两条直线的位置关系与点到直线的距离(有答案精品绝对好)

两条直线的位置关系与点到直线的距离(20131126)讲义

1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． (2)两条直线垂直

①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1. ②如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直． 2．两直线相交

A1x＋B1y＋C1＝0，

交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一

A2x＋B2y＋C2＝0

对应．

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．三种距离公式

(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2. |Ax0＋By0＋C|

(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. A2＋B2(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝4.两条直线的夹角.

设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1到l2的角为α，l1与l2的夹角为β，则tan 一条规律

与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：

一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0. 两个防范

(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． (2)在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2时，一定要注意将两方程中的x，y系数化为分别相等． kkk2k1，tan21.

1k2k11k2k1|C1－C2|

. A2＋B2 1

三种对称

(1)点关于点的对称

点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)． (2)点关于直线的对称

设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点P′(x′，y′)，

则有y′＋yx′＋x＝k·＋b，2200y′－y0·k＝－1，x′－x0

可求出x′，y′.

特别说明:P(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点是

(B2A2)x02ABy02AC(A2B2)y02ABx02BC,22ABA2B2. (3)直线关于直线的对称

①若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；②若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线． 例1 经过A(2,0)，B(5,3)两点的直线的斜率是____________，倾斜角是_______．

考向一 两条直线平行与垂直的判定及应用

【例2】►(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________.

(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的( )．

A．充分必要条件 C．必要不充分条件

例3直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是（ ） A．3x2y10 B．3x2y70 C．2x3y50 D．2x3y80

2

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

例4 已知过点A(2,m)和点B(m,4)的直线与直线2xy10平行，则m的值为（ ） A．0 B．8 C．2 D．10

【训练1】 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得： (1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合．

考向二 两直线的交点

【例5】►求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．

【训练2】 直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．

考向三 距离公式的应用

例6、求点P(3,2)到下列直线的距离： （1）3x4y10；（2）y=6；（3）y轴。

3

2的直线方程。 2例7、求过点A(1,2)且与原点的距离为

【例8】若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.

【例9】 求经过点P(2，3)且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为5的直线方程.

例10、已知A(4,3),B(2,1)，直线l：4x3y20，求一点P使|PA||PB|且点P到l的距离等于2。

例11 已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点．若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程．

4

【训练3】 已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为 5，求直线l1的方程．

考向四 两条直线的夹角.

例12 若直线l:ykx3与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）

,,,,6362326 B． C． D．2 A．

例13若直线m被两平行线

l1:xy10l2:xy30与

所截得的线段的长为22，则m的倾斜角

可以是（ ）（写出所有正确答案的序号）． ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75

考向五 对称问题

【例14】►光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．

5



【例15】 一条光线经过点P(2，3)，射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1，1). (1)求光线的入射线方程； (2)求这条光线从P到Q的长度.

【训练4】 已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )．

A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0

难点突破——两直线平行与垂直问题的求解策略

【例14】 已知三条直线l1：2x-y+a=0(a>0)，直线l2：-4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2的距离是

75. 10(1)求a的值；

(2)求l3到l1的角θ；

(3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是

1P点l2的距离的；③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是2∶5；若能，求P点坐标；若不

2 6

能，说明理由.

【示例17】若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.

【示例18】已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )． A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2

课内练习

1．直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为( )． 4

A．－3 B．－3 C．2 D．3 2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )． A．1 B.3 C．2 D.5

3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )． A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 4．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )．

7

D．x＋2y－1＝0

A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1) C．(－a，－b) D．(－b，－a) 5．平行线l1：3x－2y－5＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为________．

6．“a2”是“直线ax2y0平行于直线xy1”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 在直线x3y20上求两点，使它与点(2,2)构成等边三角形的三个顶点。

8．已知点A(1,3),B(3,1),C(1,0)，求△ABC的面积．

9．已知两直线l1：x+m2y+6=0， l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合. 

两条直线的位置关系与距离(20131126)讲义课后作业

本试卷共18题，时间60分钟，满分100分）

班级： 姓名：

一、基础夯实

1.点(0，5)到直线y=2x的距离是 ( ) A.

553 B.5 C. D.

2222.已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为

，那么m值为( )  41111A. -或-3 B. -或3 C. 或3 D.或-3

3333 8

3.若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4交点在第一象限内，则实数k的取值范围是( ) A. (-222，+∞) B.(-∞，2) C.(- ，2) D.(-∞，- )∪(2，+∞) 333A1A2AA=-1 D. 12=1 B1B2B1B24.两条直线A1x+B1y+C1=0，及A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是( ) A. A1A2+B1B2=0 B.A1A2=B1B2  C.

