结构化学习题参考答案-周公度-第5版

【1.1】将锂在⽕焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm ，这是Li 原⼦由电⼦组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产⽣的，试计算该红光的频率、波数以及以k J ·mol -1为单位的能量。解：81141

2.99810m s 4.46910s 670.8m c

νλ--??===? 41711 1.49110cm 670.810cm νλ--===??%34141

23-1 -16.62610J s 4.46910 6.602310mol 178.4kJ mol A E h N sν--===?

【1.3】⾦属钾的临阈频率为5.464×10-14s -1

，如⽤它作为光电极的阴极当⽤波长为300nm 的紫外光照射该电池时，发射光电⼦的最⼤速度是多少？解：201

2hv hv mv =+()120181234141931

2 2.998102 6.62610 5.46410300109.10910h v v m m s J s s m kg υ------??=?

-??? ??????=g g1341412

31512 6.62610 4.529109.109108.1210J s s kg m s ----=?????=?g g【1.4】计算下列粒⼦的德布罗意波的波长：（a ） 质量为10-10kg ，运动速度为0.01m ·s -1

的尘埃； （b ） 动能为0.1eV 的中⼦； （c ） 动能为300eV 的⾃由电⼦。解：根据关系式：

(1)3422101

6.62610J s 6.62610m 10kg 0.01m s h mv λ----??===

34-11 (2) 9.40310mh p λ-====?

3411(3) 7.0810mh p λ--====?

【1.6】对⼀个运动速度c υ=（光速）的⾃由粒⼦，有⼈进⾏了如下推导：1v v

v v 2h h E m p m νλ=====①②③④⑤结果得出12m m υυ=

的结论。上述推导错在何处？请说明理由。

解：微观粒⼦具有波性和粒性，两者的对⽴统⼀和相互制约可由下列关系式表达：/E hvp h λ==

式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，⽽联系波性和粒性的纽带是Planck 常数。根据上述两式及早为⼈们所熟知的⼒学公式：p m υ=

知 ①，②，④和⑤四步都是正确的。 微粒波的波长λ服从下式：/u v λ=

式中，u 是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ ，但③中⽤了/u v λ=，显然是错的。在④中，E hv =⽆疑是正确的，这⾥的E 是微粒的总能量。若计及E 中的势能，则⑤也不正确。【1.7】⼦弹（质量0.01kg ，速度1000m ·s -1），尘埃（质量10-9kg ，速度10m ·s -1

）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg ，速度1m ·s -1）、原⼦中电⼦（速度1000 m ·s -1）等，其速度的不确定度均为原速度

的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？解：按测不准关系，诸粒⼦的坐标的不确定度分别为：⼦弹：34341

6.2610 6.63100.01100010%h J sx m m v kg m s ---===尘埃：342591

6.62610 6.6310101010%h J s x m m v kg m s ----=== 花粉：34201316.62610 6.631010110%h J s x m m v kg m s ----===电⼦：3463116.62610

7.27109.10910100010%h J s x m m v kg m s ----===?

【1.8】电视机显象管中运动的电⼦，假定加速电压为1000V ，电⼦运动速度的不确定度υ?为υ的10%，判断电⼦的波性对荧光屏上成像有⽆影响？

解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电⼦坐标的不确定度为：

34103.8810h x m mυ--====?V g V

这坐标不确定度对于电视机（即使⽬前世界上最⼩尺⼨最⼩的袖珍电视机）荧光屏的⼤⼩来说，完全可以忽略。⼈的眼睛分辨不出电⼦运动中的波性。因此，电⼦的波性对电视机荧光屏上成像⽆影响。【1.9】⽤不确定度关系说明光学光栅（周期约610m -）观察不到电⼦衍射（⽤100000V 电压加速电⼦）。

解：解法⼀：根据不确定度关系，电⼦位置的不确定度为：9911 1.22610/1.226101.22610x h h x p h m λ---=

==?=?=?V V

这不确定度约为光学光栅周期的10－5

倍，即在此加速电压条件下电⼦波的波长约为光学光栅周期的10

－5

倍，⽤光学光栅观察不到电⼦衍射。解法⼆：若电⼦位置的不确定度为10－6m ，则由不确定关系决定的动量不确定度为：3462816.62610106.62610x h J sp x m J s m ----??===g g g

