第l2卷第l期 湖南工业职业技术学院学报 VD1.12 N0.1 2012年2月 JOU础 L OF I-IUNAN INDUSTRY POLYTECHNIC Feb.2012 距离问题求解新探 王丽芳 ( 州工程技术职业学院广东广州510726) [摘要]本文通过从几何角度对距离问题再认识,将距离与相切这两个概念沟通起来。形成一套求解距离问题的新办 法,使优化思想在微分学中得以延伸。 [关键词】距离;曲线族;曲面族;相切 [中图分类号】D157.3 [文章标识码】A [文章编号】 1671—5004(2012)01—0051—01 New Exploration of the Distance Problem sSolving WANG Li-f蚰g (Gu ̄gzhou Institute ofTechnology,Guangzhou 510726,Guangdong) 【AbstractJ Thispaperfromtheperspective ofdistance geometryproblems,distanceandtangenttothetwo conceptsofcommunication,form asetofnew approaches to solving problems ofdistance,SO htat hte idea ofoptimization in dife ̄nfiM calculus can be extended; [Key words]distance;curve;tangent surfacefamily;tangentto 引言 据微分学知识:已知曲线L上任一点 y,z)处切线的方向 向量T-{x’(I),y’(1),z’(1)J,由球面与已知曲线相切,即得 -微分学中常把两个相离图形之间的距离问题归结为一个 g・T=(x- x。(I)+O—yo)y’(【)+(z一 z'(t)-o 条件极值问题:即以两点间距离公式构成目标函数,以两个图形 其中x=x(t)ty=y(O,z=z(O 所满足的方程溅不等式舴为约束条件.这样的问题用拉格朗日 显然。这是一个关于t的一元方程,求解可得,t=tl 乘数法足以解决。 进而可得切点为(x(1I),y(t-),z(1 )), 本文另辟蹊径,抓住距离问题的实质,在几何上给予充分 再代人球面方程中可得出球面半径K,从而得所求的点到 科学合理的解释,将问题予以适当转化,辅以微分学知识,提出 曲线距离. 了一种求解距离问题的直观准确的新解法.这种解法在理论上 注:待别地,若点P在曲线L上,则所求半径为0且切点恰 将导数与相切、距离与极值(含最值)等高等数学中几个核心概 是已知点. 念进一步有机结合起来,令人更如深刻地领略数学领域里数形 推论:平面上一点P到一条曲线L的距离等于以点P为 合一的无穷奥妙.同时将距离问题的求解与优化理论相沟通,使 圆心的圆族中的一个与曲线L相外切的圆c。的半径. 优化思想得到延伸,开拓了优化论更广泛的应用领域.这种解法 定理2:空间中一点P到一条曲线L的最长距离等于以点 在解决实际问题方面也是十分有效的。还可以让初学者拓广思 P为球心的球族中的一个与曲线L相外切的球的半径. 路,开阔视野,提高学习兴趣。 注:1)若点P在曲线L上,则所求的点到曲线的最长距离 1距离问题的新解法 仍可用定理2表述. 2)若曲线L延伸至无穷远处,则定理2中提及的“与曲线 1.1点到曲线的距离 L相外切的球”实际是半径为无穷大的一个“球”。此时点P到曲 定理1空间中的一点P到一条曲线L的距离等于以该点 线的距离为正无穷大. P为球心的球族中的—个与曲线L相外切的球的半径。 推论:平面上一点P到一条曲线L的最长距离等于以点P 定理l为点到曲线距离问题提出了这样一个思路:首先以 为圆心的圆族中的一个与曲线L相内切的圆的半径. 已知点为球心,取半径为参数K,构造球面族方程;再求球面 例1抛物面z '+y2被平面x+y+z=l截成一椭圆,求原点 与已知曲线的切点,最后求出相切球面的半径。即得所求距 到这个椭圆的最长距离和距离. 离。 . 解:以原点为球心的球面方程为: ’+ l【2 实例已知点P取为(x ̄yo,zo),已知曲线L取为】‘=x(I),y--y(t), 其上任一点发向量为:fx,Y,z) z=z(1),以P为球心的同心球面族方程为: 据微分学知识。已知椭圆上任一点处的切向量为{2y十1。 (x—x r—y (z-zo)2-=k。 