5.如果直线ax-y+2=0与直线3x-y-b=0关于直线x-y=0对称，那么，a、b值为( )

11A.a=，b=6 B. a=，b=-6 C. a=3，b=-2  D. a=3，b=6

331106.过两直线y=-x+和y=3x的交点，并与原点相距为1的直线有( )

33A. 0条 B. 2条 C. 1条 D. 3条

二、思维激活

7.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a= c= m= . 8.p，q满足2p-q+1=0，则直线px+2y+q=0必过定点 . 三、能力提高

9.已知直线l与点A(3，3)和B(5，2)的距离相等，且过两直线l1：3x-y-1=0和l2：x+y-3=0的交点，求直线l的方程.

10.直线l过点(1，0)，且被两平行线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9，求直线l的方程.

11、若三条直线xy10,2xy80和ax3y50只有两个不同的交点，

求实数a的值。

12. 已知A（0，3），B（-1，0），C（3，0）求D点的坐标，使四边形ABCD是等腰梯形。

9

13. 直线l1过点A5　 ， 0，l2过点B0 ， 1，l1//l2,且l1与l2之间的距离是5，求l1和l2的方程。

14. 已知△ABC的顶点A（3，－1），AB边上的中线所在直线的方程为3x7y190，AC边上的高所在直线的方程为6x5y150.求BC边所在直线的方程.

15、如图，某房地产公司要在荒地上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一栋八层公寓，问如何设计才能使

2

面积最大？并求面积的最大值（精确到1m）

2013年秋季高二A数学(131117)第十一讲课后作业解答

1.B 直接利用公式计算.

m(2)2.B k1=-2， k2=mtan得：|2m-1|=|m+2|解之即得.

4|12m|2k2kx0ykxk22k2k得3.C 解方程组 由46ky2x4y46k02k2k2k22k2. 23k3或k24.A 当l1，l2分别与坐标轴垂直时，C答案不满足.

1125.A 因直线ax-y+2=0关于直线y=x的对称直线为ay-x+2=0，故x-ay-2=0与3x-y-b=0重合，故==，∴

3ab1a=，b=6. 36.B 交点P为(1，3)，单位圆的两条切线.

10

7. a=10，c=-12，m=-2 两直线垂直，所以-故104m20m2. 25mc0c12a2=-1a=10，又两直线都过点(1，m)， 458.由2p-q+1=0直线为px+2y+(2p+1)=0 (x+2)·p+(2y+1)=0， x2x201令得1故定点为2,.

22y10y29.解方程组：3xy10得交点C(1，2)，

xy30当A、B两点在l的同侧时， l∥AB，而kAB=

1321，故l为：y-2=-·(x-1)，即：x+2y-5=0. 352252y225当A、B两点在l异侧时，则l过线段AB中点(4，)，由两点式知l方程为化之x-6y+11=0. x1412综上所述知，l的方程是：x+2y-5=0或x-6y+11=0.

10.如图所示，当l的斜率不存在时， l方程为x=1它与两平行线交 点为(1，3)和(1，-6)，其距为|3-(-6)|=9符合题意. 当l的斜率存在时，设l：y=k(x-1)，由及 yk(x1)

3xy60yk(x1)，解得l与两平行直线的交点分别为

3xy30k63kk36k,,及. k3k3k3k34499k2故由=9，得：k=-故此时l：y=-(x-1)， 即4x+3y-4=0.

33k3k322综上所述知，l的方程为：4x+3y-4=0或x=1.

11、若三条直线xy10,2xy80和ax3y50只有两个不同的交点，

求实数a的值。

解：若直线xy10平行于直线ax3y50，则a3；

若直线2xy80平行于直线ax3y50，则a6； 综上，a3或a6。

12. 已知A（0，3），B（-1，0），C（3，0）求D点的坐标，使四边形ABCD是等腰梯形。

解：如图，设D（x，y），若AB∥CD D2 A 则KAB=KCD，且|AD|=|BC|即： 30y0 ① 01x32

2

2

x+（y-3）=|3+1| ② 由①②得D（

-1 B O D1 C 163,） 55若AD∥BC，则KAD=KBC且|AB|=|CD|

11

y30 ③ x02

2

2

2

（x-3）+y=1+3 ④ 解③④得D（2，3）。 故D点的坐标是（

163,）或（2，3）。 5513. 直线l1过点A5　 ， 0，l2过点B0 ， 1，l1//l2,且l1与l2之间的距离是5，求l1和l2的方程。 解：当l1、l2与x轴垂直时，l1：x＝5，l2：x＝0 满足题意 当l1、l2与x轴不垂直时，设l1：y=k(x-5)，l2：y=kx+1 由l1、l2与间的距离为5，得

15k1k25 解之得 k=

12 5则l1：y=

1212(x-5)，l2：y=x+1 55即 所求的直线方程为 l1：12x-5y-60=0 ，l2：12x-5y+5=0

或l1：x＝5，l2：x＝0

14. 已知△ABC的顶点A（3，－1），AB边上的中线所在直线的方程为3x7y190，AC边上的高所在直线的方程为6x5y150.求BC边所在直线的方程. 解：由题意得kAC点坐标（－3，4）