在104V 的加速电压下，电⼦的动量为：

231

5.40210x x p m J s m υ--====?g g

由Δp x 和p x 估算出现第⼀衍射极⼩值的偏离⾓为：2812315arcsin arcsin

6.62610arcsin 5.40210arcsin100xxo

p p J s m J s m θθ-----?==?? ≈g g B g g B

这说明电⼦通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同⼀个点上。因此，⽤光学光栅观察不到电⼦衍射。【1.11】2

ax xe ?-=是算符22224d a x dx ??- ??

的本征函数，求其本征值。 解：应⽤量⼦⼒学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征⽅程）得：2

2222222244ax d d a x a x xe dx dx ψ--=- ? ? ()2222224ax axd

xe a x xe dx --=-()2222222

2232323242444ax ax ax ax ax ax ax d e ax e a x e dxaxe axe a x e a x e -------=--=--+-

266axaxe a ψ-=-=-因此，本征值为6a -。

【1.12】下列函数中，哪⼏个是算符22d dx 的本征函数？若是，求出本征值。3

,sin ,2cos ,,sin cos x e x x x x x + 解：2x2d e d x =，x e 是22

d d x 的本征函数，本征值为1。 22d sin x 1sin x,d x =?sin x 是2

2d d x 的本征函数，本征值为1。 22

d (2cos x )2cos x d x =【1.13】im e φ和cos m φ对算符di

d φ是否为本征函数？若是，求出本征值。解：im im d i e ie d φφφ=，im im me φ=- 所以，im e φ是算符di

d φ的本征函数，本征值为m -。

⽽()cos sin sin cos d i m i m m im m c m d φφφφφ=-=-≠g所以cos m φ不是算符di

d φ的本征函数。

【1.15】已知在⼀维势箱中粒⼦的归⼀化波函数为

(

)n n x x l π?=

1,2,3n = 式中l 是势箱的长度，x 是粒⼦的坐标)x l <，求粒⼦的能量，以及坐标、动量的平均

值。

解：（1）将能量算符直接作⽤于波函数，所得常数即为粒⼦的能量：222n 222h d n πx h d n πx ?H ψ(x )-)-)8πm d x l 8πm d x l ==

(sin )n n n xl l l πππ=?-

22222222

()88n h n n x n h x m l l ml ππψπ=-?= 即：2228n h E ml =

（2）由于??x ()(),x n n x c x ψψ≠⽆本征值，只能求粒⼦坐标的平均值：()()x l x n sin l x l x n sin l x x ?x x l *ln l*

n d 22d x 000??????? ?????? ??==ππψψ()

x l x n cos x l dx l x n sin x l l l d 22122002??????? ??-=?? =ππ

2000122sin sin d 222l l l x l n x l n x x x l n l n l ππππ=-+?? ?? 2l =（3）由于()()??p

,p x n n x x c x ψψ≠⽆本征值。按下式计算p x 的平均值:()()1*

d x n x n p x p

x x ψψ=?

0d 2n x ih d n x x l dx l πππ?=- ??

20sin cos d 0

l nih n x n x x l l l ππ=-=?

【1.16】求⼀维势箱中粒⼦在1?和2?状态时，在箱中0.49~0.51l l 范围内出现的概率，并与图1.3.2（b ）相⽐较，讨论所得结果是否合理。

解：（a ）(

)1x x l πψ= ()2212sin xx l l πψ=(

)22x x l πψ=()2

2222sin x x l l πψ= 由上述表达式计算()21x ψ和()22x ψ，并列表如下： /x l 01/8 1/4 1/3 3/8 1/2 ()211/x l ψ- 00.293 1.000 1.500 1.726 2.000 ()212/x lψ- 01.0002.0001.5001.000/x l

5/8 2/3 3/4 7/8 1 ()211/x l ψ-

1.726 1.500 1.000 0.293 0 ()212/x l ψ-1.0001.5002.0001.000

根据表中所列数据作()2

n x x ψ-图⽰于图1.16中。图1.16

（b ）粒⼦在1ψ状态时，出现在0.49l 和0.51l 间的概率为：()0.512110.49llP x dxψ=20.510.49ll x dx l π?

