加强类比推理教学,培养探究型学习人才

・　１２　・　数学教育研究　２０１１年第６期　加强类比推理教学，培养探究型学习人才　朱红霖　傅正清　（湖北省宜昌市第十八中学４４３００７）　数学思维以推理为主，而类比推理是常见的一种　推理方式．按照普通高中课程标准试验教科书（选修１—２、　２—２）的定义，类比推理是由两类对象具有某些类似特征　分另０为：Ａ（ｚ１．Ｙ１，　１）、Ｂ（　２，Ｙ２，　２）、Ｃ（Ｘ３，Ｙ３，　３）、　Ｄ（ｘ　，Ｙ　，　），则四面体Ａ－ＢＣＤ的重心坐标为：　和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也　具有这些特征的推理．我们也可以这样加以理解，类比　（＼　４　，’　４　，’　４　）／：？　（３）数学方法类比：加深对数学方法本质的理解与　推理是根据两个对象有一部分属性相同或类似，推出　这两个对象的其他属性亦相同或类似的一种推理方　法．　１　类比推理在高中数学中的作用及分类　《普通高中数学课程标准》（实验）把培养学生的类　比推理能力作为教学目标之一．在近几年“类比推理”　型数学问题在全国各省市已是屡见不鲜．这类问题往　往不拘泥于具体知识与方法，而是将已熟知的数学知　识与方法加以合理的迁移或渗透，突出数学思维方法　的灵活性价值．在数学教学中，通过类比推理方法，一　方面可以寻求知识的合理迁移或深化，另一方面，可以　寻求解决数学问题的方法和路径，甚至可以预测数学　问题的未知结果，从而培养学生发散思维能力及合情　推理的能力．波利亚在论及类比时，认为类比推理可以　在三个方面发挥作用：（１）可以提出新问题和获得新发　现；（２）可以在求解问题中得到应用；（３）可以用来对　猜测进行验正．　根据类比的对象和方式不同，以不同的关系为缘　由来进行类比推理，从而划分类比推理的不同类型，主　要有这样几种类型：简单并存类比、因果类比、对称类　比、协变类比、其它综合类比．从中学数学思维的内容　和方向看，类比推理在中学数学思维和教学活动中，大　致有三种类型：　（１）横向类比：实现知识的横向迁移，通过对旧知　与新知的比较，探究新知的未知结果．　例１　直线与圆的位置关系，绝大多数学生都可以　通过几何方法加以认识和理解以下几点：过圆内一点　的直线与圆都相交；过圆外一点的直线和圆有三种位　置关系：相交、相切、相离．”过圆外一点可以作两条圆　的切线．以上这些特征，是否适用于直线与椭圆、双曲　线、抛物线呢？　（２）纵向类比：通过对已有的知识结论的充分挖掘　与探究，实现知识的纵向深化、拓展、创新．　例２①在一维数轴上，若线段ＡＢ的两个端点的　坐标为Ａ（　）、Ｂ（ｚｚ），则ＡＢ的中点坐标为　，　Ｉ—　ｆ下、　Ｘｌ　Ｔ￣２　１；②在平面直角坐标系中，，　若三角形ＡＢＣ的　三个顶点坐标为Ａ（ｚ１．Ｙ１）、Ｂ（ｚ２，Ｙ２）、Ｃ（ｘ３，Ｙ３），则三　角　形ＡＢＣ　的　重　心　坐　标　为：　ｆ丁Ｘ１＠－Ｘ２－＠Ｘ３，　１；那么我们能否得到：③在　、　０　ｏ　，　空间直角坐标系中，四面体Ａ－ＢＣＤ的四个顶点的坐标　挖掘，实现相似数学问题的数学方法的迁移．　例３在平面几何中，我们常用“等面积”的办法，　在三角形的面积可求的前提下，求某条边上的高，我们　常用这一方法求一个点到某条直线的距离．类比这个　方法，在空间几何中，如果空间四面体的体积可求，我　们也可求出某个面（面积已知或可求）上的高，这就是　“等体积”法，我们也常用这一方法求一个点到某个平　面的距离．　２类比推理教学是培养探究型人才的有效途　径　２．１旁征博引，借古说今培情趣　鲁班是怎样发明锯子的？牛顿又是如何发现万有　引力的？