[最新]测量平差习题

0

第一章 自测题

一、判断题（每题2分，共20分）

00

1、 通过平差可以消除误差，从而消除观测值之间的矛盾。（ ）2、 观测值Li与其偶然真误差i必定等精度。（ ）

00

03、 测量条件相同，观测值的精度相同，它们的中误差、真误差也相同。（ ）

4、 或然误差为最或然值与观测值之差。（ ）

0

5、 若X、Y向量的维数相同，则QXYQYX。（ ）

06、 最小二乘原理要求观测值必须服从正态分布。（ ）

07、 若真误差向量的数学期望为0，即E()0，则表示观测值中仅含偶然误差。（ ）

0

08、 单位权中误差变化，但权比及中误差均不变。（ ）9、 权或权倒数可以有单位。（ ）

0

10、相关观测值权逆阵Q的对角线元素Qii与权阵P的对角线元素Pii之间的关系为（ ）QiiPii1。

二、填空题（每空0.5分，共20分）

00

1、测量平差就是在 基础上，依据 原则，对观测值进行合理的调整，即分别给以适当的 ，使矛盾消除，从而得到一组最可靠的结果，并进行 。

02、测量条件包括 、 、 和 ，由于测量条件的不可能绝对理想，使得一切测量结果必然含有 。

3、测量误差定义为 ，按其性质可分为 、 和 。经典测量

0平差主要研究的是 误差。

0

4、偶然误差服从 分布，它的概率特性为 、 和 。仅含偶然误差的观测值线性函数服从 分布。

05、最优估计量应具有的性质为 、 和 。若模型为线性模型，则所得最优估计量称为 ，最优估计量主要针对观测值中仅含 误差而言。要证明某估计量为最优估计量，只需证明其满足 性和 性即可。

06、限差是 的最大误差限，它的概率依据是 ，测量上常用于制定 的误差限。

7、若已知观测值向量L或其偶然真误差向量的协方差阵为，则L或的权阵定义为

0由于验前精度难以精确求得，实用中定权公式有 、 、PL=P= ，

0

0 ，特别是对等精度观测向量L而言，其权阵可简单取为PL= 。

n18、已知真误差向量及其权阵P，则单位权中误差公式为 ，当权阵P为 此公式变为中误差公式。式中，可以为同一观测量的真误差，也可以为 观测量的

n1真误差。

0

n129、已知非等精度观测向量L的非线性函数变量为zf(L)，则mz= ，

1= 。pz0

10、已知某量z的权倒数

1及单位权中误差，则mz= 。pz

0

三、选择题（每题2分，共20分）

01、已知方位角TAP4523121，sAP10km 时点位纵横向精度基本相同（2105）。

0

0A、1m B、1cm C、5cm D、5mm

ˆA2、已知A 。A、W(WABC180)，mAmBmCm，mW3m，则mAˆ=3

002232m B、m C、m D、m33230

3、长方形地块的面积由长和宽得到，已知长度的测量值a4m1cm，若要求面积的中误差mS5dm，则宽度测量值b3m的中误差应在 范围。

20

0A、1cm B、2cm C、3cm D、4cm

4、A、B两点按双次观测得高差hi、hi(i1,2,,8)，各高差之间相互，每一高差的中误差均为2mm，则全长高差算术中数的中误差为 。A、2mm B、4mm C、8mm D、16mm