=

0.5120.490.510.492sin 22sin 24llll

x dx

l l x l x l l πππ=??=-()

0.510.4912sin21

0.02sin1.02sin 0.9820.0399ll

x x l l πππππ=-=--=

粒⼦在ψ2状态时，出现在0.49l 和0.51l 见的概率为：x / lψ21 (x )/l-1ψ22x /l-1x / l(

)0.512220.492

0.510.490.5120.490.510.490.510.49222sin 24sin 2814sin40.511

40.510.49140.49sin sin 440.0llll llllllP x dxx dx l x

dx l l x l x l l x x l l l l l l l l l l ψππππππππππ=

==

=-=-=--- ? ?≈?001

（c ）计算结果与图形符合。

【1.17】链型共轭分⼦22CH CHCHCHCHCHCHCH 在长波⽅向160nm 处出现第⼀个强吸收峰，试按⼀维势箱模型估算其长度。

解：该分⼦共有4对π电⼦，形成8

n π离域π键。当分⼦处于基态时，8个π电⼦占据能级最低的前4个分⼦轨道。当分⼦受到激发时，π电⼦由能级最⾼的被占轨道（n=4）跃迁到能级最低的空轨道（n=5），激发所需要的最低能量为ΔE ＝E 5－E 4，⽽与此能量对应的吸收峰即长波⽅向460nm 处的第⼀个强吸收峰。按⼀维势箱粒⼦模型，可得：()22218hc

h E n ml λ?==+ 因此：()()12134923181

218241 6.626104601089.10910 2.988101120n h l mc J s m kg m s pm λ----+??=??

+?=??=g g

计算结果与按分⼦构型参数估算所得结果吻合。

【1.18】⼀个粒⼦处在a b c ==的三维势箱中，试求能级最低的前5个能量值[以h 2/(8ma 2)为单位]，计算每个能级的简并度。解：质量为m 的粒⼦在边长为a 的⽴⽅箱中运动，其能级公式为：()2222,,28x y z

n n n x y z h E n n n ma =++

E 222

E 113=E 131=E 311E 122=E 212=E 2211113E =

1121212116E E E ===

E 122=E 212=E 221=9 E 113=E 131=E 311=11 E 222=12

【1.19】若在下⼀离⼦中运动的π电⼦可⽤⼀维势箱近似表⽰其运动特征：估计这⼀势箱的长度 1.3l nm =，根据能级公式222/8n E n h ml =估算π电⼦跃迁时所吸收的光的波长，并与实验值510.0nm ⽐较。H 3CN C C CC CC CNCH 3CH 3H HHHH HH CH 3

解：该离⼦共有10个π电⼦，当离⼦处于基态时，这些电⼦填充在能级最低的前5个π型分⼦轨道上。离⼦受到光的照射，π电⼦将从低能级跃迁到⾼能级，跃迁所需要的最

低能量即第5和第6两个分⼦轨道的的能级差。此能级差对应于棘⼿光谱的最⼤波长。应⽤⼀维势箱粒⼦的能级表达式即可求出该波长：22222652226511888hc

h h h E E E ml ml ml λ?==-=-= ()22318

19

3481189.109510 2.997910 1.31011 6.626210506.6mcl hkg m s m J snmλ----===g g

实验值为510.0nm ，计算值与实验值的相对误差为-0.67%。【1.20】已知封闭的圆环中粒⼦的能级为：2222

8n n h E mR π= 0,1,2,3,n =±±±

式中n 为量⼦数，R 是圆环的半径，若将此能级公式近似地⽤于苯分⼦中6

6π离域π键，取R=140pm ，试求其电⼦从基态跃迁到第⼀激发态所吸收的光的波长。解：由量⼦数

n 可知，n=0为⾮简并态，|n|≥1都为⼆重简并态，6个π电⼦填⼊n=0，1，1-等3个轨道，如图1.20所⽰：

图1.20苯分⼦66π能级和电⼦排布()22122418h hc

E E E mR πλ-?=-==()()()()222

23110813498389.1110 1.4010 2.998103 6.6261021210212mR ch kg m m s J s m nmπλπ-----===?=g g