在广阔的科研领域，许多重大科研成果无不　与科学家们大胆的类比猜想有关，还有潜水艇的发明、　欧拉的猜想、计算机的诞生、飞机制造的历史、欧姆定　律的发现、杨振宁的“场论”等．在实际教学中，教师在　适当的时机，应多介绍一些大科学家应用类比取得重　大发现的实例，介绍类比在科学发明发现中的重大作　用，激发学生类比探究的情趣，继而引导学生认识到，　在数学思维活动中，类比推理是最有实效的一种学习　方法，激励学生敢于类比、大胆猜想发现、最后经过论　证，那么你就获取了最有价值的成果，体验运用类比发　现新知识和新方法最后取得成功的乐趣．　２．２创设情境，体验类比添兴趣　兴趣是最好的老师，浓厚的兴趣和强烈的求知欲　望是学生的内驱力，在课堂教学中创设类比教学情境，　能激起学生参与研究数学、发现规律的兴趣，让学生在　思维体验中把知识和技能从已知对象迁移到新的未知　对象中去，感受类比的思维功能．　在实际教学中，教师要善于借用旧知旧法启发学　生探究新知和新法，教师首先要经过周密的思考，找出　恰当的已经为学生比较熟悉的经典例题和模型，恰到　好处的适时点拨，让学生经历思考、探究、发现、最后验　证的思维过程，感受成功的喜悦，这样不仅经历了高效　的学习思维过程，更主要的是培养了学生从事数学思　维的兴趣、敢于碰硬的勇气、勤于探索的习惯等一系列　自主学习的品质．在教学过程中，教师要善于设置这样　的教学环节．　１　例４设ｆ（ｚ）一—　＿＝，求ｆ（一５）＋ｆ（一４）＋　２　＋√２　…＋，’（０）＋厂（１）＋…＋厂（６）的值．　教师点拨分析：类比等差数列的求和方法（由高斯　２０１１年第６期　数学教育研究　・　１３　・　算法推广的倒序相加法），由等差数列的性质：ｎ　＋ａ　＝　口２＋口　一１一口３＋ｄ　一２一…一口　＋口１得：　２Ｓ　一（口１＋ａ　）＋（口２＋口　一１）＋…＋（口　＋口１），所以　探究作为“贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，而　类比推理能力正是数学探究能力成分之一．因而教师　应充分挖掘教材中有利于培养学生类比思维（包括发　现猜想、探究验证、归纳总结等）能力的内容，充分展现　ｓ　一　ｌ旦　３　一——　一一　＋　一咒　１十——　ｄ・出丁一　由于一５＋６ｏ　一一　十　一一４＋　．５一…一０＋１—１＋０一…一５＋（一４）一６＋（一５）一１，　因此，我们可以大胆猜想：＿厂（ｚ）＋，（１一ｚ）＝某个常数　值？请同学们探索并发表你的结果．　类比探索的思维过程，使之成为培养学生学会类比推　理方法的有效载体．　对线性规划方法的教学，许多学生由于对方法的　本质和原理缺乏必要的理解，在解题过程中，关键在哪　里、如何进行语言表述，感觉特别扭甚至无所适从．从　事实上，ｆ　ｚ　＋ｆ（１一　一　｛　＋南＋——　一　丝兰２　＋√２　２＋Ｊ２・２　２＋４２・２　ｚ　一　一　，所以，原式一　线性规划的实质分析，线性规划是解决一类特殊函数：　二元线性函数（即目标函数）的最值，我们只需引导同　学门将求普通函数最值的方法与过程与线性规划方法　进行比较，可使学生更加准确地理解线性规划实质、掌　１×１２×　一３厄　握线性规划的关键技能，对线性规划的方法操作步骤　例５　已知数列｛口　）满足：ｎ　＋１—３ａ　＋３ｎ＋２且　更是水到渠成，因此，教师应该放手让学生去比较、发　ｎ１—２，习　ａ　．　现、归纳．　教师点拨分析：如何解决这道题，我们不妨先回顾　①求普通函数的最值与线性规划的内容与方法比　关于数列的线性递推式是如何向通项公式转化的，如：　较：　已知数列｛ｎ　）满足：ｎ　＋１—３ａ　＋２且口ｌ一２，求ｎ　．　