0

05、水准测量中，10km观测高差值权为8，则5km高差之权为 。

A、2 B、4 C、8 D、16

00

21，则

6、已知PpL2= 。

130

0A、2 B、3 C、

55 D、2307、已知三角形闭合差向量W及其相关权阵PW，Wi中Ai的权为pi，则Ai的中误差为

n1

。

0WTPWWWTPWWWTPWWWTPWWA、 B、 C、 D、npi3npin3n0

08、已知观测值L的中误差为mL，x2L，yL2，则mxy= 。

022A、4LmL B、4LmL C、2LmL D、2LmL

iv1v29、已知vixLi(i1,2,,n)，x0L，观测值L等精度，其权均为1，则pn=

。0A、n B、n C、

n111 D、nn0

10、随机向量X的协方差阵X还可写为 。TT0

A、E(XX)E(X)E(X) B、E(X)E(X)T0C、ET(X)E(X) D、E(XXT)E(X)ET(X)0

2

四、推证题（共15分）

1、菲列罗公式。（4分）

0022、已知zKTX，Xii(i1,2,,n)，i等精度，试推导zi均为2，

的公式。（5分）

0

3、知UAXBYCZU0，VDYEZV0，QXYZQXQXY0QYXQY0，A、B、00QZC、D、E为常数矩阵，U0、V0为常数向量，试推求QU、QUX、QUZ、QZV。（6分）

V0

五、计算题（共25分）

0xcossinx1、在新旧坐标系的转换模型中，若已知旧坐标x、y的协方差

ysincosy阵为xy2xxy，试求新坐标x、y的2，转换参数的均方差为（以秒为单位）

xyy协方差阵x（长度单位均为米）。（6分）

y0

21X，P142，2，试求Q、、，并指出X2、已知YX0YYXY12254向量中的元素与Y向量中的元素哪些互不相关。（6分）

3、 对三角形的三个内角进行了九组同精度观测，每组观测值中各角均为四测回中数，所得

0闭合差为：2.5、1.5、3.5、3.5、2.5、0.5、5.5、2.5、2.5。经检验，各闭合差包含有系统性的常误差0.5，试求：

1） 这组闭合差的精度及闭合差应出现的范围；2）各角观测值的精度；

3） 各角每测回观测值的精度。（7分）

00

0

004、 用40m1mm的钢尺往返丈量A、B间的距离，得结果如下表：

S1 S2 S3 S4 往 返 试求：

039.998m 39.994m 40.002m 40.008m 40.005m 40.001m 39.996m 39.998m 1） 全长单程SAB的中误差；

0

2） 较差diSiSi的限差。（6分）

0第二章 自测题

一、判断题（每题2分，共20分）

0

0

1、参数平差中，当误差方程为线性时，未知参数近似值可以任意选取，不会影响平差值及其精度。（ ）

0ˆ之间也一定误差。2、 观测值Li(i1,2,,n)之间误差，则平差值L（ ）i0

03、提高平差值精度的关键是增加观测次数。（ ）

0ˆi之间函数，所以它们之间的协方差一定为0。4、参数平差中要求未知参数x（ ）

TT05、对于一定的平差问题，一定有VPVP。（ ）

T

TVPVT1ˆ，则(FNF)。6、参数平差中，若ZFX（ ）Znt0

7、 参数平差中，当观测值之间相互时，若某一误差方程式中不含有未知参数，但自由

项不为0，则此误差方程式对组成法方程不起作用。（ ）

08、 数平差定权时，随单位权中误差的选取不同，会导致观测量平差值的不同。（ ）

09、 差值的精度一定高于其观测值的精度。（ ）

0

ˆLV，故QˆQQ。10、因为LLV（ ）L

二、填空题（每空1分，共25分）

0

0

1、参数平差中，未知参数的选取要求满足 、 。误差方程式个数为 ，法方程式个数为 。

02、已知某平差问题，观测值个数为79，多余观测量个数为35，则按参数平差进行求解时，

0

ˆ1,xˆ2,,xˆt)Li的线性化形式为 。未知参数的近似3、非线性误差方程式vifi(x值越靠近 ，线性化程度就越高；当线性化程度不高时，可以采用 法进行求解。

