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复变函数与积分变换试题及答案7

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复变函数与积分变换试题与答案

一、填空(每题2分)

1.z=i的三角表示式是: 。指数表示式是 。2.|z-1|=4在复平面上表示的曲线是一个 。 3.38的全部单根是: , , 。 。 ,其中。

4.函数在f(z)=|z|2在z平面上是否解析 5.设C是正向圆周|z|=1,积分6.函数f(z) 12dz= cz2e的弧立奇点是 (1z)2 和 是极点, 是本性奇点。

7.级数1zz2zn在|z|<1时的和函数是 8.分式线性映射具有 , , 二、判断题(每题2分,请在题后括号里打“√”或“×”)。

1.零的辐角是零。 2.i<2i.

( ( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) ) )

3.如果f(z)在z0连续,那么f(z0)存在。 4.如果f(z0)存在,那f(z)在z0解析。 5.e2ez

6.解析函数的导函数仍为解析函数

7.幂级数的和函数在其收敛圆内解析。

8.孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为1

1

9.单位脉冲函数(t)与常数1构成一个傅氏变换对。 10.共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。 三、计算题(每题6分) 1.c

212.|z|4dz(积分沿正向圆周进行) z1z3

( (

) )

sinzdz(其中C为正向圆周|z|=1) 3z

2

zez3.dz(积分沿正向圆周进行)

|z|2z21

4.求函数f(z)

四、求解题(每题6分)

3

1在无穷远点处的留数 10(zi)(z2)

1. 求函数u(x,y)x2y2的共扼调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数

f(z),使f(0)=0。

2. 求函数f(z)

五、解答题(每题6分)

1在0|z1|1内的罗朗展开式。 2z(1z) 4

01.求函数f(t)t0的傅氏变换F()。

ett0

2.求方程

y2y3yet满足初始条件yt01,

5

yt00的解。

一、1. cos

2isin

2

,e 5. 0

i22. 圆

3. 1-3i

1+3i 7

2

4. 否 6. 1,∞,1,∞

1. 1z8. 保角性,保圆性,保对称性

2. × 8. √

3. × 9. √

4. × 10. √

5. ×

6. √

二、1.×

7.√

三、1.解:原式=

2i(sinz)z0 4分=sinzz0=0 2!3分

2.解:原式=(2分)

dz26i |z|4z1|z|4z3dz(3分)=2i4i(1分)z13.解:(2分)111z1zedz(3分)[e|z|22z1z126

ezz1]2i(1分)=2ich1

11Resf2,0 4.解:Res[f,](2分)zz911zRes(1分)Res,0,00(2分) 2101101z(1zi)(12z)i2zz四、解:