福建省莆田市第一中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题

数学试题

一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．直线x+3y-1=0的倾斜角是 ( ) A．150º B．135º C．120º D．30º

2．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 ( ) 3πA．

2

D．4π

3．圆：x²+y²-4x+6y=0和圆：x²+y²-6x=0交于A,B两点，则AB的垂直平分线的方程是 ( ) A．x+y+3=0 B．2x-y-5=0 C．3x-y-9=0 D．4x-3y+7=0 4．下列关于直线l,m与平面α,β的说法，正确的是 ( ) A．若lβ且α⊥β，则l⊥α B．若l⊥β且α∥β，则l⊥α C．若l⊥β且α⊥β，则l∥α D．若αβ=m,且l∥m, 则l∥α

B．2π C．3π

正视图侧视图俯视图5．四面体SABC中,E,F,G分别是棱SC,AB,SB的中点，若异面直线SA与BC所成的角等于45º,则∠EGF等于 ( ) A．90º B．60º或120º C．45º D．45º或135º

6．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是 ( )

A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(1)(5)

7．如果直线(3a+2)x+ay-1=0与直线2ax+y-2a+1=0互相平行,则实数a的值为 ( ) 511A．0或- B．- C．2 D．2或- 622

8．若实数x，y满足x²+y²-2x+4y=0，则x-2y的最大值为 ( ) A．5 B．10 C．9 D．5+25

9．当曲线y=4-x²与直线kx-y-2k+3=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是 ( ) 513535

A．(0,) B．(,] C．(,] D．(,+∞)

123412412

10．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为 ( )

1

DECD'DEKCABB

A

π23π3A． B． C． D．

3322

二．填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)

11．已知直线l通过直线x-y+1=0和直线x+y+1=0的交点，且与直线2x+3y+5=0平行，则直线l的方程为 ．

12．长方体ABCD-A1B1C1D1内接于一球,若AA1=1, AB=BC=2,则这球的体积是 ． 13．一束光线从点A(-3,9)出发经x轴反射到圆C：(x-2)2+(y-3)2=1的最短路程是 ． 14．如图，矩形ABCD的长AB=2，宽AD=x，若PA⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q,使得PQ⊥BQ，则x的范围是 ． 15．在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x²+y²-8x+15=0，若直线 y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有 公共点,则k的最大值是 ．

DAQCBP三．解答题(本大题共6个小题，共55分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤．请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．)

→

16．(本小题满分8分)已知直线l经过A,B两点，且A(2,1)，AB=(4,2). (1)求直线l的方程；

(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2,0)点，求圆C的方程．

2

17．(本小题满分8分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为等腰直角三角形，AC⊥BC，点D是AB的中点，侧面BB1C1C是正方形．

(1) 求证AC⊥B1C；(2)求二面角B-CD-B1平面角的正切值．

C1A1B1CBD

118．(本小题满分9分)已知点P与两个定点O(0,0),A(-3,0)距离之比为.

2(1)求点P的轨迹C方程；

(2)求过点M(2,3)且被轨迹C截得的线段长为23的直线方程．

A

19．(本小题满分10分)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，现将△ ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′D的中点． (1)求证：EF//平面A′BC；

(2)求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值．

3

20．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2， E,F，G分别是PC,PD,BC的中点． (1)求三棱锥E-CGF的体积； (2)求证：平面PAB//平面EFG；

(3)在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．

21．(本小题满分10分) 设A(xA,yA)，B(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点,其中xA,yA,xB,yBZ.令△x=xB-xA，△y=yB-yA,若|△x|+|△y|=3，且|△x|·|△y|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作：B=f(A). (1)请问:点(0,0)的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上,若在,写出圆的方程；若不在，说明理由；

(2)已知点H(9,3),L(5,3),若点M满足M=f(H),L=f(M),求点M的坐标；

(3)已知P0(x0,y0)(x0Z,y0Z)为一个定点, 若点Pi满足Pi=f (Pi-1),其中i=1,2,3,···,n，求|P0Pn|的最小值．

ABPEFDGC4

莆田一中2012-2013学年度下学期第一学段考试试卷

参考答案

一．选择题AACB DDCB CA

4229

二．填空题11．2x+3y+2=0(写为y= -x-也可) 12．π 13．12 14．03323三．解答题

→

16．解：(1)∵A(2,1),AB=(4,2) ∴B(6,3) ∵直线l经过A,B两点

3-11∴直线l的斜率k==， ………………………………2分

6-221

∴直线l的方程为y-1=(x-2)即x-2y=0． ………………………………4分

2→

法二：∵A(2,1),AB=(4,2)

∴B(6,3) ………………………………1分 ∵直线l经过两点(2,1),(6,3) ∴直线的两点式方程为

y-1x-2

=， ………………………………3分 3-16-2

即直线l的方程为x-2y=0． ………………………………4分 (2)因为圆C的圆心在直线l上，可设圆心坐标为(2a,a)， ∵圆C与x轴相切于(2,0)点，所以圆心在直线x=2上，

∴a=1， ………………………………6分 ∴圆心坐标为(2,1)，半径为1，

∴圆C的方程为(x-2)²+(y-1)²=1． ………………………………8分 17．证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC， ∴CC1⊥AC， 又AC⊥BC，BC∩CC1=C， 所以，AC⊥平面BCC1B1，

所以，AC⊥B1C． ………………………………3分 (2)∵△ABC是等腰直角三角形，D为AB中点， ∴CD⊥AB

∵平面ABC⊥平面AA1B1B，平面ABC∩平面AA1B1B=AB， ∴CD ⊥平面AA1B1B，

∵B1D平面AA1B1B，BD平面AA1B1B， ∴CD⊥B1D，CD⊥BD，

5

∴∠B1DB是二面角B-CD-B1平面角， ………………………………6分 不妨设正方形BB1C1C的棱长为2a，则： 在RT△B1DB中，BD=2a，BB1=2a，∠B1BD=90º BB1∴tan∠B1DB==2.