实验表明，苯的紫外光谱中出现β，Γ和α共3个吸收带，它们的吸收位置分别为184.0nm ，208.0nm 和263.0nm ，前两者为强吸收，后⾯⼀个是弱吸收。由于最低反键轨道能级分裂为三种激发态，这3个吸收带皆源于π电⼦在最⾼成键轨道和最低反键之间的跃迁。计算结果和实验测定值符合较好。【1.21】函数(

)/)/)x x a x a ?ππ=-是否是⼀维势箱中粒⼦的⼀

种可能状态？若是，其能量有⽆确定值？若有，其值为多少？若⽆，求其平均值。解

数是长度为a 的

中粒⼦的⼀种可能状态。因为函数

()1/)x x a ψπ=和()2/)x x a ψπ=都是⼀维势箱中粒⼦的可能状态

（本征态），根据量⼦⼒学基本假设Ⅳ（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的⼀种可能状态。 因为

()()()1223H x H x x ψψψ∧∧=-()()

1223H x H x ψψ∧∧=-()()22

122242388h h x x ma ma ψψ=?-? ≠ 常数()x ψ?所以，()x ψ不是H ∧

的本征函数，即其能量⽆确定值，可按下述步骤计算其平均值。将()x ψ归⼀化：设()'x ψ=()c x ψ，即：()()()2

2'220aaa

x dx c x dx c x dxψψψ==2202a

x x c dx a a ππ??

=- ? ????2131c ==2113c =

()x ψ所代表的状态的能量平均值为：()()''0aE x H x dxψψ∧=?

222202238a

m x x h d a a dx πππ=-- ? ?

223x x dx a a ππ??- ? ??? 2222222233200015292sin sin sin sin 2a a a c h x c h x x c h x dx dx dx ma a ma a a ma a ππππ=-+2222

25513c h h ma ma ==

也可先将()1x ψ和()2x ψ归⼀化，求出相应的能量，再利⽤式2

i i E c E =∑求出()x ψ所代表的状态的能量平均值：222222

222224049888h h c h E c c ma ma ma =?+?=22401813h ma =?22513h ma =【2.3】对于氢原⼦：

(a)分别计算从第⼀激发态和第六激发态跃迁到基态所产⽣的光谱线的波长，说明这些谱线所属的线系及所处的光谱范围。(b)上述两谱线产⽣的光⼦能否使：（i ）处于基态的另⼀氢原⼦电离？（ii ）⾦属铜中的铜原⼦电离（铜的功函数为197.4410J -?）？

(c)若上述两谱线所产⽣的光⼦能使⾦属铜晶体的电⼦电离，请计算出从⾦属铜晶体表⾯发射出的光电⼦的德补罗意波的波长。 解：(a)氢原⼦的稳态能量由下式给出：1821

2.1810n E J n -=-??式中n 是主量⼦数。

第⼀激发态(n ＝2)和基态(n ＝1)之间的能量差为：181818

1212211( 2.1810)( 2.1810) 1.641021E E E J J J ---?=-=-??--??=?

原⼦从第⼀激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：8134118

1(2.997910)(6.62610)

1211.6410ch m s J s nm E J λ---===??第六激发态(n ＝7)和基态(n ＝1)之间的能量差为：1818186712

211( 2.1810)( 2.1810) 2.141071E E E J J J ---?=-=-??--??=?

所以原⼦从第六激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：8134618

6(2.997910)(6.62610)

92.92.1410ch m s J s nm E J λ---===??

这两条谱线皆属Lyman 系，处于紫外光区。

（b ）使处于基态的氢原⼦电离所得要的最⼩能量为：ΔE ∞=E ∞-E 1=-E 1=2.18×10-18J

⽽ ΔE 1=1.64×10-18

J<ΔE ∞ ΔE 6=2.14×10-18J<ΔE ∞

所以，两条谱线产⽣的光⼦均不能使处于基态的氢原⼦电离，但是 ΔE 1>ФCu =7.44×10-19J

ΔE 6>ФCu =7.44×10-19J

所以，两条谱线产⽣的光⼦均能使铜晶体电离。

（c ）根据德布罗意关系式和爱因斯坦光⼦学说，铜晶体发射出的光电⼦的波长为：h h p mv λ===

式中ΔE 为照射到晶体上的光⼦的能量和ФCu 之差。应⽤上式，分别计算出两条原⼦光谱线照射到铜晶体上后铜晶体所发射出的光电⼦的波长：34'113118192

6.62610519(29.109510)(1.64107.4410)J spm

kg J J λ----??==-???34'613118192

6.62610415(29.109510)(2.14107.4410)J spm

kg J J λ----??==-???

