【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：4-2

课时作业(二十五)

一、选择题

1．(2013·成都市第三次诊断)已知向量a＝(－2,4)，b＝(－1，m)．若a∥b，则实数m的值为( )

11A．－2 B．－2 C．2 D.2 解析：由a∥b可得－2m＝－4得m＝2，故选C. 答案：C

2．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝( )

A．3 B．0 C．5 D．－5

解析：由已知得：(a－c)＝(3－k，－6)， 又∵(a－c)∥b，

∴3(3－k)＋6＝0，∴k＝5. 答案：C

3．设向量a＝(3，3)，b为单位向量，且a∥b，则b＝( )

3131A.，－或－，

2222

31

C.－，－

22

31

B.，

22

3131

D.，或－，－

2222

解析：设b＝(x，y)，由a∥b可得3y－3x＝0，又x2＋y2＝1得

3131

b＝，或b＝－，－.

2222

答案：D

4．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四

→→→

个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设OP＝mOP1＋nOP2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足( )

A．m>0，n>0 C．m<0，n>0

B．m>0，n<0 D．m<0，n<0

→→→

解析：由题意及平面向量基本定理易得在OP＝mOP1＋nOP2中，m>0，n<0.

答案：B

→→→

5．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是( )

1

A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠1 D．m≠－1 解析：若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线． →→→

∵AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，

→→→

AC＝OC－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)． 假设A、B、C三点共线， 则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.

∴若A、B、C三点能构成三角形，则m≠1. 答案：C

6．(2013·广东卷)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：

①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；

②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μ c； ③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μ c；

④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μ c.

上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：显然①②正确；对于③，当μ<|a|sin〈a，b〉时，不存在符合题意的单位向量c和实数λ，③错；对于④，当λ＝μ＝1，|a|>2时，易知④错．

答案：B 二、填空题

7．(2013·河南郑州第一次质量预测)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，且a∥b，则|a－b|＝________.

解析：由a＝(1,2)，b＝(x,6)，a∥b，得x＝3，故|a－b|＝－22＋－42＝25. 答案：25

8．(2013·安徽亳州摸底联考)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若n

ma＋nb与a－2b共线，则m等于________．

解析：ma＋nb＝m(2,3)＋n(－1,2)＝(2m－n,3m＋2n) a－2b＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)

∵ma＋nb与a－2b共线，∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0 n

∴m＝－2. 答案：－2

9．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别是CD，AB→→→n

的中点，设AB＝a，AD＝b.若MN＝ma＋nb，则m＝________.

→→→→111

解析：∵MN＝MD＋DA＋AN＝－4a－b＋2a＝4a－b， 1n

∴m＝4，n＝－1.∴m＝－4. 答案：－4 三、解答题

10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； →→→

(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值． →→

解：(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则 →→→→

AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)． →→→→

所以|AB＋AC|＝210，|AB－AC|＝42.

故所求的两条对角线长分别为42，210.

→→→

(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t,5＋t)． →→→由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 11从而5t＝－11，所以t＝－5.

→→→

11．(2013·江西南昌调研)已知向量OA＝3i－4j，OB＝6i－3j，OC＝(5－m)i－(3＋m)j，其中i，j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．

(1)A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件． →

(2)对任意m∈[1,2]使不等式AC2≤－x2＋x＋3恒成立，求x的取值范围．

→→→→

解：(1)AB＝(3,1)，AC＝(2－m,1－m)，∵AB，AC不共线， 1

∴3(1－m)≠2－m，m≠2. →

(2)因为AC2＝(2－m)2＋(1－m)2＝2m2－6m＋5， →

所以，当m＝1或2时，AC2最大，最大值是1， 所以1≤－x2＋x＋3，即x的取值范围是[－1,2]．

12．(2013·四川省成都市一诊)在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(2sin B，－3)，n＝B

cos 2B，2cos2－1，且m∥n.

2

(1)求锐角B的大小；

(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．

解：(1)∵m∥n

2B⇒2sin B2cos2－1＝－3cos 2B 

π2π

∴tan 2B＝－3，又0π5π

(2)由tan 2B＝－3，0π

①当B＝3时，已知b＝2，由余弦定理得：4＝a2＋c2－ac≥ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立)

13

∵△ABC的面积S△ABC＝2acsin B＝4ac≤3， ∴△ABC的面积最大值为3

5π

②当B＝6时，已知b＝2，由余弦定理得：

4＝a2＋c2＋3ac≥(2＋3)ac⇒ac≤4(2－3)(当且仅当a＝c＝6－2时等号成立)

11

∵△ABC的面积S△ABC＝2acsin B＝4ac≤2－3 ∴△ABC的面积最大值为3. [热点预测]

13．(1)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.

(2)(2013·浙江杭州第二次质检)在△OAB中，C为OA上的一点，→2→

且OC＝3OA，D是BC的中点，过点A的直线l∥OD，P是直线l上→→→

的动点，OP＝l1OB＋l2OC，则l1－l2＝________.

解析：(1)因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0， a2＋b2－c21

所以a＋b－c＝ab，2ab＝2，

2

2

2

1

结合余弦定理知，cos C＝2， 又0°→→→→→3→1→→λ→(2)由已知OP＝OA＋AP＝OA＋λOD＝2OC＋2λ(OB＋OC)＝2OB

3λλ3λ3＋2＋2OC＝l1OB＋l2OC，即可得l1＝2，l2＝2＋2，则l1－l2＝－2. 

→→→

3答案：(1)60° (2)－2