复变函数与积分变换试题及答案7

复变函数与积分变换试题与答案

一、填空（每题2分）

1．z=i的三角表示式是： 。指数表示式是 。2．|z-1|=4在复平面上表示的曲线是一个 。 3．38的全部单根是： ， ， 。 。 ，其中。

4．函数在f(z)=|z|2在z平面上是否解析 5．设C是正向圆周|z|=1，积分6．函数f(z) 12dz= cz2e的弧立奇点是 (1z)2 和 是极点， 是本性奇点。

。

。

7．级数1zz2zn在|z|<1时的和函数是 8．分式线性映射具有 ， ， 二、判断题(每题2分，请在题后括号里打“√”或“×”)。

1．零的辐角是零。 2．i<2i.

（ （ （ （ （ （ （

） ） ） ） ） ） ）

3．如果f(z)在z0连续，那么f(z0)存在。 4．如果f(z0)存在，那f(z)在z0解析。 5．e2ez

6．解析函数的导函数仍为解析函数

7．幂级数的和函数在其收敛圆内解析。

8．孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为1

1

9．单位脉冲函数(t)与常数1构成一个傅氏变换对。 10．共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。 三、计算题（每题6分） 1．c

212．|z|4dz（积分沿正向圆周进行） z1z3

（ （

） ）

sinzdz（其中C为正向圆周|z|=1） 3z

2

zez3．dz（积分沿正向圆周进行）

|z|2z21

4．求函数f(z)

四、求解题（每题6分）

3

1在无穷远点处的留数 10(zi)(z2)

1． 求函数u(x,y)x2y2的共扼调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数

f(z)，使f（0）=0。

2． 求函数f(z)

五、解答题（每题6分）

1在0|z1|1内的罗朗展开式。 2z(1z) 4

01．求函数f(t)t0的傅氏变换F()。

ett0

2．求方程

y2y3yet满足初始条件yt01，

5

yt00的解。

参

一、1． cos

2isin

2

，e 5. 0

i22. 圆

3. 1-3i

1+3i 7

2

4. 否 6. 1，∞，1，∞

1． 1z8. 保角性，保圆性，保对称性

2. × 8. √

3. × 9. √

4. × 10. √

5. ×

6. √

二、1．×

7.√

三、1．解：原式=

2i(sinz)z0 4分=sinzz0=0 2!3分

2．解：原式=（2分）

dz26i |z|4z1|z|4z3dz（3分）=2i4i（1分）z13．解：（2分）111z1zedz（3分）[e|z|22z1z126

ezz1]2i（1分）=2ich1

11Resf2,0 4．解：Res[f,]（2分）zz911zRes（1分）Res,0,00（2分） 2101101z(1zi)(12z)i2zz四、解：∵

u2x xu2y y

（1分）

∴f(z)uvuvii2z xxxx2（3分）

∴f(z)=z2

∴f(z)zc

∵f(0)=0 （1分）

（1分）

112．解：(1)n(z1)n

z1z1n0（4分）

∴f(z)(1)(z1)nn0n2 （2分）

五、解：

itF()(2分）(t)edt



（2分）0eteitdt=（2分）

-t

1 i2．解：∵F [y2y3y]=F [e]

∴S2Y（S）SY（0）Y（0）2[SY（S）Y（0）]3Y（S）∴(S22S3)Y（S）∴Y（S）1 S1(2分)

2 S1S2

(S1)(S1)(S3)∴y(t)Res[Y（S）est,Sk]

S2est(S1)(S3)S2est(S1)(S3)s1

(S2)est(S1)(S1)s1

s3（2分）

311=etete3t 848

（1分）

7

8