0

324、参数平差中，已知Nˆ1 ，mxˆ1 ，，2，则px24ˆ1xˆ21，若z2x则pz ，pxmxmz 。ˆ2 ，ˆ2 。

0

ˆ1442x0，则VTPV= ，5、已知lPl36，n4，法方程为ˆ2223xT= ，mxˆ1= ，mxˆ2= 。0

6、设观测值的权阵为P，将其各元素同乘以某大于0的常数后重新进行平差，则下列各

ˆ、V、、ˆ、Q中，数值改变的有 、 ，数值不改变的量：XVX有 、 、 。

7、LˆV= ，LV= 。ˆV= ，X

三、选择题（每题2分，共10分）

000

0

1、参数平差的法方程可以写为 。

0ˆˆA、QXˆXU0 B、XPXˆU0

ˆQU0 D、QXˆU0C、XUU2、参数平差中，已知PXˆ0111，mxˆ14，则

122 。

0A、1 B、2 C、4 D、8

0

223、以mL、m、mv分别表示某一量的观测值、真误差、观测值残差的中误差，则mL、m、

mv2之间的关系为 。

0

222222A、mL B、mLmvmmmv222222C、mL D、mmvmmvmL004、参数平差中，QLˆ= 。

0

A、AN1AT B、ATN1A0C、P1AN1AT D、P1ATN1A0

05、参数平差中，QXˆL= 。1T

T1A、ANA B、ANC、AN

四、推证题（共15分）

0A0

T1 D、N1AT0

ˆl按最小二乘原理推导参数平差的法方程。1、试以VAX（5分）

2、推证QL（5分）ˆLQLˆ。3、推导QVXˆ（5分）

五、计算题（共30分）

000

0

1、如图所示的测边网中，观测了六条边长si(i1,2,,6)，已知四个点的平面近似坐标分别为xA、yA，xB、yB，xC、yC，xD、yD，试以四个点的平面坐标为未知参数，列出线性化的误差方程。（8分）

x000000000

A4D53

2、如图所示的水准网中，已知HA100.00m，HB150.00m，观测高差及所在距离如下：

0

h1P1Bh130.04m s11kmh240.03 s21

h320.11 s31h470.15 s42

h2Ah4h3P2试按参数平差法求P1、P2两点的高程平差值及其中误差、两点之间高差的平差值及其中误差。（10分）

0

03、 如图所示，各角等精度，观测值如下：

L1300021L2602042L3302017 L45935L5243922

试求各角最或然值及其中误差。（12分）

L1L2L3L4L50

第三章 自测题

一、判断题（每题2分，共20分）

0

0

1、 同一平差问题，参数平差与条件平差所得观测值的平差值及其绝对精度一定相同。（ ）

02222ˆkLˆkLˆ，则mz2k12m2kmkm2、若zk1L（ ）ˆˆˆ。2n122nnLLL12n0

03、条件平差中，B(V)0。（ ）

TT

04、条件平差中，一定有VPVP。（ ）

05、若某一条件方程式的闭合差为0，则此条件方程式对求解不起作用。（ ）

v104111106、若有条件方程为，观测值间相互，则L2一定不得20101v51改正数。（ ）

0

ˆl，条件平差模型为BVW0，则WBl。7、 若参数平差模型为VAX（ ）

0

08、 无论参数平差还是条件平差，均有QLV0。（ ）9、 条件平差中，若E()0，则E(W)0。（ ）10、条件平差中，QVP为幂等阵。（ ）

二、填空题（每空1分，共20分）

0

0

0

1、条件平差中，条件方程式的选取要求满足 、 。 2、已知某平差问题，观测值个数为79，必要观测量个数为35，则按条件平差进行求解时，条件方程式个数为 ，法方程式个数为 。

00ˆ,Lˆ,,Lˆ)f（f0i为常数）的线性化形式为 。3、非线性条件方程式fi(L12n0i0

4、测量平差中，为消除多余观测所引起的矛盾，当所列方程为 方程时，称为参数平差；当所列方程为 方程时，称为条件平差。由于单纯消除矛盾而给的观测值改正数有无穷多组，为求出唯一估值，参数平差和条件平差都必须依据 原则求出极值，一般称参数平差的极值问题为 极值，条件平差的极值问题为 极值。

