第ｌ２卷第ｌ期 湖南工业职业技术学院学报 ＶＤ１．１２ Ｎ０．１ ２０１２年２月 ＪＯＵ础 Ｌ ＯＦ Ｉ－ＩＵＮＡＮ ＩＮＤＵＳＴＲＹ ＰＯＬＹＴＥＣＨＮＩＣ Ｆｅｂ．２０１２ 距离问题求解新探 王丽芳 （ 州工程技术职业学院广东广州５１０７２６） ［摘要］本文通过从几何角度对距离问题再认识，将距离与相切这两个概念沟通起来。形成一套求解距离问题的新办 法，使优化思想在微分学中得以延伸。 ［关键词】距离；曲线族；曲面族；相切 ［中图分类号】Ｄ１５７．３ ［文章标识码】Ａ ［文章编号】 １６７１—５００４（２０１２）０１—００５１—０１ Ｎｅｗ Ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｉｓｔａｎｃｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｓＳｏｌｖｉｎｇ ＷＡＮＧ Ｌｉ－ｆ蚰ｇ （Ｇｕ￣ｇｚｈｏｕ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ ５１０７２６，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ） 【ＡｂｓｔｒａｃｔＪ Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｆｒｏｍｔｈｅｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ ｏｆｄｉｓｔａｎｃｅ ｇｅｏｍｅｔｒｙｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｄｉｓｔａｎｃｅａｎｄｔａｎｇｅｎｔｔｏｔｈｅｔｗｏ ｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ，ｆｏｒｍ ａｓｅｔｏｆｎｅｗ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｔｏ ｓｏｌｖｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆｄｉｓｔａｎｃｅ，ＳＯ ｈｔａｔ ｈｔｅ ｉｄｅａ ｏｆｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｄｉｆｅ￣ｎｆｉＭ ｃａｌｃｕｌｕｓ ｃａｎ ｂｅ ｅｘｔｅｎｄｅｄ； ［Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ］ｄｉｓｔａｎｃｅ；ｃｕｒｖｅ；ｔａｎｇｅｎｔ ｓｕｒｆａｃｅｆａｍｉｌｙ；ｔａｎｇｅｎｔｔｏ 引言 据微分学知识：已知曲线Ｌ上任一点 ｙ，ｚ）处切线的方向 向量Ｔ－｛ｘ’（Ｉ），ｙ’（１），ｚ’（１）Ｊ，由球面与已知曲线相切，即得 －微分学中常把两个相离图形之间的距离问题归结为一个 ｇ・Ｔ＝（ｘ－ ｘ。（Ｉ）＋Ｏ—ｙｏ）ｙ’（【）＋（ｚ一 ｚ＇（ｔ）－ｏ 条件极值问题：即以两点间距离公式构成目标函数，以两个图形 其中ｘ＝ｘ（ｔ）ｔｙ＝ｙ（Ｏ，ｚ＝ｚ（Ｏ 所满足的方程溅不等式舴为约束条件．这样的问题用拉格朗日 显然。这是一个关于ｔ的一元方程，求解可得，ｔ＝ｔｌ 乘数法足以解决。 