BD

∴所求二面角B-CD-B1平面角的正切值为2. ……………………………8分 18．解：(1)设点P(x,y),则依题得|MA|=2|MO|, ∴(x+3)²+y²=2x²+y²， 整理得x²+y²-2x-3=0,

∴轨迹C方程为x²+y²-2x-3=0． ………………………………4分 (2)圆的方程可化为(x-1)²+y²=4,则： 圆心为(1,0),半径为2,

∵直线l过点P且被圆截得的线段长为2, ∴弦心距为d=2²-(23)²=1. 2

设直线l的方程为y=k(x-2)+3即k(x-2)-y+3=0, |k(1-2)-0+3|4∴=1,解得k=. ……………………………7分

31+k²4

∴此时直线的方程为y=(x-2)+3即4x-3y+1=0.

3

又当直线的斜率不存在时,直线的方程为x=1.经检验,直线x=-4也符合题意． ∴直线l的方程为3x+4y-8=0或x=1. ………………………………9分

1

19．解：(1)证明：取A′C的中点M，连结MF，MB，则FM∥DC，且FM＝DC.

21

∵EB∥DC，且EB＝DC，

2∴FM∥EB且FM=EB.

∴四边形EBMF为平行四边形， ∴EF∥MB.

∵EF平面A′BC，MB平面A′BC，

∴EF∥平面A′BC. ………………………………4分 (2)过B作BO垂直于DE的延长线，O为垂足，连结A′O. ∵平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE＝DE， ∴BO⊥平面A′DE，

∴∠BA′O就是直线A′B与平面A′DE所成的角． ………………………………7分 过A′作A′S⊥DE，S为垂足，

因为平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE＝DE，

6

所以A′S⊥平面BCDE.

在Rt△A′SO中，A′S＝2，SO＝22，所以A′O＝10． 又BO＝2，所以tan∠BA′O＝

BO25

＝＝， A′O105

5

． ………………………………10分 故直线A′B与平面A′DE所成角的正切值为5

20．(1)解：∵PD⊥平面ABCD, ∴PD⊥BC. 又∵ABCD为正方形， ∴CD⊥BC, ∴BC⊥平面PCD即GC⊥平面CEF.

∴V13×S△CEF×GC=13×(12×1×1)×1=1E-CGF= VG-CEF=6． (2)证明：E,F分别是线段PC,PD的中点，

∴EF//CD.

又ABCD为正方形，AB//CD， ∴EF//AB.

又EF平面PAB， ∴EF//平面PAB．

∵E,G分别是线段PC,BC的中点， ∴EG//PB.

又EG平面PAB， ∴EG//平面PAB． ∵EF∩EG=E,

∴平面PAB//平面EFG． (3)Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ． 取PB中点Q，连接DE,EQ,AQ， ∵EQ//BC//AD， ∴ADEQ为平面四边形，

由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD， 又AD⊥CD，PD∩CD=D， ∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC，

又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点， ∴DE⊥PC. ∵AD∩DE=D，

7

……………………………3分

分 ………………………………6∴PC⊥平面ADQ． ………………………………10分 21．解解: (1)因为|△x|+|△y|=3(|△x|,|△y|为非零整数),

故|△x|=1,|△y|=2或|△x|=2,|△y|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个 . 又因为(△x)²+(△y)²=5,即(△x-0)²+(△y-0)²=5 .

所以这些可能值对应的点在以(0,0)为圆心,5为半径的圆上，

方程为x²+y²=5 . ………………………………3分 (2)设M(xM,yM), 因为M=f(H),L=f(M),

所以有|xM-9|+|yM-3|=3, |xM-5|+|yM-3|=3, 所以|xM-9|=|xM-5|,所以xM=7, yM=2或yM=4,

所以M(7,2)或M(7,4). ………………………………6分 (3) 当n=1时,可知|P0Pn|的最小值为5; 当n=2k,kN *时, |P0Pn|的最小值为0 ;

当n=3时,对于点P,按照下面的方法选择“相关点”,可得P3(x0,y0+1): P0(x0,y0)→P1(x0+2,y0+1)→P2(x0+1,y0+3) →P3(x0,y0+1) 故|P0Pn|的最小值为1,

当n=2k+3, kN *时,对于点P,经过2k次变换回到初始点P0(x0,y0),然后经过3次变换回到Pn(x0,y0+1),故|P0Pn|的最小值为1. 综上,当n=1时, |P0Pn|的最小值为5; 当n=2k,kN *时, |P0Pn|的最小值为0；

当n=2k+1,kN *时, |P0Pn|的最小值为1. ………………………………10分

8