例说数学中的合情推理

上海中学数学·２０１２年第１０期　例说数学中的合情推理　３１５１００　浙江省宁波中学　周丕芬　３２４０００　浙江省衢州第二中学　杨樟松　所谓合情推理，就是根据已有的知识和经　Ｓ　，Ｓ。一Ｓ　，Ｓ　。一Ｓ　，Ｓ　一Ｓ。。成等差数列．类比　验，在某种情境中经历观察、实验、猜想等数学　以上结论：设等比数列｛ｂ　｝的前　项积为丁　，则　活动，推出可能性结论的推理．法国数学家庞加　Ｔ　莱说过：“逻辑和直觉各有其必要的作用，唯有　丁４，』，　，　，　成等比数列．肌寸　Ｕ　７　·　』１２　逻辑能给以可靠性，这是证明的工具；而直觉则　分析：等差数列与等比数列有许多相似之　是发明的工具．”在近年来的高考数学试题中，　处，比如，它们的通项公式分别为：　除考查逻辑推理能力外，也独具匠心地设置了　ａ　一ａｌ＋（＂一１）ｄ，ａ　一ａ１ｑ一　，等差数列通　些问题考查学生的合情推理能力．但合情推　项公式中的“加”在等比数列中就变成“乘”，　理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一　（７２—１）ｄ在等比数列中变成乘方ｑ一　．除了“加　定为真，但常常能帮助发现新的规律，提供证明　与乘类比外”外，“减与除”、“乘与乘方”、“除与　的思路和方法．　开方”可作相应的类比．对于正项等比数列｛ａ　｝　１．利用合情推理发现规律　来说，｛ｌｎａ　）必为等差数列．本题中，等差数列前　若干项和的差，类比到等比数列中就是等比数　通过两个对象或两类对象进行比较，找出　列中若干项的商．因此，通过类比有，等比数列　它们的共同点或相似点，在此基础上把一个或　１１　个　个　ｚ项积为Ｔ　，则丁｛，　，　，　成等　类对象的已知属性，推演到另一个或另一类　｛ｂ　）的前，』４　１　８　』１２　对象中去，对后者得到一些新的结论，是一种较　比数列．　高层次的信息迁移．　例２平面内的一个四边形为平行四边形　例１设等差数列｛ａ　｝的前　项和为Ｓ　，则　的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似　当每个房间每天的定价为多少元时，宾馆客户　学生感悟、理解、掌握数学思想方法，让学生学　部每天的利润最大？最大利润为多少？　会在数学思想方法的指导下去探索数学题的解　当初次见到此题时，不少学生不知道用　法，使数学思想方法成为学生解题道路上的指　什么方法解答，有学生列方程，也有学生列不　路明灯，能经常指导学生解题．　等式，开始就走上弯路．实际上，本题中“每个　房间每天的定价”和“宾馆客户部每天的利　六、利用解题后的反思，培养学生思维的严谨性　润”是两个变量，这是一个最好用函数来解答　解题后的反思，是一个知识小结、方法提炼　的问题．　的过程，是一个吸取教训、逐步提高的过程，是　解：设当每个房间每天的定价为　元时，宾　个收获希望的过程．解题后，引导学生对以下　馆客户部每天的利润为Ｙ元．　内容进行反思：题目的意图、主要考察的知识　９ｎｎ　ｖ一（ｘ－－２０）（６０一　）一一０．１ｘ。＋８２ｘ　点、各知识点之间有何关系、解题是否有理有　上Ｕ　据、严密完善、解题中用到的数学方法、通过本　１６００一一０．１（　一４１０）　＋１５２１０．　题能否探索出一般规律等．　所以当每个房间的定价为每天４１０元时，　加里宁说：“数学是锻炼思维的体操．”在中　客户部每天的利润最大，最大为１５２１０元．　学数学教学中，为发展学生的数学思维，同时免　数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是联　受“题海战术”之苦，教师就要运用各种有效途　系各种数学知识的纽带，它在数学中占有非常　径培养学生多样的思维方法，使学生达到灵活　重要的地位．