6x15y1150设B(x1,y1),则解得B（5，3） 3x7y36011555x6y90，直线AC的方程为y1(x3)即5x6y90，由 解得C663x7y190由B、C两点坐标求得BC的方程为x8y290

15、某房地产公司要在荒地上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一栋八层公寓，问如何设计才能使面积最

2

大？并求面积的最大值（精确到1m）

解：在线段AB上任取一点p，作垂线CD、DE，则AB的方程为

xy21，设p(x,20-x), 302032则S=(100-x)[80-(20-x)] (0≤x≤30)

32220得sxx6000 (0≤x≤30)

3350配方得：x=5，y=时S取最大值6017平方米

3

12

老师讲义

2013年秋季高二A数学(131117)第十一讲

两条直线的位置关系

1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． (2)两条直线垂直

①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1. ②如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直． 2．两直线相交

交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0，的解一一对应． A2x＋B2y＋C2＝0

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．三种距离公式

(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2. (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝

|Ax0＋By0＋C|

. 22A＋B

|C1－C2|

. A2＋B2

(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝

4.两条直线的夹角.

设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1到l2的角为α，l1与l2的夹角为β，则tankkk2k1，tan21.

1k2k11k2k1

一条规律

与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：

一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.

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两个防范

(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． (2)在运用两平行直线间的距离公式d＝等． 三种对称

(1)点关于点的对称

点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)． (2)点关于直线的对称

设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点P′(x′，y′)， y′－y0k＝－1，x′－x0·则有

y′＋y0x′＋x0＝k·22＋b，

|C1－C2|时，一定要注意将两方程中的x，y系数化为分别相A2＋B2

可求出x′，y′.

特别说明:P(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点是

(B2A2)x02ABy02AC(A2B2)y02ABx02BC,22ABA2B2. (3)直线关于直线的对称

①若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；②若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线．

例1 经过A(2,0)，B(5,3)两点的直线的斜率是____________，倾斜角是_______．

解：经过A(2,0)，B(5,3)两点的直线的斜率k301，故倾斜角为135．

5(2)y2y1，

x2x1归纳小结：本题考查过已知两点的斜率和倾斜角．解题关键是准确应用过两点的斜率计算公式k并理解斜率和倾斜角之间的内在关系，ktan．

考向一 两条直线平行与垂直的判定及应用

【例2】►(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________. (2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的( )．

14

A．充分必要条件 C．必要不充分条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

[审题视点] (1)利用k1·k2＝－1解题．(2)抓住ab＝4能否得到两直线平行，反之两直线平行能否一定得ab＝4.

解析 (1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1.

2b1

(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－a＝－2且－a≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件． 答案 (1)－1 (2)C

(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两

条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．

(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.

②设l1：A1 x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 则：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. (3)注意转化与化归思想的应用．

例3（2009安徽卷）直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是（ ） A．3x2y10 B．3x2y70 C．2x3y50 D．2x3y80

2解：直线2x3y40的斜率为3． 因为所求直线与直线2x3y40垂直，

3所以，所求直线的斜率为2．

线过点

1,2，由点斜式得直线方程为

y23x(1))2，

即3x2y10．

归纳小结：两条直线垂直是两条直线位置关系中的特殊情况，也是高考的考察重点内容．当两条直线垂直且斜率存在时，其对应的斜率乘积等于1．本题先由直线的互相垂直关系，求出所求直线的斜率，再由点斜式求出了直线方程．注意体会方程思想，同时，要注意，直线方程的确定要根据具体情况，选择合适的形式．

例4 已知过点A(2,m)和点B(m,4)的直线与直线2xy10平行，则m的值为（ ）

15

A．0 B．8 C．2 D．10 解：过点A(2,m)和点B(m,4)的直线的斜率为

kAB4m4mm(2)m2．

直线2xy10可变形为y2x1，故其斜率为2． ∵过点A(2,m)和点B(m,4)的直线与直线2xy10平行，

4m2m2∴． 解得 m8 ． 故B为正确选项．

归纳小结：两条直线平行，是两条直线位置关系中的特殊情况，也是高考考查的重点．本题要先由两点坐标表示出对应直线的斜率，再由两条直线平行，斜率相等，建立关于m的方程，通过解方程得到问题的答案． 本题的解题过程，充分体现了解析几何的本质：用代数方法研究图形的几何性质． 要认真体会数形结合思想及方程思想．

【训练1】 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得： (1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合． 解 (1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0， 解得m≠－1且m≠3.

故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交． 1(2)当1·(m－2)＋m·3＝0，即m＝2时，l1⊥l2.

(3)当1×3＝m(m－2)且1×2m≠6×(m－2)或m×2m≠3×6，即m＝－1时，l1∥l2. (4)当1×3＝m(m－2)且1×2m＝6×(m－2)，即m＝3时， l1与l2重合．

考向二 两直线的交点

【例5】►求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．

[审题视点] 可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解． 3x＋2y－1＝0，解 法一 先解方程组

5x＋2y＋1＝0，得l1、l2的交点坐标为(－1,2)， 35

再由l3的斜率5求出l的斜率为－3， 于是由直线的点斜式方程求出l：

16

5

y－2＝－3(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.