【2.4】请通过计算说明，⽤氢原⼦从第六激发态跃迁到基态所产⽣的光⼦照射长度为1120pm 的线型分⼦22CH CHCHCHCHCHCHCH ，该分⼦能否产⽣吸收光谱。若能，计算谱线的最⼤波长；若不能，请提出将不能变为能的思路。

解：氢原⼦从第六激发态（n=7）跃迁到基态（n=1）所产⽣的光⼦的能量为：22114813.59513.59513.5957149H E eV eV eV =-?--?=? ???6

113.32 1.28510eV J mol -≈≈?g

⽽22CH CHCHCHCHCHCHCH 分⼦产⽣吸收光谱所需要的最低能量为：8222225422

2549888C h h h E E E ml ml ml ?=-=-=?()()23423112

9 6.6261089.109510112010J s kg m ---??=g19

4.28210J -=?5

12.57910J mol -=?g 显然8

H C E E ?>?，但此两种能量不相等，根据量⼦化规则，

22CH CHCHCHCHCHCHCH 不能产⽣吸收光效应。若使它产⽣吸收光谱，可改换光源，

例如⽤连续光谱代替H 原⼦光谱。此时可满⾜量⼦化条件，该共轭分⼦可产⽣吸收光谱，其吸收波长为：()()348123423112

6.62610 2.998109 6.6261089.109510112010hc J s m s EJ s kg m λ-----==g g g460nm =

【2.5】计算氢原⼦1s ψ在0r a =和02r a =处的⽐值。 解：氢原⼦基态波函数为：3/2

101r a s ea ψ-=?

该函数在r=a 0和r=2a 0处的⽐值为：

3/21

03/22201 2.718281aa a a e a e e e e a ----==≈

⽽21s ψ在在r=a 0和r=2a 0处的⽐值为：e 2≈7.38906【2.9

】已知氢原⼦的200exp zp r r a a =

-cos θ，试回答下列问题：

(a)原⼦轨道能E=?

(b)轨道⾓动量|M|=?轨道磁矩|µ|=? (c)轨道⾓动量M 和z 轴的夹⾓是多少度？

(d)列出计算电⼦离核平均距离的公式（不算出具体的数值）。 (e)节⾯的个数、位置和形状怎么样？ (f)概率密度极⼤值的位置在何处？ (g)画出径向分布⽰意图。 解：（a ）原⼦的轨道能：181921

2.1810J 5.4510J 2E --=-??=-? （b ）轨道⾓动量：M ==

轨道磁矩：eµ=

（c ）轨道⾓动量和z 轴的夹⾓：02cos 02z hM h M πθπ?===， 90θ=o

（d ）电⼦离核的平均距离的表达式为：*

22?z z p p r r d ψψτ=?22220sin zp r r drd d ππψθθφ∞=??（e ）令20z

p ψ=，得：r=0，r=∞，θ=900

节⾯或节点通常不包括r=0和r=∞，故2zp

ψ的节⾯只有⼀个，即xy 平⾯（当然，坐标原点也包含在xy

平⾯内）。亦可直接令函数的⾓度部分0Y θ==，求得θ=900。

（f ）⼏率密度为：222

23001cos 32ra zp

r e a a ρψθπ-??==

由式可见，若r 相同，则当θ=00或θ=1800时ρ最⼤（亦可令sin 0ψθθ?=-=?，θ=00或θ=1800

），以0ρ表⽰，即：2

03001(,0,180)32r

a r r e a a ρρθπ-??=== o o

将0ρ对r 微分并使之为0，有：23000132r

a d d r e dr dr a a ρπ-= ? 050012032r a r re a a π-??=-= ??

