概率中的易错题辨析

概率是高中数学的新增内容，是衔接初等数学与高等数学的重要知识。这部分内容由于问题情境源于实际，贴近生活，所以学生乐学且易于接受；但这部分内容由于易混点多，重复、遗漏情况不易察觉等，学生感觉易做但易错。下面我们将学生容易出现的错误列举出来,并加以辨别分析,以期对今后的学习提供帮助。

一、概念理解不清致错

例1．抛掷一枚均匀的骰子，若事件A：“朝上一面为奇数”，事件B：“朝上一面的点数不超过3”，求P（A+B）

错误解法：事件A：朝上一面的点数是1，3，5；事件B：趄上一面的点数为1，2，3，∴P（A+B）=P（A）+P（B）=

363612

错因分析：事件A：朝上一面的点数是1，3，5；事件B：趄上一面的点数为1，2，3，很明显，事件A与事件B不是互斥事件。

即P（A+B）≠P（A）+P（B），所以上解是错误的。实际上： 正确解法为：A+B包含：朝上一面的点数为1，2，3，种情况 ∴P（A+B）=

4623

错误解法2：事件A：朝上一面的点数为1，3，5；事件B：朝上一面的点数为1，2，3，即以A、B事件中重复的点数1、3

∴P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）

=

1212121234

26错因分析：A、B事件中重复点数为1、3，所以P（A·B）=；这种错误解法在于简

单地类比应用容斥原理Card(AB)Card(A)Card(B)Card(AB)致错

正确解答：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）

=

12122623

1,(当第n次掷出偶数)1,(当第n次掷出奇数)例2．某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列{an}，使anSna1a2an 求Si0(i1,2,3,4)且S82的概率。

，记

错解：记事件A：S82，即前中，5项取值1，另3项取值－1 ∴S82的概率P(A)C85()8

21记事件B：Si0(i1,2,3,4)，将Si0(i1,2,3,4)分为两种情形： （1）若第1、2项取值为1，则3，4项的取值任意

（2）若第1项为1，第2项为－1，则第3项必为1第四项任意

∴P（B）=()2()3221138

185C8() 823∴所求事件的概率为P=P（A）·P（B）=

错因分析：Si0且S82是同一事件的两个关联的条件，而不是两个相互事件。

Si0对S82的概率是有影响的，所以解答应为：

正解：∵Si0(i1,2,3,4) ∴前4项的取值分为两种情形

38①若1、3项为1；则余下6项中3项为1，另3项为-1即可。即P1C6()；

12②若1、2项为正，为避免与第①类重复，则第3项必为-1， 则后5项中只须3项为1，余下2项为-1，即P2C53()8，

21∴所求事件的概率为P(C63C53)()8211527

二、有序与无序不分致错

例3．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙依次各抽一题。 求：（1）甲抽到选择题，乙提到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？

1错误解法：（1）甲从选择题抽到一题的结果为C6

1乙从判断题中抽到一题的结果为C4

2而甲、乙依次抽到一题的结果为C10

∴所求概率为：

C6C42C1011815

2错因分析：甲、乙依次从10个题目各抽一题的结果，应当是先选后排，所以应为A10。

1为避免错误，对于基本事件总数也可这样做：甲抽取一道题目的结果应为C10种，乙再抽取

1余下的9道题中的任一道的结果应为C9种，所以

正确解答：

C6C41C10111C9415

（2）错误解法：从对立事件考虑，甲、乙都抽到判断题的结果为C42种，所以都抽到判断题的概率为

C41C1021C9115，所求事件的概率为11151415

错因分析：指定事件中指明甲、乙依次各抽一题，那么甲、乙都提到判断题的结果应为

C114C3种，所以所求事件概率应为1C4C31C10111C9215

说明：对于第（2）问，我们也可以用这样解答：

1C42C102215，这里启示我们，当基本事件是有序的，则指定事件是有序的（指定事件

包含在基本事件中）；当基本事件是无序的，则指定事件也必无序。关键在于基本事件认识角度必须准确。

例4．已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率。

错解1：将8支球队均分为A、B两组，共有C84C44种方法：A、B两组中有一组恰有两支弱队的分法为：先从3支弱队取2支弱队，又从5支强队取2支强队，组成这一组共有C52C32种方法，其它球队分在另一组，只有一种分法。

∴所求事件的概率为：

C5C22244C8C437。

错因分析：从基本事件的结果数来看，分组是讲求顺序的，那么指定事件：“A、B组中有一组有2支弱队”应分为两种情形。即“A组有”或“B组有”，所以正确解答为：

正解：

2C5C244C8C42267或

C5C244C8C4222A2/67

说明：这道题也可从对立事件求解：

113支弱队分法同一组共有：C5C5种结果。

∴所求事件概率为1C5C4C8C41167

三、分步与分类不清致错

例5．某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，试问他恰在第3次打开房门的概率？

错误解法：由于此人第一次开房门的概率为率应为

14115，若第一次未开，第2次能打开房门的概

；所以此人第3次打开房门的概率为。

3错因分析：此人第3次打开房门实际是第1次未打开，第2次未打开，第3次打开“这三个事件的积事件” ，或者理解为“开房门是经过未开、未开、开”这三个步骤，不能理解为此事件只有“开房门”这一个步骤，所以，正确解答应为：