法二 由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1， 故l的方程为5x＋3y－1＝0.

法三 由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0. 其斜率－

3＋5λ51

＝－3，解得λ＝5， 2＋2λ

代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.

运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：

(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是： Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；

(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；

(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

【训练2】 直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．

解 法一 设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，4x0＋y0＋3＝0，并且满足

3－2－x－54－y－5＝0，004x0＋y0＋3＝0，x0＝－2，

即解得 3x0－5y0＋31＝0，y0＝5，

y－2x－－1

因此直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0.

5－2－2－－1法二 设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. kx－y＋k＋2＝0，－k－5由得x＝. k＋44x＋y＋3＝0，kx－y＋k＋2＝0，－5k－15

由得x＝. 5k－33x－5y－5＝0，则

－k－5－5k－15

＋＝－2，解得k＝－3. k＋45k－3

17

因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0. 法三 两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，① 将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)， 整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程： (4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.② ①－②整理得3x＋y＋1＝0. 考向三 距离公式的应用

例6、求点P(3,2)到下列直线的距离： （1）3x4y10；（2）y=6；（3）y轴。

解：（1）由点到直线的距离公式得d|334(2)1|32(4)218。 5（2）因为直线y=6平行于x轴，所以d|6(2)|8。 （3）d|3|3。

点评：此题给出了三种形式，目的在于展示求点到直线的距离不要死套公式，要习惯于用特殊的方法加以解决。 例7、求过点A(1,2)且与原点的距离为

2的直线方程。 2解：设直线方程为y2k(x1)，则kxy2k0 |2k|k212，解得k1或k7。 2故所求的直线方程为xy10或7xy50。

【例8】►(2011·北京东城模拟)若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.

[审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a.

|4a－a2＋6|62解析 由题意，得26，解之得a＝0或－2或4或6. 4＝24，即4a－a＋6＝±a＋aa＋a检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6. 答案 －2或4或6

用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的

符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．

【例9】 求经过点P(2，3)且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为5的直线方程.

【解前点津】 画图可知，所求直线有两条，选择应用夹角公式，

18

可“避免讨论”.

7322【规范解答】 |AC|=34=2，∵|AB|=5在Rt△ABC中，

求出|BC|=1，则tan∠ABC=2. 设所求直线斜率为k，则∴x-2y+4=0，11x-2y-16=0为所求.

3k431k4111=2解之：k=2或2.

【解后归纳】 本题利用了图形的性质，重视利用数形结合的方法，从而发现解题思路.

例10、已知A(4,3),B(2,1)，直线l：4x3y20，求一点P使|PA||PB|且点P到l的距离等于2。

解：设点P的坐标为（a,b）。

由A(4,3),B(2,1)，得线段AB中点M的坐标为(3,2)，而AB的斜率kAB1，所以线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50。 点P(a,b)在直线xy50上，故ab50。 由已知点P到l的距离为2，得

|4a3b2|34222。

27aab50a17,解得或∴

4a3b210b48b7278所以P(1,4)或P,为所求的点。

77点评：这里点到直线的距离公式只起到了方程的作用。

例11 已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点．若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程．

19

2xy50,解法一：由x2y0, 得交点P(2,1)．

若直线l的斜率不存在，则l的方程为x2，显然满足题意． 若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为

ykx(12k)．

d5k12kk123由点到直线的距离公式得

k．

解得

43．所以，直线l的方程为4x3y50．

∴l的方程为x2或4x3y50．

解法二：经过两已知直线交点的直线系方程为

(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50．

10553∴(2)(12)22，

2即2520，∴2或

12．

∴l的方程为x2或4x3y50．

归纳小结：本题考查两直线的交点坐标及直线方程． 已知直线过一点求直线方程一般采用点斜式，但如果对直线斜率概念理解不清，容易忘记验证斜率不存在的直线． 本题也可用过两直线交点的直线系方程来解． 两种方法，都体现了先设后求的待定系数和方程思想．要注意提高解简单绝对值方程及无理方程的能力．

另外，一题多解，既可拓展解题思路，提高灵活应变的能力，又可加深对所学知识的深刻理解，在平时的学习中应有意识地加以练习．

【训练3】 已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为 5，求直线l1的方程．

m＝4，m＝－4，m8n

解 ∵l1∥l2，∴2＝m≠，∴或

－1n≠－2n≠2.

(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0.∴解得n＝－22或n＝18.

20

|n＋2|

＝5，

16＋

所以，所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.

(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0，∴得n＝－18或n＝22.

所以，所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0. 考向四 两条直线的夹角.

