方向均不同的同种带电粒子。

题型2-3-1：磁谱仪是测量能谱的重要仪器。磁谱仪的工作原理如图所示，放射源Ｓ发出质量为m、电量为q的粒子沿垂直磁场方向进入磁感应强度为Ｂ的匀强磁场，被限束光栏Ｑ在２的小角度内，粒子经磁场偏转后打到与束光栏平行的感光片Ｐ上。（重力影响不计）

（１）若能量在Ｅ∽Ｅ＋ΔＥ（ΔＥ>0，且ΔＥ<<Ｅ）范围内的粒子均垂直于限束光栏的方向进入磁场。试求这些粒子打在胶片上的范围Δx1 .

（2）实际上，限束光栏有一定的宽度，粒子将在２角内进入磁场。试求能量均为Ｅ的粒子打到感光胶片上的范围Δx2

分析与解答：(1)设粒子以速度v进入磁场，打在胶片上的位置距S的距离为x（如图甲）,

v2 圆周运动 Bqvm ①

R 粒子的动能 E122 mv ○

2X =2R ○3

由①○2○3式可得x22mE ○4

qB 由○4可得 x122m(EE)22mE22mEE=5 (11) ○

qBqBqBE1E1n, 由于E <∴ 1E1E1, E2E 由○5化简可得 x12mEE. qBE(2)动能为E的粒子沿 角入射（如图乙）. 轨道半径R相同，R2mE, 由几何关系得 qB22mE42mE(1cos)sin2 本题型可qBqB2 x22R2Rcos看作前面二个题型的组合，充分利用前面二个题型的结论（图形规律），画出本题中粒子的轨迹范围。

问题三：多解性问题

题型3-1-1：如图9-17甲所示，A、B为一对平行板，板长为L，两板距离为d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m，带电量为+q的带电粒子以初速

，从A、B两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求

在

什么范围内，粒子能从磁场出？

分析与解答：粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用，将做匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。要想使粒子能射出磁场区，半径r必须小于d/4（粒子将在磁场中转半个圆周后从左方射出）或大于某个数值（粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方射出）

如图9-17乙所示，当粒子从左边射出时，若运动

图9-17

轨迹半径最大，则其圆心为图中O1点，半径

2v0Bqv0mr 所以由于

。因此粒子从左边射出必须满足。

即:

。

当粒子从右边射出时，若运动轨迹半径最小，则其圆心为图中O2点，半径为

由几何关系可得:

因此粒子从右边射出必须满足的条件是 ，即

所以当或时，粒子可以从磁场出。

易错点分析：本题很容易遗忘转过1800这种情况。

题型3-1-2如图9-15所示，第一象限范围内有垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度

为B。质量为m，电量大小为q的带电粒子在xoy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ=60o，试分析计算：

（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？ （2）带电粒子在磁场中运动时间多长？

图9-15 图9-16

分析与解答：若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O1，粒子向x轴偏转，并从A点离开磁场。若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2，粒子向y轴偏转，并从B点离开磁场。粒子速率一定，所以不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径一定。只要确定粒子的运动轨迹，即可求解。

粒子运动半径：。如图9-16，有

带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为

（1）若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角

A点与O点相距

若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角

B点与O点相距

（2）若粒子带负电，它从O到A所用的时间为

若粒子带正电，它从O到B所用的时间为