解题时教师应结合题目，主动引导　运用数学知识解决实际问题的能力．　４２　上海中学数学·２０１２年第１Ｏ期　地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的　两个充要条件：　充要条件①　充要条件②　（写出你认为正确的两个充要条件）　分析：平面几何中有些结论可以类比推广　到立体几何中，这是类比的一个“富矿”．特别是　三角形中的一些性质可以类比到四面体中，如：　正三角形内一点到各边距离之和等于正三　角形的高．　类比到空间就是：正四面体内一点到各面　距离之和为正四面体的高．　本题中平行四边形类比平行六面体，平行　四边形的边类比平行六面体的侧面，平行四边　形的对角线类比平行六面体的体对角线．因而　下述四个条件都是一个四棱柱为平行六面体的　充要条件：　①三组相对侧面分别平行；②一组相对侧　面平行且全等；③体对角线交于一点；④底面是　平行四边形．　２．利用合情推理导出结论　先在诸多特例中发现某些相似性，再把相　似性推广为一个明确表述的一般命题，通过推　演得出一般性结论．　例３观察下列等式：　＋Ｃ；一２。一２，　＋　＋　一２　＋２。，　Ｃ：。＋　。＋Ｇ。＋Ｃ　一２“一２　，　Ｃｉ　＋　＋Ｇ　＋ｃｌ；＋Ｃ　；一２”＋２　，　由以上等式推测到一个一般性的结论为：　设　∈Ｎ　，则ａ　＋　＋ａ　＋　＋Ｇ　＋　＋…＋　ａ：：　一分析：对已知几个等式推测一般结论的问　题，一定要细心观察几个题给等式的结构特点，　才能找出相应的规律．在本题中，不难发现同一　等式右边第一个２的指数总比等式左边组合数　下标少２，指数数列３，７，１１，１５，…的第７ｚ项为　４　一１，故第　个等式右边的第一个数为２　一　．　等式右边第二个２的指数都为奇数，指数数列　１，３，５，７，…的第　项可为２７ｚ一１，故第　个等式　右边第二个数的绝对值为２　．又等式右边奇　数行为相减，偶数行为相加，故第　个等式右边　第二个数应乘以（一１）　．所以，最后答案为２　十（一１）　２　．　例４观察下列等式：　①ＣＯＳ２ａ￣２ｃｏｓ　口一１；　②ｃｏｍａ＝８ｃｏｓ　口一８ｃｏｓ　ａ＋１；　③ＣＯＳ６￣３２ｃｏｓ。口一４８ｃｏｓ　ａ＋１８ｃｏｓ　ａ一１；　④ｃｏｓ８ａ一１２８ｃｏｓ　ａ一２５６ｃｏｓ。ａ＋１６０ｃｏｓ　ａ一　３２ＣＯＳ　口＋１；　⑤ｃｏｓｌＯａ＝ｍｃｏｓ　。口——１２８０ｃｏｓ。口＋１１２０ｃｏｓ　ａ　＋　ｃｏｓ　ａ＋ｐｃｏｓ　Ｏｌ－－１．　可以推测，ｍ＋　＋　一　．　分析：通过观察，不难发现各式右边的系数　和为１（这需要很强的洞察力），所以　一１２８０＋　ｌ１２０＋７ｚ＋ｐ一１＝１，即　＋　＋　一１６２．　评注：可求出ｍ，７ｚ，Ｐ的具体数值．因为各　式右边ｃｏ　的最高次系数分别为２，２。，２　，２　，　故ｍ一２。一５１２．再注意到ＣＯＳ　ａ的系数分别为１　×２，一２×４，３×６，一４×８，所以声一５×１０—５０．　把　＝５１２，Ｐ一５０代入　＋　＋Ｐ：１６２，得　一　４ＯＯ．　３．剖析推理过程，发现错误结论　口●置合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，—口口口｜■　但未必可靠．用合情推理的方法解综合题，必须　对一般情形进行验证．　口口目例５给　个自上而下相连的正方形着黑　一口口■色或白色．