例12 若直线l:ykx3与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）

,,,,A．63 B．62 C．32 D．62

|－n＋2|

＝5，解

16＋

解：直线l:ykx3恒过定点C(0,3)． 直线2x3y60与x轴和y轴的交点设为A,B， 则A,B两点的坐标分别为(3,0)，(0,2)．

kCA0(3)3303，对应的倾斜角为6，

直线CA的斜率为

直线CB与x轴垂直，对应的倾斜角为2．故B为正确选项．

归纳小结：本题考查直线的倾斜角与斜率，认识到直线l:ykx3是过定点C(0,3)的直线系是问题解决的关键． 通过特殊位置的研究，得到问题的答案，充分体现了数形结合的思想方法，同时对计算能力和三角函数的基础知识也有一定要求． 例13（2009全国卷Ⅰ）若直线m被两平行线

22，则m的倾斜角可以是（ ）

l1:xy10与

l2:xy30所截得的线段的长为

①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75

其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号） 解析：如下图

21



30

正确答案①或⑤

归纳小结：本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离等知识，具有一定的综合性，突出考查数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，特别要注意平面几何知识的应用． 考向五 对称问题

【例14】►光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．

[审题视点] 设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则直线A′D′经过点B与C. 解 作出草图，

如图所示．设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为＝

x－1

，即10x－3y＋8＝0. 1＋2

解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知

22

y－66＋4

点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．

【例15】 一条光线经过点P(2，3)，射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1，1). (1)求光线的入射线方程； (2)求这条光线从P到Q的长度.

【解前点津】 先求出Q关于直线l的对称点Q′的坐标，从而可确定过Q，Q′的直线方程. 【规范解答】 (1)设点Q′(x′，y′)为Q关于直线l的对称点，且QQ′交l于M点，∵k1=-1，∴kQQ′=1，∴QQ′所在直线方程为x-y=0.

xy10由xy0得11(1x)221(1y)122M

11,坐标为22，又∵M

为QQ′中点，故由

Q′(-2，-2).

设入射线与l交点为N，且P，N，Q′共线，得入射线方程为：

y2x23222，即5x-4y+2=0.

(2)∵l是QQ′的垂直平分线，因而：|NQ|=|NQ′|， ∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|=

(32)2(22)241，

即这条光线从P到Q的长度是41.

【解后归纳】 无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的问题，关键在于掌握点关于直线的对称点的求法.

【训练4】 已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )．

A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0

解析 l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又x＋0y－2

2－2－1＝0，

易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则y＋2

x×1＝－1，x＝－1，

得即(1,0)、(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0. y＝－1.答案 B

23

难点突破19——两直线平行与垂直问题的求解策略

从近两年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有参数，问题的难点就是确定这些参数值，方法是根据两直线平行、垂直时所满足的条件列关于参数的方程(组)，通过解方程(组)求出参数值，但要使参数符合题目本身的要求，解题时注意直线方程本身的．

【例14】 已知三条直线l1：2x-y+a=0(a>0)，直线l2：-4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与

7510l2的距离是.

(1)求a的值； (2)求l3到l1的角θ；

(3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是

1P点l2的距离的2；③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是2∶5；若能，求P点坐标；若不

能，说明理由.

【解前点津】 求解本题用到三个公式：平行线间的距离公式，直线到直线的“到角”公式，点到直线的距离公式.

75171a221022【规范解答】 (1)由l2：2x-y-2=0，∴l1与l2的距离d=2(1)，化简得：，∵

1a2a>0，∴a=3.

(2)由(1)，l1：2x-y+3=0k1=2，而k3=-1，∴tanθ=∵0≤θ≤π，∴θ=π-arctan3.

(3)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1， l2平行的直线L：2x-y+c=0上，

c312ck1k32(1)1k1k312(1)=-3，

且

511135，即c=2或c=6.

121113∴2x0-y0+2=0或2x0-y0+6=0.

若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有：

2x0y035 24

25x0y012，即：|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，∴x0-2y0+4=0，或3x0+2=0，由P在第一象

限，∴3x0+2=0不可能，由方程组：

13x032x0y0021yx02y04002

111x02x0y009得6x02y040y37018 由

，舍去，

∴P即为同时满足三个条件的点.

【解后归纳】 (3)属于“存在性问题”的解答，往往从“假设存在入手”，推出某种结论(肯定的或否定的)，然后检验这种结论是否满足题设中的各条件.

【示例17】► (2011·浙江)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.

【示例18】► (2010·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )．

A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2

25

课内练习

1．直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为( )． 4

A．－3 B．－3 C．2 D．3 a2

解析 由－2×3＝－1，得：a＝3.