05、已知条件平差的法方程为42k140，则VTPV= ，= ，

232k2pk1= ，pk2= ，mk1k2 。若zk1k2，则

mz 。

0

6、LˆV= ，KLˆ= ，WLˆ= ，QWK= 。

0

0

三、选择题（每题2分，共10分）

0

1、条件平差的法方程等价于 。0A、QKKW0 B、KQWW0

C、KPWW0 D、KPKW00

42，

2、条件平差中，已知QW2，则mk1 。28A、

084 B、 C、8 D、4770

3、无论平差前定权时单位权中误差怎么选取，条件平差中下列哪组量均不会改变 。

0ˆ B、、V、LˆA、、VTPV、L0

ˆˆ C、QLˆ、V、L D、Lˆ、V、L04、条件平差中，若令JBP1BTN1B，则QLˆP= 。

0A、JB B、(IJB)20C、JB(IJB) D、JB(IJB)02105、条件平差中，法方程的系数阵N120，2，则w1的限差为 （取0032倍中误差为限差）。

0

A、22 B、42 C、422 D、233

0四、推证题（共20分）

0

1、试推导条件平差的法方程。（5分）2、推证L（5分）ˆLLˆ。

TT00

3、推证VPVKNK。（4分）

0VTPV4、。（6分）

r

五、计算题（共30分）

0

0

1、设在测站O上等精度观测了A、B、C、D四个方向，方向值如下，并知（5分）BOD900000.0，试以角度L1、L2、L3为平差元素做测站平差。

0

A

OA: 0 00 00.0OB: 29 59 59.7 OC: 60 00 00.0OD:120 00 00.3OL1L2BL3C

2、 如图所示，各角等精度，观测值如下：

D0

L1302018L2202436L3183640 L4504452L5390118

试求各角最或然值及其中误差。（9分）

o124350

3、 如图所示的水准网中，已知HA100.00m，HB150.00m，观测高差及所在距离如下：

0

P1Bh130.04m s11kmh240.03 s21

h320.11 s31h470.15 s42

h1h2Ah4h3P2试按条件平差法求P（91、P2两点高程平差值和两点之间高差的平差值以及它们的中误差。分）

0

4、如图所示的水准闭合环中，A为已知水准点（无误差），B、C、D为未知水准点，各

段高差及所在距离已由图中标出，

01） 平差后哪个点的高程精度最高，哪个点的高程精度最低，试说明原因；

02）欲使平差后C点高程中误差的绝对值不超过6mm，则每公里高差的中误差应在何范围之内。（7分）

0

s45kmA

s16kmh1Bh2s22kmCh4Dh3s33km第四、五、六章 自测题

一、判断题（每题2分，共20分）

0

0

2ˆ、均无偏。1、若观测值中仅含偶然误差，则无论用何种平差模型所得V、L（ ）

0

02、由具有参数的条件平差解的公式可以直接写出参数平差和条件平差的解式。（ ）

3、若观测值中仅含偶然误差，则具有参数的条件平差和具有条件的参数平差所得V均服从

正态分布，其维数等于观测值个数。（ ）

0

04、由于参数之间不函数，故具有条件的参数平差模型中系数阵A列降秩。（ ）

5、具有条件的参数平差求解时，可以视其条件方程为误差方程并按参数平差法求解。（ ）

06、当未知参数具有验前精度时，可以考虑采用参数加权的平差方法，也可以将其视为广义的观测值与实测值一起进行平差。（ ）

0

7、观测值分组的参数平差与序贯平差同解。（ ）8、若i~N(0,)，则ni与

20i1ni的分布不同。（ ）

09、由误差椭圆中心向误差椭圆所作的交线即为该方向的点位中误差。（ ）

010、若

VTPV20~(r)，则22220r。（ ）

0

二、填空题（每空1分，共30分）

0

1、已知某平差问题观测值个数为50，必要观测量个数为22，若选6个参数按具有参数的条件平差进行求解，则函数模型个数为 ，联系数法方程式的个数为 ；若在22个参数的基础上，又选了4个非参数按具有条件的参数平差进行求解，则函数模型个数为 ，联系数法方程式的个数为 。不管选用那种平差方法，上述所得结果都与参数平差结果 。