当　≤４时，在所有不同的着色方案　目中，黑色正方形互不相连的着色方案（如图１　所示）：　：１●口　ｎ＝２　ｎ＝３　ｎ＝４　图１　由此推断，当７ｚ一６时，黑色正方形互不相　连的着色方案共有　种，至少有两个黑色　正方形相连的着色方案共有　种．（结果用　数值表示）　分析：在　个正方形中，设黑色正方形互不　相邻的着色方案共有ｎ　种，则当　≤４时，由题　中给出的图形知，ｎ　＝２，　一３，口。一５，ａ　一８，所　口口口口—口上海中学数学·２０１２年第１０期　４３　中美两道三角函数应用问题的比较与启示　５１０００６　广州大学数学与信息科学学院　夏焕丽　廖运章　由于中国和美国有着不同文化传统和教育　船安全航行的最低水深度）的吃水深度是９米，　制度，导致它们具有不同的教育理念．笔者通过　在什么时间船长可以安全地进入港口．　中美两道类似的应用题为出发点进行探讨，研　３．有什么其他问题可以用此模型回答的吗？　究中美两国中学教育理念的异同，并试着寻找　种能融合中美两国教育理念优点的一种新的　出题方式．　１　中美两道三角函数应用问题　《美国高中数学课程焦点》是美国全国数学　教师理事会（ＮＣＴＭ）于２００９年１Ｏ月上旬发布　的美国高中数学教育的最新指导大纲．以下是　图１　《美国高中数学课程焦点》中的一个问题．　下面是我国高中数学人教版Ａ必修四第三　如图１，航运船舶的船长，当进入一个海港，　章的一道例题：　必须考虑潮汐，因为从一天的一个时间到另一　海水受日月的引力，在一定的时候发生涨　个时间，水的深度可以相差很大，当时水深１０．６　落的现象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．　米，假设某个港口的高潮出现在早上５：Ｏ０，而且　在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码　下一个低潮发生在上午ｌｌ：ＯＯ时，此时水深是　头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口　６．５米．　在某季节每天的时间与水深关系表：　１．建立一个预测水深的数学模型，该函数　描述午夜以后的时间的水深变化．　Ｉ时刻　Ｏ　３　６　９　１２　１５　１８　２１　２４　２．使用你的模型表明，如果他的船（船舶或　Ｉ水深／米　５．０　７．５　５．０　２．５　５．０　７．５　５．０　２．５　５．０　以ｎ２一ｎ１—１，吼一啦一２，ｎ４一吼一３，…，猜测　一６种方案；　口　＋１一ｎ　一　．　．’ｎ５一ｎ４—４，ｎ６一口５—５，从而丑６　③６个正方形２个着黑色，４个着白色，有　１７．故当７ｚ一６时，任意着色时，共有２　种不同　Ｃ２一１０种方案；　的方法，所以至少有两个黑色正方形相邻的着　④６个正方形３个着黑色，３个着白色，有　色方案共有２　一１７—４７种．　Ｃ一４种方案．　以上推理似乎天衣无缝，但实际上，若进一　故黑色正方形互不相邻的着色方案共有１　步画出　一５的情形（如图２）；便知数列｛　＋　一　＋６＋１０＋４—２１种方案．又任意着色时，共有２　ｎ　｝不是等差数列，本题用排列组合中解决不相　种不同的方法，所以至少有两个黑色正方形相　邻问题的插空法易得：　邻的着色方案共有２　一２１—４３种．　总之，合情推理往往是在逻辑推理困难的　目目胃目曰日目目罔Ｈ目目目　情况下进行，尤其是在不容易判断的情况下，运　用合情推理进行定性判断，达到解题的目的．同　时，合情推理也是创新思维的火花，在平时的课　图２　堂教学中要充分挖掘新教材教学资源，用火花　①６个正方形全部着白色，有　一１种方案；　去点燃学生的学习激情，培养学生合情推理的　②６个正方形１个着黑色，５个着白色，有　方法，提高解题能力．