答案 D

2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )． A．1 B.3 C．2 D.5 解析 d＝答案 D

3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )． A．x－2y－1＝0 C．2x＋y－2＝0

B．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0

|－5|

2＝5. 1＋2

1

解析 ∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线斜率k＝2，排除C、D.又直线过点(1,0)，排除B，故选A. 答案 A

4．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )． A．(－a－1，－b－1) C．(－a，－b)

B．(－b－1，－a－1) D．(－b，－a)

解析

y′－bx′－a×－1＝－1，

设对称点为(x′，y′)，则

x′＋ay′＋b2＋2＋1＝0，

解得：x′＝－b－1，y′＝－a－1. 答案 B

5．平行线l1：3x－2y－5＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为________． 3

－5－2313

解析 直线l2变为：3x－2y＋2＝0，由平行线间的距离公式得：d＝＝. 2223＋2答案

26

13

2

6．（2007年天津卷）“a2”是“直线ax2y0平行于直线xy1”的（ ）

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：①当a2时，直线ax2y0为2x2y0，斜率为1，

直线xy1的斜率亦为1．即当a2时，两条直线的斜率相等，故两条直线平行． “a2”是“直线ax2y0平行于直线xy1”的充分条件． 直线xy1的斜率为1，

②当直线ax2y0平行于直线xy1时，

ax2y0斜率必存在且等于-1．即，a1，a2． 2所以，“a2”是“直线ax2y0平行于直线xy1”的必要条件．

归纳小结：本题主要考查了两条直线的位置关系及充要条件的判定，关键是把握好充要条件判定的方法及两条直线平行的条件．

7. 在直线x3y20上求两点，使它与点(2,2)构成等边三角形的三个顶点。

解：点(2,2)到直线x3y20上的距离为d|262|1010，即等边三角形的高为10。由此得等

边三角形的边长为

230。 3设此三角形在直线x3y20上的一个顶点坐标为(x0,y0)，则x03y02，所以其坐标为

(3y02,y0)。于是有[3y02(2)]2(y02)2403，整理解得y01，所以x013。

333和13,13。 13,1故所求两点为33点评：这里点到直线的距离公式是代数向几何转化的桥梁。 8． 已知点A(1,3),B(3,1),C(1,0)，求△ABC的面积．

解：设AB边上的高为h，则SABC1ABh． 2AB(31)2(13)222,

AB边上的高为h就是点C到AB的距离．

y3x1， AB边所在的直线方程为

1331即xy40．

27

点C(1,0)到xy40的距离

h1041212515因此，SABC225．

222

归纳小结：本题考查两点间的距离、直线方程及点到直线的距离等知识，有一定的综合性．解题关键是确定一边长及对应的高．由两点间的距离公式，我们不难求出边长，由已知点的坐标，两点式易得直线方程，再用点到直线的距离公式，求出点到直线的距离，问题可解．要注意体会，数形结合既是思想，也是方法．

9．已知两直线l1：x+m2y+6=0， l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.

【解前点津】 对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要条件”. 【规范解答】 当m=0时， l1：x+6=0， l2：x=0l1∥l2，

当m≠0时，则化为斜截式方程：l1：y=-①当-1m21m2x-

6m2，l2：y=

2m2x， 3m3≠

2m即m≠-1，m≠3时， l1与l2相交. 3m2m13mm2②当，即m=-1时l1∥l2.

6223m2m123m③当m，即m=3时， l1与l2重合.

6223m综上所述知：①当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交，②当m=-1或m=0时，l1∥l2，③当

m=3时， l1与l2重合.

【解后归纳】 判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为“斜截式”，若y的系数含有参数，则必须分类讨论.

28

7.3两条直线的位置关系（1）（平行与垂直）

1．若直线l1：ax+2y+6＝0与直线l2：x+(a－1)y+(a2－1)=0平行但不重合，则a等于――－( )

2

A．－1或2 B．－1 C． 2 D． 32．若l1与l2为两条不同直线，则下列命题中正确的个数是――――――――――――－( ) ①若l1∥l2，则斜率k1＝k2，②若斜率k1＝k2，则l1∥l2， ③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，④若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 A．1 B．2 C． 3 D． 4

3．直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是 ――――――――――( )

A1 A2B1 B2

A．A1 A2+ B1 B2＝0 B．A1 A2－B1 B2＝0 C． ＝－1 D． ＝1

B1 B2A1 A24．若直线ax+2y+6＝0和直线x+a(a+1)y+(a2+1)＝0垂直，则a的值为――－――－―－( )

313

A．0或－ B 0或－ C．－ D． 0

222

5．若原点在直线l上的射影（作垂线后的垂足）为P(2，－1)，则直线l的方程为_______________．

6．已知直线Ax+4y－2＝0和直线2x－5y+C＝0垂直且垂足的坐标为(1，m),则A＝_________，C＝________，m＝_________．

7．①过点A(3，2)，且与直线4x+y－5＝0平行的直线方程是____________________．

②经过点C(2，－3)，且平行于过两点M(1，2)和N(－1，－5)的直线方程是_________________． ③经过点B(3，0)，且与直线2x+y－5＝0垂直的直线方程是_____________________． 8．已知两点A(7，－4)．B(－5，6)，求线段AB的垂直平分线的方程． 9．求过点M (3，－4)，与A(－1，3)，B(2，2)两点等距离的直线方程．