解：由口　¨一３ａ　＋２，设ｎ　¨＋Ａ一３（ｎ　＋　）即　函数　－二厂（ｚ）　线性目标函数ｚ—ｎｚ＋　ａ　＋　一３ａ　＋２　，与已知比较得：　一１，　自变量ｚ∈定义域Ｄ　可行解（ｚ，　）∈可行域Ｄ（由　’．．口　＋１—３（口　＋１），即　一３　．数列　（由不等式构成）　不等式组即线性约束条件）　｛ｎ　＋１｝是以口　＋１—３为首项，３为公比的等比数列，　构成　’．．ｎ　＋１—３・３　一　一３　，ａ　一３　一１．　上述方法是用待定系数法将常数２“巧妙”地分解　函数值Ｙ　目标函数　为两个相同的常数１，然后分别“配”给　＋　和ｎ　，得　ａ　＋１—３（口　＋１），这样就转化为等比数列了．　求解方法：利用初等　受这一方法的启发，学生对如何将常数“巧妙”地分解　函数的性质、基本不　线性规划法（数形结合）　为两个相同的常数并分别“配”给ｎ一和ｎ　已经没有问题　等式、导数等　了，但要使问题得到解决，还有一个３　怎么处理呢？　事实证明，多数同学想到用类似的办法来分解３　最值条件最优解：（ｚｏ，　）即　一，３７ｏ，Ｙ　：ｚ—ｚ。　并分别“配”给ａ　＋　和ａ　，但是，由于３”不是常数，那么　—Ｙｏ　分解３　并分别配给口　＋　和口　时，要考虑“同步”（也就　函数最值：Ｙ…（或　目标函数最值：　（或　…）　是说：配给口　的式子应比配给ｎ　的式子多１，这里有　…）＝ｆ（ｘ。）　一ａｘ０—卜ｂｙ０　些学生转不过弯来，教师可适当加以点拨　，经历探索、　运算，多数同学不难得到了以下准确的解答过程：　教师点评：从以上比较可以看出：线性规划的实质　解：由口　１—３ａ　＋３ｎ＋２设：口　十１＋ｋ（　＋１）－４－ｍ一　是解决一类特殊的二元函数（即线性目标函数）的最　３（ｄ　＋ｋｎ＋　），即：ａ　＋１—３ａ　＋２ｋｎ＋（２ｍ—ｋ），与已知　值，与求普通函数最值的过程大致相差无几，最大的差　ｆ　—旦　别体现在所用的方法原理不同（因此，这也是教学的关　比较得：｛２　２ｋ一＝　３一　２，得：｛　Ｌｍ＝　，　．。　＋　＋号（ｎ＋１）＋　键和重难点）．为此，我们只要重点突破线性规划方法　的原理教学，学生就掌握了最关键的一步．类比函数最　值的综合应用问题的解题方法与步骤，线性规划的综　÷一ｓ（　＋　３　＋÷），即竺　＃互５．　／一ｓ，　合应用解题方法与步骤，就是一个自然的过程：　②函数最值的应用问题与线性规划问题的方法与　一十　十　步骤比较：　・．．数列｛ｎ　＋＿耋＿　＋÷）是以ａｌ＋　３十　７一　２１为首　题步骤　函数应用问题的解　线性规划问题的解题步骤　项，公比为３的等比数列ａｎ＋　３　ｎ＋　７—２１。．３　，　①设定恰当的量：自　①设定恰当的量：可行解的　・．．。　一号・ｓ　一＿耋Ｉ　一÷．　变量２．３　类比归纳、盘点细节探实质　ｚ和函数变量Ｙ　量　两个变量　、Ｙ和目标函数变　课程标准强调“提高学生数学探究能力”，把数学　・　１４　・　数学教育研究　２０１１年第６期　续表　题步骤　函数应用问题的解　线性规划问题的解题步骤　②写出函数关系式：　②确定线性目标函数关系　一，（ｚ），并确定函　式：　一口ｚ＋ｂｙ，写出线性约　数的定义域Ｄ　束条件（不等式组），并画出　可行域　③利用数学方法（初　③利用线性规划的方法（数　等函数、基本不等　形结合）求出目标函数的最　式、导数等）求出函　值　数的最值　④求出函数的最值　④确定最优解　条件　⑤完整准确地回答表　⑤对应用问题进行完整准　对应用问题进行　述　确的回答表述　２．４旁敲侧击，类比旧法解新题　对于数学问题，教师不要很快教学生怎么做，而是　应该引导学生回顾那些比较接近的问题和方法，放手　让学生去实践探究，取得问题的圆满解决，那么学生的　收获就不仅仅是学会了解决一道题了，而是获得了一　种经验与自主探究的一种能力．　