完全平方公式教案

◆随堂检测

1、多项式与多项式相乘，现用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ，再把所得的积 。

2、计算：(x3)(x5) 。 3、(ab3)(ab3)的计算结果是 。

◆典例分析

例题：将一多项式[(17x3x4)(axbxc)]，除以(5x6)后，得商式为(2x1)，余式为0。求abc=？

A．3 B．23 C．25 D．29

分析：①被除数=除数商，②两个多项式相等即同类项的系数相等 解：∵ (5x6)(2x1)5x2x5x162x6110x17x6

∵[(17x3x4)(axbxc)]=(17a)x(3b)x(4c) ∴10x17x6(17a)x(3b)x(4c)

222

22

2

2217a10a7∴3b17 得b20 ∴abc7(20)(2)29 4c6c2故选D ●拓展提高

1、若(xa)(x2)x5xb，求a，b的值。

2、若xax4的积中不含x的一次项，求a的值。

2 1

3、若Mx3x5，Nx2x6，试比较M,N的大小。

4、计算： (x3)(x3)(x1)(x2)

5、已知x25x14，求x12x1x121的值

●体验中考

1、（2009年福州）化简：（x－y）（x+y）+（x－y）+（x+y）.

2、(2009宁夏)已知：ab32，ab1，化简(a2)(b2)的结果是 ．

2

参考答案： ◆随堂检测 1、 每一项，相加

2、 (x3)(x5) xx(5)x3x3(5)x5x3x15x2x15 3、(ab3)(ab3)abab3ab(3)ab(3)3ab3ab9 ◆课下作业 ●拓展提高

1、解：(xa)(x2)xxax2x2ax(2a)x2a 即2a5，2ab 所以a7，b14

2、解：xax4xax4x4ax(a4)x4a

2222222222 不含x的一次项即a40，所以a4

3、解：x3x5x3x5x(3)(5)x8x15

22x2x6x22x6x(2)(6)x28x12

所以M>N

4、解：原式=x6x9x3x2 =x6x9x3x2 =9x7． 5、x12x1x11 =2xx2x1(x2x1)1 =2xx2x1x2x11 =x5x1

3

2222222222当x5x14时，

原式=(x5x)114115 ●体验中考

221、原式＝xyxyxy ＝xy2x． 2、2

(a2)(b2)ab2b2a4ab2(ab)4，将ab得12()42

22223，ab1代入， 232◆随堂检测

1、两项和与两项差的积等于这两项的 ，其中 项的平方作为被减数； 项的平方作为减数。

2、x3x3= ；3xx3 。

3、(3x)(3x) ；x3x3 。 4、(a+ )(a- )=a-0.25

2

◆典例分析

例题：若a20072008，b，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小． ．．20082009分析：两个数比较大小常用方法①平方法②差比法③商比法④相反数法。

而两个分数比较大小通常用①通分法②把分子化为相同的数，分母大的反而小。 这里可采用常见的通分法，会发现分子可用平方差公式化简。

200821220072009(20081)(20081)解：∵ a=， 20082009200820092008200920082 b，

20082009

4

200821220082，

∴ a◆课下作业

●拓展提高

1、计算：(3x22y)(3x22y) 。 2、运用平方差公式计算: ①20021998

②2009220082010

3、先化简，后求值：a3a3a29，其中a1

4、去括号：ab2ab2

5、先化简，再求值：(a2)(a2)a(a2)，其中a1．

●体验中考

5

1、(2009年四川省内江市) 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，

a a b 可以验证（ ）

A．(ab)a2abb B．(ab)a2abb C．ab(ab)(ab) D．(a2b)(ab)aab2b 2．（2009年嘉兴市）化简：(a2b)(a2b)