正解：第1次未打开房门的概率为；第2次未开房门的概率为；第3次打开房门

43的概率为

13，所求概率为：P45341315。

例5．某种射击比赛的规则是：开始时在距目标100m处射击，若命中记3分，同时停止射击。若第一次未命中，进行第二次射击，但目标已在150m远处，这时命中记2分，同时停止射击；若第2次仍未命中，还可以进行第3次射击，此时目标已在200m远处。若第3次命中则记1分，同时停止射击，若前3次都未命中，则记0分。已知身手甲在100m处击中目标的概率为

12，他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是

的。求：射手甲得k分的概率为Pk，求P3，P2，P1，P0的值。

：设射手射击命中目标的概率P与目标距离x之间的关系 为Pkx2，由已知

1212k1002k5000

错误解法：P3P2P15000150500020022

2918

29)(118)49144P0(112)(1

错因分析：求P2时，将第150m处射击命中目标的概率作为第2次命中目标的概率，隔离了第1次射击与第2次射击的关系，实际上，第2次射击行为的发生是在第1次未击中

的前提下才作出的。

∴P2应为“第1次未击中，第2次击中”这两个事件的积事件的概率。求P1时也如此。

正解：P312

121212)29292919)P2(1P1(1P0(1

187144))(1)(1

49144)(118

四、考虑不周致错

例6．某运动员射击一次所得环数x的分布列如下：

x 7 8 9

10 P 0.2 0.2 0.2 0.2

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为，求：的分布列。

错误解法：的取值为8，9，10。=7，两次环数为7,7；=8，两次成绩为7，8或8，8；=9，两次成绩7，9或8，9或9，9；=10，两次队数为7，10或8，10或9，10或10，10。

∴P(7)0.20.20.04

P(8)0.20.30.30.15

22P(9)0.20.30.30.30.30.23

P(10)0.20.30.20.30.30.220.2

（分布列略）

错因分析：

8，即两次成绩应为7，8或8，7或8，8实际为三种情形，

2P(8)20.20.30.30.21

9两次环数分别为7,9（或

29,7）；8,9（或9,8），9.9 ∴

P(9)20.20.320.30.30.30.39

同理P(10)0.12220.30.240.220.36

例7．将n个球等可能地放入到N（n×n）个有编号的盒子中（盒子中容纳球的个数不限）。求A：某指定的n个盒子中恰有一球的概率。

错误解法：将n个球等可能地放入到N个盒子中，共有N种方法。 而指定的n个盆中各有一球的放法有：n!种，则所求概率：P(A)n!Nmn

错因分析：这种解法不全面，如果球是有编号的，则答案是对的。若球是不可辨认的，则答案错了，若球是不可辨认的，则若考虑盒子中球的个数而不考虑放的是哪几个球，为此，我们用“□”表示一个盒子；用“○”表示一个球，先将盒子按编号

1 2 3 4 5 n 把n个球放入N中盒子中，形如：1010011„„10001，正好看作N+1个“1”和n个“0”n的全排列。由于两边必为“1”所以排法只有CNn1种；而指定的n个盒子中恰有一球的放

法只有1种，故P(A)1CnNn1n!(N1)!(Nn1)!

五、混淆“互斥”与“”出错

例8．甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中概率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？

错解：设“甲恰好投中2次”为事件A，“乙恰好投中2次”为事件B，则两人恰好投中2次为A+B。

所以P（A+B）=P（A）+P（B）=C320.820.2C320.720.30.825。

错因分析：本题解答错误的原因是把相互同时发生的事件当成互斥事件来考虑。将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和。

正解：设“甲恰好投中2次”为事件A，“乙恰好投中2次”为事件B，则两人恰好都投中2次为AB。

所以P（AB）=P（A）×P（B）=C320.820.2C320.720.30.169

六.混淆有放回与不放回致错

例9．某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求： （1）恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；

（2）恰好到第k次3只次品全部被测出的概率f(k)的最大值和最小值。 错解：（1）P（A）=（2）P5(3)C5331031027511 9876144310)0.21。

2(1错因分析：错解（1）的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不的；而错解（2）的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的（比前一次少一个）。

正解：（1）PC3C7A443124A1035120

（2）PC43C431k337A4k13k11240(k1)(k2),(3k10,kZ) 1当k3时，[f(k)]minf(3)120310； 。

当k3时，[f(k)]maxf(10)