例６　设ｚ、Ｙ、　∈Ｒ　，求证：￣／　一ｚ　＋　＋　＝＿　＞～　［　干　．　教师点拨分析：这是一个比较复杂的不等式，用常　用的演绎推理难于突破（即使能突破也一定要经过比　较复杂的运算过程），我们不妨回顾一下，以前的教学　中是否出现过类似的问题呢？学生可能会很快联想到　下面的一类题型（当然，如果学生在有限的时间内做不　到这一点，只能由教师旁敲侧击了）：　求函数ｙ一　ｚ　＋２ｚ＋５＋　ｚ　一４ｚ＋５的最小　值．这类题我们并不能用常见的函数或不等式的方法　来解决的，而是将函数式变形为：　ｙ一￣／（Ｘ＋１）　＋（０＋２）０＋￣／（ｚ一２）　＋（ｏ一１）　，于是　函数值ｙ可以看成ｚ轴上的动点Ｍ（ｚ，　）到两定点　Ａ（一１，一２）和Ｂ（２，１）的距离　之和的最小值，作图１知：当Ｍ　为直线ＡＢ（方程ｚ—Ｙ一１一Ｏ）　ｒ（ｘ．Ｏ）　‘　・一　与ｚ轴的交点（１，Ｏ）时，　一　一　ｌＡＢｌ一３√２（若Ａ、Ｂ两点在Ｘ　＼、、、０　／　－　／　轴的同侧，可把其中一个点调　（－Ｉ．－２）　换成它关于ｚ轴的对称点来操　图１　作）．　受这个方法（数形结合）的启发，上述例３能否也　转换为“距离”用图形来解决呢？怎么转换为距离呢？　最后又建立一个什么样的模型（图形）呢？　这里教师不要轻易说破，应充分让学生讨论、互　动，经历猜想、探究、感受成功．具体解答过程如下：　解：原不等式学　￣／　＋ｙ。一２ｘｙｃｏｓ６０。　＋　￣／ｖ　＋　一２ｙｚｃｏｓ６０。　＞　￣／　＋　。一２ｚｘｃｏｓ６０。，于是，建　Ｃ　立这样一个模型：在三棱锥ｓ—　ＡＢＣ中，ＳＡ—ｚ，ＳＢ—Ｙ，ＳＣ一　，且　ＡＳＢ一　ＢＳＣ一　ＡＳＣ　一　６０。，　于是　ＡＢ　一　图２　￣／＝　一　，　ＢＣ＝￣／　。＋　一２ｙｚｃｏｓ６０。一￣／　一　＋　，ＡＣ一　　、＝￣／　一ＺＸ＋ｚ　，在三角形ＡＢＣ中，’．’ＡＢ＋ＢＣ＞ＡＣ，　‘．．￣／ｚ　一ｘｙ＋　。＋　一ｙｚ＋　。＞￣／　一　ｚ＋ｚ　．　２．５　总结类比，复习回顾看差异　数学教学过程中，往往会在不同的时段内碰见一　些比较类似的教学内容，如平面几何与空间几何，无论　是概念、定理、公理还是数学方法无不存在很大的“可　比性”，有的形式上一样，可是思考背景不同（二维或三　维）、教师要及时地引导对这些内容进行回顾、类比、总　结、归纳，使学生获得对同类内容的最完整的理解，掌　握它们的共同点和差异性，在复习旧知旧法的情景中，　获得新的知识与方法．如果在教师的点拨下，由学生自　行类比、总结、归纳，学生不仅掌握的更好，而且会保持　永久的记忆．请看下面对平面几何与空间几何部分知　识与方法的类比　平面与空间的类比总结　平面几何　空间几何　１．一条直线把平面分成　１．一个平面把空间分　两个部分　成两个部分　２．同一平面内，两条直线　２．在空间内，两个平面　无公共点，则它们互相平　无公共点，则它们互相　行　平行　３．公理：平行于同一直线　３．公理：平行于同一直　的两条直线互相平行　线的两条直线互相平行　４．等角定理：如果一个角　４．等角定理：如果一个　的两条边与另一个角的　角的两条边与另一个角　两条边互相平行，并且方　的两条边互相平行，则　向相同，则这两个角相等　这两个角相等或互补　５．同一平面内，垂直于同　５．在空间内，垂直于同　条直线的两条直线互　一个平面的两条直线平　一相平行　行．或垂直于同一直线　的两个平面互相平行　６．平行四边形对边平行　６．平行六面体相对的　且相等，对角线互相平分　面平行且全等，对角线　互相平分　７．矩形对角线长相等　７．长方体对角线长相等　２０１１年第６期　数学教育研究　・　１５　・　续表　学生统编学号　学生考试分数　平面与空间的类比总结　王小强　８７　平面几何　空间几何　张恒　９２　８．