参考答案： ◆随堂检测

1、平方的差，符号相同，符号不同 2、x9, 9x

3、(3x)(3x)(3)x9x， x3x3(3)x9x

222222222222222222a

b b 图甲

b 1b(a8b)． 24、 0.5, 0.5 ◆课下作业 ●拓展提高

2222222241、(3x2y)(3x2y)(2y3x)(2y3x)(2y)(3x)4y9x

6

2、解：①20021998200022000220002400000043999996

22②2009200820102009(20091)(20091)2009(20091)13、解：a3a3a9(a9)(a9)(a)9a81

222222422222

把a1代入得18180 4、解：ab2ab2

4[a(b2)][a(b2)]a2(b2)2a2[bb(2b)(2b)(2)(2)] a2[b24b4]a2b24b45、解：原式a4a2a

222a4．

当a1时， 原式2(1)4 ●体验中考1、C

2、 (a2b)(a2b)

111b(a8b)a24b2ab4b2a2ab 222

完全平方公式（一）

[教学目标]理解完全平方公式的特征，了解公式的几何背景，会运用公式进行简单的

计算。

[重点难点]完全平方公式及其应用是重点；完全平方公式的结构特征及灵活运用是难点。

[教学过程] 一、情景导入

请用两种方法计算下面图形的面积，你发现了什么？

7

222

由图（1）得（a+b）= a+ab+b，

2 22

由图（2）得（a-b）= a-2ab+b。

类似这样的等式在整式乘法中经常遇到，它有没有特殊的意义呢？

二、完全平方公式 计算下列各式：

2

（1）（p+1）=（p+1）（p+1）=_______；

2

（2）（m+2）=_______；

2

（3）（p-1）=（p-1）（p-1）=________；

2

（4）（m-2）=________.

这些式子有什么特征？它们都是两数和或差的平方。

2222

（1）p+2p+1；（2）m+4m+4；（3）p-2p+1；（4）m-4m+4。 仔细观察一下，看看式子与结果之间有什么关系？

两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍． 上述结论用字母怎么表示？

2222 22

（a+b）= a+ab+b （a-b）= a-2ab+b。 这与我们开始从图中发现的结论是一样的。 我们来计算一下：

22222

（a+b）=（a+b）（a+b）=a+ab+ba+b=a+2ab+b；

2 2222

（a-b）=（a-b）（a-b）=a-ab-ab+b= a-2ab+b.

这两个等式叫做完全平方公式。 三、例题

例1运用完全平方公式计算：

22

（1）（4m+n） （2）（y－1/2）

分析：式子有什么特征？相当于公式中的a、b分别是什么？套用公式的结果是什么？

2 2 2

解：（1）（4m+n）=（4m）+2·4m·n+n

22

=16m+8mn+n

2 2 2

（2）（y－1/2）=y －2·y·1/2+（1/2）

2

=y-y+1/4

注意：①公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；②套用公式的结果是三项。

2222

思考：（b-a）与（a-b） 是否相等？（-a-b） 与（a+b）是否相等？为什么？ 例2 运用完全平方公式计算：

8

（1）102 （2）99

分析：怎么变形可使计算简便？套用公式的结果是什么？

22

解：（1）102=（100+2）

22

=100+2×100×2+2 =10000+400+4 =10404．

22

（2）99=（100-1）

22

=100-2×100×1+1 =10000-200+1 =9801． 五、课堂小结

这节课学习了完全平方公式。

1、完全平方公式是怎样的？用文字语言怎么叙述？ 2、运用完全平方公式要注意什么？

①要明确公式的特征；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；③套用公式的结果是三项，要与平方差公式区分开来。

22

完全平方公式（二）

[教学目标] 进一步明确完全平方公式的结构特征，掌握添括号法则，利用添括号法则灵活运用完全平方公式．

[重点难点] 用添括号法则灵活运用完全平方公式是重点；添括号法则的运用是难点。 [教学过程] 一、复习导入

前面我们学习了去括号法则，回忆一下，什么是去括号法则？

根据去括号法则填空：

（1）a+（b+c）= ； （2）a-（b-c）= 。 运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号，怎么办呢？ 二、添括号法则