进而可得切点为（ｘ（１Ｉ），ｙ（ｔ－），ｚ（１ ））， 本文另辟蹊径，抓住距离问题的实质，在几何上给予充分 再代人球面方程中可得出球面半径Ｋ，从而得所求的点到 科学合理的解释，将问题予以适当转化，辅以微分学知识，提出 曲线距离． 了一种求解距离问题的直观准确的新解法．这种解法在理论上 注：待别地，若点Ｐ在曲线Ｌ上，则所求半径为０且切点恰 将导数与相切、距离与极值（含最值）等高等数学中几个核心概 是已知点． 念进一步有机结合起来，令人更如深刻地领略数学领域里数形 推论：平面上一点Ｐ到一条曲线Ｌ的距离等于以点Ｐ为 合一的无穷奥妙．同时将距离问题的求解与优化理论相沟通，使 圆心的圆族中的一个与曲线Ｌ相外切的圆ｃ。的半径． 优化思想得到延伸，开拓了优化论更广泛的应用领域．这种解法 定理２：空间中一点Ｐ到一条曲线Ｌ的最长距离等于以点 在解决实际问题方面也是十分有效的。还可以让初学者拓广思 Ｐ为球心的球族中的一个与曲线Ｌ相外切的球的半径． 路，开阔视野，提高学习兴趣。 注：１）若点Ｐ在曲线Ｌ上，则所求的点到曲线的最长距离 １距离问题的新解法 仍可用定理２表述． ２）若曲线Ｌ延伸至无穷远处，则定理２中提及的“与曲线 １．１点到曲线的距离 Ｌ相外切的球”实际是半径为无穷大的一个“球”。此时点Ｐ到曲 定理１空间中的一点Ｐ到一条曲线Ｌ的距离等于以该点 线的距离为正无穷大． Ｐ为球心的球族中的—个与曲线Ｌ相外切的球的半径。 推论：平面上一点Ｐ到一条曲线Ｌ的最长距离等于以点Ｐ 定理ｌ为点到曲线距离问题提出了这样一个思路：首先以 为圆心的圆族中的一个与曲线Ｌ相内切的圆的半径． 已知点为球心，取半径为参数Ｋ，构造球面族方程；再求球面 例１抛物面ｚ ＇＋ｙ２被平面ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｌ截成一椭圆，求原点 与已知曲线的切点，最后求出相切球面的半径。即得所求距 到这个椭圆的最长距离和距离． 离。 ． 解：以原点为球心的球面方程为： ’＋ ｌ【２ 实例已知点Ｐ取为（ｘ￣ｙｏ，ｚｏ），已知曲线Ｌ取为】‘＝ｘ（Ｉ），ｙ－－ｙ（ｔ）， 其上任一点发向量为：ｆｘ，Ｙ，ｚ） ｚ＝ｚ（１），以Ｐ为球心的同心球面族方程为： 据微分学知识。已知椭圆上任一点处的切向量为｛２ｙ十１。 （ｘ—ｘ ｒ—ｙ （ｚ－ｚｏ）２－＝ｋ。 一２ｘ＿ｌ’２ｘ＿ｙ） 其上任一点ｘ，Ｙ，ｚ）处的切平面法向量 ｆｘ－ｘ。，ｙ－ｙ。， 要求切点，则得方程： ｚｏ ｌ ｘ（２ｙ＋１卜ｙ（２ｘ＋ｌ ２】【－２ｙ ， 与ｚ－￣＋ｆ ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｌ联立 （下转第６０页） 【收稿日期】２０１２—２—１９ 【作者简介】 王丽芳（１９６６－），女，广州工程技术职业学院高级讲师。 ５ｌ 第１期 湖南工业职业技术学院学报 ２０１２年 ５９．６７％的企业参与民间借贷。民间借贷规模约为１１００亿元，最 高月份的综合利率水平为２４．８１％。（央行温州市中心支行《温 州民间借贷市场报告》）【７】如此庞大的资金不流入股市除了巨 划运行机制研究［Ｊ】，湖南师范大学社会科学学报，２００７，３６（４） ［２］蒋杭君．美国的４０１Ｋ计划及其肩，Ｔ，ｔＪＩ．合作经济与科技，２０１０（１６） ［３］闻岳春，解学勤．美国４０１Ｋ条款及对中国发展企业年金的借鉴【Ｊｌ ｌ保险研究，２００５ 【４］郑秉文．中国版４０１ｋ路在何方：养老金不应用来托市『ＥＢ／ＯＬ］． ｈｔｔｐ：／／ｉｆｎａｎｃｅ．ｓｉｎａ．ｃｏｒｎ．