解之得：r=2a 0（r=0和r=∞舍去）⼜因：

2022|0r a d dr ρ=<所以，当θ=00或θ=1800，r=2a 0时，22z

p ψ有极⼤值。此极⼤值为：00222033000

21328a a m a e e a a a ρππ--??== 336.4nm -=

（g）0025

22222425001124zr r

a a p D r R r re r e a a --===?

根据此式列出D-r 数据表：r/a 0

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 D/0a

0 0.015 0.090 0.169 0.195 0.175 0.134 r/a 0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 D/10a-0.0910.0570.0340.0191.02×10-25.3×10-3

按表中数据作出D-r 图如下：

D (r )/a -1r/a

图2.9 H 原⼦2zpψ的D-r 图由图可见,氢原⼦2z

p ψ的径向分布图有n-l ＝1个极⼤(峰

)和n-l-1＝0个极⼩(节⾯)，这符合⼀

般径向分布图峰数和节⾯数的规律。其极⼤值在r ＝4a 0处。这与最⼤⼏率密度对应的r 值不同，因为⼆者的物理意义不同。另外，由于径向分布函数只与n 和l 有关⽽与m ⽆关，2p x 、2p y 和2p z 的径向分布图相同。

【2.10】对氢原⼦，121022113311c c c =++，所有波函数都已归⼀化。请对?所描述的状态计算：(a)能量平均值及能量 3.4eV -出现的概率； (b)/2π出现的概率；

(c)⾓动量在z 轴上的分量的平均值及⾓动量z 轴分量/h π出现的概率。 解：根据量⼦⼒学基本假设Ⅳ-态叠加原理，对氢原⼦ψ所描述的状态： (a)能量平均值2222112233i i i

E c E c E c E c E ==++∑222123222

11113.613.613.6223c eV c eV c eV =-?+-?+-? ? ? ? ()22212313.613.649c c eV c eV =-+-()222

1233.4 3.4 1.5c c c eV=-++

能量 3.4eV -出现的概率为22221212222

123c c c c c c c +=+++(b)⾓动量平均值为

2222112233ii

M c M c M c M c M==++∑

123c c c=

1c c c=++

)222123c c c=++

⾓动量2π出现的概率为

2231231c c c++=

(c)⾓动量在z轴上的分量的平均值为2221112233222z i ziih h h

M c M c m c m c mπππ==++∑

()()222221232301122h hc c c c cππ=?+?+?-=-

⾓动量z轴分量h/π出现的概率为0。

【2.13】写出He原⼦的Schr?dinger⽅程,说明⽤中⼼⼒场模型解此⽅程时要作那些假设,计算其激发态(2s)1(2p)1的轨道⾓动量和轨道磁矩.

解：He原⼦的Schrodinger⽅程为：()222221220120122111844h e eEm r r rψψππεπε-?+?-++=g

式中1r和2

r分别是电⼦1和电⼦2到核的距离，12

r是电⼦1和电⼦2之间的距离，若以原⼦单位表⽰，则He原⼦的Schrodinger⽅程为：()2212121212212Er r rψψ-?+?--+=

⽤中⼼⼒场解此⽅程时作了如下假设：

(1)将电⼦2对电⼦1（1和2互换亦然）的排斥作⽤归结为电⼦2的平均电荷分布所产⽣的⼀个以原⼦核为中⼼的球对称平均势场的作⽤（不探究排斥作⽤的瞬时效果，只着眼于排斥作⽤的平均效果）。该势场叠加在核的库仑场上，形成了⼀个合成的平均势场。电⼦1在此平均势场中独⽴运动，其势能只是⾃⾝坐标的函数，⽽与两电⼦间距离⽆关。这样，上述Schrodinger⽅程能量算符中的第三项就消失了。它在形式上变得与单电⼦原⼦的Schrodinger⽅程相似。

(2)既然电⼦2所产⽣的平均势场是以原⼦核为中⼼的球形场，那么它对电⼦1的排斥作⽤的效果可视为对核电荷的屏蔽，即抵消了σ个核电荷，使电⼦1感受到的有效电荷降低为()2eσ-。这样，Schrodinger⽅程能量算符中的吸引项就变成了12rσ--

，于是电⼦1的单电⼦Schrodinger⽅程变为：