一2x_l’2x_y) 其上任一点x,Y,z)处的切平面法向量 fx-x。,y-y。, 要求切点,则得方程: zo l x(2y+1卜y(2x+l 2】【-2y , 与z- ̄+f x+y+z=l联立 (下转第60页) 【收稿日期】2012—2—19 【作者简介】 王丽芳(1966-),女,广州工程技术职业学院高级讲师。 5l 第1期 湖南工业职业技术学院学报 2012年 59.67%的企业参与民间借贷。民间借贷规模约为1100亿元,最 高月份的综合利率水平为24.81%。(央行温州市中心支行《温 州民间借贷市场报告》)【7】如此庞大的资金不流入股市除了巨 划运行机制研究[J】,湖南师范大学社会科学学报,2007,36(4) [2]蒋杭君.美国的401K计划及其肩,T,tJI.合作经济与科技,2010(16) [3]闻岳春,解学勤.美国401K条款及对中国发展企业年金的借鉴【Jl l保险研究,2005 【4]郑秉文.中国版401k路在何方:养老金不应用来托市『EB/OL]. http://ifnance.sina.corn.cn/stock/stocktalk/20110825/101710377437. shtml,201 1-08—25 大的利润诱惑外,也跟股市的发展有关,股市存在的顽疾使得 投资者对股市缺乏信心。如果股市发展稳定,个人投资股票市 场足矣,不必以身试法放高利贷。所以,从中国目前的情况看, 股市缺的不是资金,是信心。不是注入股市的资金多了股市就 能上涨。企业年金不能成为拉动股市的主要力量,不应将其重 心放在投资功能。 美国401K已经进入中国,不必再讨论适不适合,应该结合 [5]苏琳.“十一五”期间我国注册私营企业超过840万户【N】.经济日 报,201 1-01—19(3) [6]叶檀.中国版401K计划是个大笑话[EB/OL]. http://user.qzone.qq.com/622004674/blog/1313519822,201 1-08-17 中国国情加以改良,不忙于盲目扩大,在实践的过程中发现问 题,解决问题,客观的看待它的作用,不忘其养老的根本。 [参考文献】 [7]叶檀.全民高利贷狂欢:中国最可怕的金融风险[EB/0LI。 http://user.qzone.qq.com/622004674/blog/1321556735.2011-I1-17 【1】刘子兰,吴建新.美国401K计划的创新与发展——罗斯401K计 (上接第51页) 解得:x。一 1+ 1x2一丁—其上任一点法向量为:{x,Y,z) yI=一 1+ z。=2-、/ 又已知曲面上任一点处法向量 {y+l,x-1,-2z) X/3-丁一 一孚一下X/3-z2=2+、 . 由“两相切曲面在切点处有同一切平面” 代入方程得:kl=v'9—5、/ 为所求距离故得音 寺 寺 与zZ=xy+x—y+4联立 ‘ 解得XI=一1,YI=1,z1=一1;x2=一1,y.,--1,z!=l k2=x/9+5、/ 为所求的最长距离. 1-2点到曲面的距离 定理3:空间中一点P到一个曲面的距离等于以点P为球 心的球族中的一个与曲面相外切的球的半径. 实例已知点P取为x。,Y。,z。)已知曲面取为F(x,Y,z)=o 代入球面方程得K_、/ 即所求距离。 2.距离问题新解法与优化思想的联系 本文所提诸法都是以某一已知图形为基准扩张生成的曲 线(面)族,向另一图形搜索至相切位置,从而找出切点并得出结 果的_这里进行扩张搜索的曲线(面)实质上是与基准图形距离相 以P为球心的同心球面方程为(x_x。)2十 —Y。)。十(’z—z。)2=0. 其上任一点x,Y,z)处的切平面法向量 =Ix—X。,y-y。,z—Zo】 已知曲面上任一点(x,Y,z 切平面法向量 ={Fx’,Fy’,Fz’) 由球面与曲面S相切,即得, × 。=0, 等的等值线(面),这种搜索方法与最优化问题图解法是一致的。 这表明本文提出的距离问题新解法不失为优化思想又一新应 用。 【参考文献】 与曲面方程联立可求出切点,代人球面方程中可得球面半 径K,即为所求的距离. 例2.求原点到曲面 xy+x—y+4的距离。 解:以原点为球心的球面万程为 )【2+、r2+z k 【1】同济大学数学教研室主编高等数学上册第六版2006.154-158 【2】同济大学数学教研室主编高等数学下册第六版2006.59-68 【3】李德钱颂迪运筹学[M】北京:清华大学出版社1982.70-81