把上面的式子反过来就得到添括号法则：

（1）a+b+c= a +（b+c）； （2）a-b+c= a -（b-c） 用语言表达为：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．

思考：判断下列运算是否正确： （1）2a-b-c/2=2a-（b- c/2）

9

（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b） （3）2x-3y+2= -（2x+3y-2）

（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）

三、例题

例1运用乘法公式计算

2

（1）（a+b+c） （2）（x+2y-3）（x-2y+3）

分析：式子可以直接运用乘法公式计算吗？可以作怎样的变形？根据添括号法则试一试。

2 2

解：（1）（a+b+c）=[a+（b+c）]

22= a+2a（b+c）+（b+c） 222 = a+2ab+2a c+b+2bc+c222

= a+b+c+2ab+2abc +2ca。 （2）（x+2y-3）（x-2y+3）=[x+（2y-3）][ x-（2y -3）

2222

=x -（2y -3）= x -（4y-12y+9）

22

= x -4y+12y -9。

反思：想一想，还可以怎样变形？

2

例2 解方程：（x+4）－（x+4）（x－4）=0 分析：这个方程有什么特点？可以怎样化简？ 解：原方程变为

22

x+8x+16－（x－16）=0 22

x+8x+16－x+16=0 8x+32=0 ∴x=-4

反思：解方程和不等式时，恰当地运用乘法公式可以使运算简便。 五、课堂小结

这节课你有什么收获？ 1、知道了添括号法则；

2、有些看上去比较复杂的式子，经过适当的变形（比如添括号）也可以运用乘法公式计算。

3、解方程和不等式时，恰当地运用乘法公式可以使运算简便。

完全平方公式

◆随堂检测

1、两项和（或差）的平方，等于它们的 加上（或减去）它们乘积的2倍，公式为ab 。

22、添括号时，如果括号前是负号，括到括号里的各项

10

3、(2x3y) 4、如果xkx9是一个完全平方式，求k的值

22◆典例分析

例题：已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值： （1）ab+ab （2）a+b

分析：① 若是填空、选择题，可令a1，b2代入进行计算

②要出现a、b的平方项并与ab（的积）发生联系，只需令等式a+b=3两边同时平方得到(ab)3即可。

解：（1）ababab(ab)236 （2） ∵(ab)a2abb

∴ab(ab)2ab3225

222222222222222●拓展提高

1、已知ab3，ab1，求 ab = . 2、用完全平方公式计算：2009

3、用乘法公式计算：① (2xy3)

②(xy1)(xy1)

11

2222

4、先化简，再求值：

1(ab)(ab)(ab)22a2，其中a3，b．

3

5、(ab)(ab)(2ab)3a，其中a23，b32．

●体验中考

221、（2009年台州市）下列运算正确的是 （ ） A．4a3a1 B．(a3)a9 C．(ab)(ab)ab Ｄ．(ab)ab

22222

222．（2009年台州市）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如abc就是完全对称式.下列三个代数式：①(ab)；②abbcca； ．．．．．

③abbcca．其中是完全对称式的是( )

A．①② B．①③ C． ②③ D．①②③

12

2222

参考答案 ◆随堂检测

1、平方的和，a2abb 2、改变符号

3、(2x3y)(2x)2(2x)(3y)(3y)4x12xy9y 4、因为x6x9是一个完全平方式，所以k6 ◆课下作业 ●拓展提高

1、解：(ab)(3)(a2abb)9，

将ab1代入得a21b9，所以ab927 2、解：

222222222222222220092(20009)22000222000992400000036000814036081

（2x-y-3）[2x(y3)] 3、解①：

4x24xy12xy26y9

②(xy1)(xy1)

22(xy)21x2xyy122

4、解：(ab)(ab)(ab)2a aba2abb2a 2ab 当a3，b

222222211时，2ab23 3313

2

5、(ab)(ab)(2ab)3aa2abb2aabb3a

2222222ab．

当a23，b32时，

22原式(23)(32)(2)(3)1 ●体验中考

1、C 2、A

14