ｃｎ／ｓｔｏｃｋ／ｓｔｏｃｋｔａｌｋ／２０１１０８２５／１０１７１０３７７４３７． ｓｈｔｍｌ，２０１ １－０８—２５ 大的利润诱惑外，也跟股市的发展有关，股市存在的顽疾使得 投资者对股市缺乏信心。如果股市发展稳定，个人投资股票市 场足矣，不必以身试法放高利贷。所以，从中国目前的情况看， 股市缺的不是资金，是信心。不是注入股市的资金多了股市就 能上涨。企业年金不能成为拉动股市的主要力量，不应将其重 心放在投资功能。 美国４０１Ｋ已经进入中国，不必再讨论适不适合，应该结合 ［５］苏琳．“十一五”期间我国注册私营企业超过８４０万户【Ｎ】．经济日 报，２０１ １－０１—１９（３） ［６］叶檀．中国版４０１Ｋ计划是个大笑话［ＥＢ／ＯＬ］． ｈｔｔｐ：／／ｕｓｅｒ．ｑｚｏｎｅ．ｑｑ．ｃｏｍ／６２２００４６７４／ｂｌｏｇ／１３１３５１９８２２，２０１ １－０８－１７ 中国国情加以改良，不忙于盲目扩大，在实践的过程中发现问 题，解决问题，客观的看待它的作用，不忘其养老的根本。 ［参考文献】 ［７］叶檀．全民高利贷狂欢：中国最可怕的金融风险［ＥＢ／０ＬＩ。 ｈｔｔｐ：／／ｕｓｅｒ．ｑｚｏｎｅ．ｑｑ．ｃｏｍ／６２２００４６７４／ｂｌｏｇ／１３２１５５６７３５．２０１１－Ｉ１－１７ 【１】刘子兰，吴建新．美国４０１Ｋ计划的创新与发展——罗斯４０１Ｋ计 （上接第５１页） 解得：ｘ。一 １＋ １ｘ２一丁—其上任一点法向量为：｛ｘ，Ｙ，ｚ） ｙＩ＝一 １＋ ｚ。＝２－、／ 又已知曲面上任一点处法向量 ｛ｙ＋ｌ，ｘ－１，－２ｚ） Ｘ／３－丁一 一孚一下Ｘ／３－ｚ２＝２＋、 ． 由“两相切曲面在切点处有同一切平面” 代入方程得：ｋｌ＝ｖ＇９—５、／ 为所求距离故得音 寺 寺 与ｚＺ＝ｘｙ＋ｘ—ｙ＋４联立 ‘ 解得ＸＩ＝一１，ＹＩ＝１，ｚ１＝一１；ｘ２＝一１，ｙ．，－－１，ｚ！＝ｌ ｋ２＝ｘ／９＋５、／ 为所求的最长距离． １－２点到曲面的距离 定理３：空间中一点Ｐ到一个曲面的距离等于以点Ｐ为球 心的球族中的一个与曲面相外切的球的半径． 实例已知点Ｐ取为ｘ。，Ｙ。，ｚ。）已知曲面取为Ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）＝ｏ 代入球面方程得Ｋ＿、／ 即所求距离。 ２．距离问题新解法与优化思想的联系 本文所提诸法都是以某一已知图形为基准扩张生成的曲 线（面）族，向另一图形搜索至相切位置，从而找出切点并得出结 果的＿这里进行扩张搜索的曲线（面）实质上是与基准图形距离相 以Ｐ为球心的同心球面方程为（ｘ＿ｘ。）２十 —Ｙ。）。十（’ｚ—ｚ。）２＝０． 其上任一点ｘ，Ｙ，ｚ）处的切平面法向量 ＝Ｉｘ—Ｘ。，ｙ－ｙ。，ｚ—Ｚｏ】 已知曲面上任一点（ｘ，Ｙ，ｚ 切平面法向量 ＝｛Ｆｘ’，Ｆｙ’，Ｆｚ’） 由球面与曲面Ｓ相切，即得， × 。＝０， 等的等值线（面），这种搜索方法与最优化问题图解法是一致的。 这表明本文提出的距离问题新解法不失为优化思想又一新应 用。 【参考文献】 与曲面方程联立可求出切点，代人球面方程中可得球面半 径Ｋ，即为所求的距离． 例２．求原点到曲面 ｘｙ＋ｘ—ｙ＋４的距离。 解：以原点为球心的球面万程为 ）【２＋、ｒ２＋ｚ ｋ 【１】同济大学数学教研室主编高等数学上册第六版２００６．１５４－１５８ 【２】同济大学数学教研室主编高等数学下册第六版２００６．５９－６８ 【３】李德钱颂迪运筹学［Ｍ】北京：清华大学出版社１９８２．７０－８１