0

2、幂等阵的秩等于它的 ，利用此性质可以证明参数平差和条件平差中，

R(QV)= ，R(QLˆ)= 0

ˆl中，3、由二次型的数学期望E(XTAX)= 可以证明，参数平差模型VAXn1ntt1n1E(VTPV)= ；条件平差模型BVW0中，E(VTPV)= ；具有参rnn1r1ˆW0中，E(VTPV)= ；具有条件的参数平差模型数的平差模型BVBXXrnn1rtt1r1ˆVAXn1ntt1nl1T中，E(VPV)= 。ˆBXXW0rtt1r10

QLQX4、具有条件的参数平差中，若已求得QL则QV= ，ˆV= ，ˆV= 。ˆ，

QLˆL= ，QLV= 。0

T5、设参数分组的误差方程为VA1A21l，观测值的权阵为P，令N11A1PA1，

ˆXˆX2TTˆ的公式为Xˆ= ， N12A1TPA2，N21A2PA1，N22A2PA2，则单独求解X11QXˆ= 。

1

0

6、已知某平面控制点的权逆阵为QQxˆQxˆyˆ2，则误差椭圆参数= ，EQQˆyˆˆyx

F2= ，tg21= 。

07、偶然误差特性的检验包括 的检验、 的检验、 的检验、 的

检验、 的检验。

8、误差分布正态性的检验方法包括 、 。

00

三、选择题（每题2分，共10分）

0

ˆW0中，要求n、r、t满足 。1、具有参数的条件平差模型BVBXXrnn1rtt1r1

0A、nrt,rt B、ntr,rtC、nrt,rt D、ntr,rt

0ˆVAXn1ntt1nl12、具有条件的参数平差模型ˆW0中，要求n、r、t满足 。BXXrtt1r10

0A、ntr,rt B、ntr,rtC、ntr,tr D、ntr,trrnn1rtt1r1

0ˆW中，2= 。3、在全部参数加权平差模型BVAXTˆTPXˆˆTPXˆVTPVXVPVXXXA、 B、

rnt00

ˆTPXˆˆTPXˆVTPVXVTPVXXX C、 D、

rtt0

4、参数平差中，若系数阵A列降秩，则参数解有 。

0

A、唯一解 B、无解 C、无定解 D、只有0解5、若i~N(0,1)(i1,2,,n)，则P0 95.45%。n0 A、

2232 B、 C、 D、0

nnn2n

四、推证题（共25分）0

1、用任一方法推导具有条件的参数平差解Xˆ、V。（5分）

02、用参数平差原理和条件平差原理推导具有参数的条件平差解Xˆ、E(2)20。（9分）0

3、 用全部参数加权平差原理推证观测值分两组时0 V1A1Xˆ1l1V，0

2A2XˆPP2l21P2的整体解Xˆ。（6分）

0

4、 用任一方法推导部分参数加权平差模型：0

BVA1Xˆ1A2Xˆ2W，WDBLA1X01A2X020的解Xˆ1、Xˆ2、V，其中，X02具有验前精度PX02或QX2。（5分）

五、计算题（共15分）

0

1、设有两组观测值，所列误差方程如下：

0

v(cm)110ˆ0v211x17，P1diag(1,2,2)0vxˆ23010v4xˆ27(cm)， P220

，并证明

Vˆ1、xˆ2、QX若已知x0122.02m、x0225.21m且均无先验精度，试按序贯平差法求xˆ、

（9分）。

0

2、已知条件方程为

0v111100v2400111v40 310010v44v5定权时单位权均方差为

01.8，试以5%的显著水平检验该模型是否正确

022（0。（6分）.025(3)0.22，0.975(3)9.35）