10．求平行于直线2x－y+3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形的面积为9的直线方程．

29

7.3两条直线的位置关系（2）（到角与夹角）

1．已知直线l1：3x－3 y+7＝0与直线l2：x－3 y－2=0则l1 到l2的角等于――――( )

A．30° B．60° C． 120° D． 150° 2．若l1与l2：2x+y－3=0的夹角是45°，则l1的斜率是 ―――――――――――――( )

1111

A．－ B． C． －3或 D． 3或 －

33333．两直线kx+y－1=0和直线x+ky+1=0互相平行，则k的值为 ―――――――――――( ) A．k=1 B k=－1 C． k=1或k=－1 D． k=0或k=±1 4．过点P(－2，1)且垂直于向量a＝(2，1)的直线方程是――――――－――－――――( ) A．2x+y=0 B．2x+y+3=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y－3=0

5． l1：y=3 x+1与l2： y=2的夹角是 ――――――－――－――――－( )

A．15° B．30° C． 60° D． 120°

6．若l1与l2的斜率分别是方程6x2+x－1=0的两根则l1与l2的夹角是___________________．

3

①l1：y= x+2，l2： y=3x+7， l1到l2的角_________夹角是___________．

2 ②l1：x－y=5， l2：x+2y－3=0， l1到l2的角_________夹角是___________．

1

③l1：y=－ x+4， l2： x=－4， l1到l2的角_________夹角是___________．

3

8．已知三角形三个顶点A(6，3)．B(9，3) ．C(3，6)，求∠ABC＝________,∠ACB＝________，

∠BAC＝________．

9．已知l过点P (2，1)，且和直线5x+2y+3=0的夹角等于45°，求l的方程．

10．已知B(0,6),C(0,2)，Ａ为x轴负半轴上一点，问A在何处时，∠BAC有最大值，并求最大值．

7.3两条直线的位置关系（3）（交点）

1．若三直线2x＋3y+8＝0，x-y-1=0，和x+ky=0相交与一点，则k的值是 ――――――( )

11A．－ B．－2 C． 2 D．

22

2．两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上，那么k的值是 ――――――――( ) A．－24 B．6 C． ±6 D． 不同于ABC． 3．若 l1：y=kx－3 ，l2： 2x+3y－6＝0两直线的交点位于第一象限，则直线l1的倾斜角的取值范围是――( )

ππππππππA．[ , ) B ( , ) C． ( , ) D． [ , ]

636232624．已知方程y=a︱x︱和y=x+a(a>0)所确定的曲线有两个交点，则a的取值范围 ――－( ) A．a>1 B．01 C． 0 0

5．已知直线l1：x+(1+m)y+m-2=0与l2： 2mx+4y+16=0．当m__________时 l1与l2相交； 当m________时 l1∥l2；当m________时 l1⊥l2；当m__________时 l1与l2重合．

6．若三条直线2x-y+4=0．X-y+5=0，2mx-3y+12=0围成直角三角形．则m＝_______________． 7．求满足下列条件的直线的方程

① 经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0； ② 经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y+－7=0； ③ 经过两条直线y=2x+3和3x-y+2=0的交点，且垂直于第一条直线．

π

8．已知直线l经过两条直线l1：x+2y=0，l2： 3x－4y－10＝0的交点且与直线l3：5x－2y＋3=0的夹角为 ，求

4直线l的方程．

30

9．已知点A(2,1)直线l1： y= x＋2，l2： x＝2y交于点B，l1交y轴于点C，求△ABC中∠A的角平分线的方程．

7.3两条直线的位置关系（4）（点到直线的距离）

1．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y+3=0的距离为1，则a等于 ―――――――――( ) A．2 B．－2 C． 2 +1 D． 2 －1

2．点(0,5)到直线y=2x的距离 ―――――――――――――――――――――――( ) 535 A． B．5 C． D．

222

3．已知点P(a,b)在第二象限，则点P到直线x－y=0的距离为 ―――――――――――( ) A．

2 2 (a－b) B b－A． C． (b－a) D． a2+b2 22

4．到直线3x－4y－1=0的距离为2的点的轨迹方程是――――――――――――――( ) A．3x－4y－11=0 B 3x－4y+11=0或3x－4y－9=0 C． 3x－4y+9=0 D．3x－4y－11=0或3x－4y+9=0

5．直线l通过两直线7x+5y－24=0 和x－y=0的交点，并且点(5,1)到l的距离为10 ，则l的方程是 －( ) A．3x+y+4=0 B．3x－y+4=0 C． 3x－y－4=0 D．x－3y－4=0