正三角形、正方形的　８赵子豪　８５　内切圆与外接圆圆心　．正四面体、正方体的内　重合　切球与外接球的球心重合　林晓霜　７６　９．三角形的内经ｒ—　９．四面体的内切球半径ｒ　图表２　Ｓ　，　＾　—　问题２：如果我们不考虑学生的隐私，图表２中直　１（、　～　口＋　÷（ｓ　＋ｓ　＋ｓ。＋ｓ　）　接公布学生姓名，则集合Ａ＝｛高一（１）班全体同学的　为三角形的面积，ｎ、６、ｃ　（其中，　为四面体的体　姓名｝，Ｂ一｛高一（１）班数学测验的分数｝，那么表格２　为三边边长）　积，Ｓ　、Ｓｚ、Ｓ。、Ｓ　为四面　还是表示从集合Ａ到集合Ｂ的函数吗？　面积　学生这时很快就会得出否定的答案，疑问也就会　随之产生：这不是一个函数关系，那又是一个什么关系　１Ｏ．等面积法：求三角　１Ｏ．等体积法：求四面体　呢？事实上，我们已经完成了将数集到数集的函数关　形某边上的高（或求点　某面上的高（或求点到平　系推广到两个非全数集之间的类似函数的对应关系　到直线的距离）　面的距离）　（即映射关系），这里既复习了函数的相关知识（概念及　列表表示法），特别是很自然地完成了从函数向映射的　２．６特例类比，巧设衔接看区别　过度，实现新旧知识的有机衔接，又很直接地得到了函　数学课程标准强调理解与感受知识的过程，强调　数与映射的本质区别．学生在类比分析、比较归纳中学　学生探索新知的经历和获得新知的体验．对于教师而　到的映射知识必然是深刻的、牢固的，而且为将来的继　言，课堂教学就应该充分地考虑和体现新旧知识的衔　续学习找到了一个很好的学习技能（类比分析）．　接过程，把开展类比性学习和研究作为学生获取知识　的重要渠道．让学生在复习旧知的前提下，通过类比、　２．７类比猜想，勇于探究求创新　许多已有的数学结论，其实还留有很大的回旋余　分析、比较、归纳对新知进行全面的认识，这样学生就　能很好地感受获取新知的过程，掌握的新知识就比较　地，正如哥德巴赫猜想一样，它们或许是在特定的条件　下成立，或许在更加广阔的背景下成立，给广大的数学　准确、透彻、具有较强的再学习或再探究的生命力．　爱好者留下了许多的探究机会．在诸多的数学专业期　例如在完成了函数概念的学习之后，我们可以设　刊里，对已有的结论（如不等式）一推广、再推广已是屡　计这样一个问题：新华中学高一年级举行了一次数学　见不鲜．为了更加注重培养学生的思维品质，对个别爱　测验，某班的成绩有如下两种记录方式：　问题１：如果我们考虑到学生的隐私，图表１中用　“钻牛角尖”的学生，应给予充分的鼓励，鼓励他们的批　判与探究精神，鼓励他们不断取得新的突破．　学生的统编学号代替姓名，则集合Ａ一｛高一（１）班全　体学生的学号｝，集合Ｂ一｛高一（１）班数学测验的分　３类比离不开猜想，猜想应讲求科学性与合理　数｝，那么表格１是表示从集合Ａ到集合Ｂ的函数吗？　性　学生只需简单对照函数概念，很快就能判断答案　是肯定的　在广阔的数学领域，许多重要定理的发现，无不与　大胆猜想有关．因此，从培养探究型人才考虑，新的课　学生统编学号　学生考试分数　堂模式应该强化类比教学，应放手让学生大胆地进行　类比、猜想，鼓励发现，这是最好的自主学习活动．当　０９００１　８７　然，我们的猜想绝不是毫无根据的胡猜乱想，而应具有　０９００２　９２　一定的科学性、合理性．在教学过程中，教师要适时把　握机遇，又要加强引导，培养学生在数学思维活动中，　０９００３　８５　学会透过现象看本质，大胆而合理地进行猜想，勇于探　究的学习研究习惯，那么，我们的课堂教学活动的有效　０９０４５　７６　性就迈出了一大步，也在很大程度上实现了课程标准　下的课堂模式要求．　图表１　［责任编校钱骁勇］