6．点P(4,a)到直线4x－3y－1=0的距离不大于2，则实数a的取值范围为 ．

1

7．已知点M(1,cosθ)到直线xsinθ+ycosθ=1的距离等于 ，且θ为锐角，则θ=___________．

48．两条平行直线3x+4y－12=0和6x+8y+11=0之间的距离为 ． 9．若△ABC中，A(7,8)．B(10,4)，C(2,－4)，求△ABC的面积．

10．已知平行四边形相邻两边的直线方程是l1：x－2y+1=0和l2：3x－y－2=0，若此平行四边形两条对角线的交

点是M(2,3)，求此平行四边形另外两条边所在的直线方程．

11．过直线2x+y+8=0和x+y+3=0的交点P作一直线l，使它夹在两平行直线x－y－5=0和 x－y－2=0之间的线段长等于3，求直线l的方程．

7.3两直线的位置关系习题

随堂巩固

1．两直线xy5与xy5的交点坐标为（ ）

A．(5,0) B．(9,5) C．(7,2) D．(2,7) 2．直线3x5y10与4x3y50的交点是（ ）

A．(2,1) B．(3,2) C．(2,1) D．(3,2)

3．若两直线mxy10与xny50的交点为(1,3)，则mn的值为（ ）

A．2 B．2 C．

24 D． 334．已知点M(0,1)，点N在直线xy10上，若直线MN垂直于直线x2y30，则N点坐标是_____________________________．

5．若直线xy10与xyc0的交点在第二象限，则c的取值范围是___________．

31

6．若直线l1:a1xb1y1与直线l2:a2xb2y1的交点为(2,1)，则2a1b1__________，

2a2b2_____________．

7．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ．Ⅱ．Ⅲ．Ⅳ（不包括边界），若

OPaOP1bOP2，且点P-落在第Ⅲ部分，则实数a．b满足（ ） A．a0,b0 B．a0,b0 Ⅱ Ⅰ C．a0,b0 D．a0,b0

Ⅲ Ⅳ 强化训练

1．已知直线l1的方程为Ax3yC0，直线l2的方程为2x3y40，若l1,l2的交点在y 轴上，则C值为（ ）

A．4 B．4 C．4 D．与A有关

2．过直线xy9和2xy18的交点且与直线3x2y80平行的直线的方程为（ ）

A．ex2y0 B．3x2y90 C．3x2y180 D．3x2y270 3．ab0是直线axbyc0与两坐标轴都相交的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．直线(2k1)x(k3)y(k1)0,(kR)所经过的定点是（ ）

A．(,) B．(2,3) C．(41771,5) D．(5,2) 25．若三条直线l1:xy7,l2:3xy5,l3:2xyc0不能围成三角形，则c的值为 ．

6．经过点A(2,1)，且过直线l12x3y60与l2:x2y40交点的直线l的方程为___________________________．

7．直线l被两条直线l1:4xy30和l2:3x5y50截锝的线段中点为P(1,2)， 求直线l的方程．

8．设直线l的方程为(a1)xy(2a)0,(aR)．

（1）证明直线l过定点；（2）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

9．m为何值时，三条直线l1:4xy4,l2:mxy0,l3:2x3my4，不能围成三角形？

7.3两条直线的位置关系（5）（对称性问题）

1．已知直线l：3x－y=0，则直线x+y=4关于直线l对称的直线方程是 ――――――――－( )

32

A．x－7y+20=0 B．x+7y－20=0 C． x－7y－20=0 D．x+7y+20=0 2．原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标是 ――――――――――――― ――－( ) 32525

A (2, ) B ( , ) C．(3,4) D． (4,3)

286

3．与直线x+2y－1=0关于点(1．－1)对称的直线是 ―――――――― ―－( ) A．2x－y－5=0 B．x+2y－3=0 C． x+2y+3=0 D． 2x－y－1=0 4．点(4,5)关于直线对称点为(－2,7),则直线的方程 是――――――――――――― ――( ) A．3x－y+3=0 B．x－3y+1=0 C． x－y+5=0 D． 3x－y+5=0

5．如果直线ax－y+2=0 和直线3x－y－b=0关于直线x－y=0对称 ――――――――－( ) 11

A．a= ，b=6 B．a= ，b=－6 C．a=3，b=－2 D．a=3，b=6

33

6．从点M(－3,2)发射的光线在x轴上经过点N(－2，0)处被反射，与反射光线垂直，且经过点P(2,3)的直线方程为

111A．x+ y－4=0 B．2x－y+1=0 C． x+y－4=0 D． x+y－2=0

2 2 2 7．如果直线l与直线x+y－1=0关于y轴对称，那么直线l的方程____________． 8．点(－1,2)关于直线x－y+2=0的对称点坐标为 ． 9．求点(3,9)关于直线x+3y－10=0的对称点坐标．

10．求直线m: 2x+y－4=0关于直线l： 3x+4y－1=0对称的直线n的方程．

11．△ABC的顶点A的坐标为(1,4)，∠B，∠C的平分线的方程分别为x－2y=0和x+y－1=0， 求BC所在直线的方程．

33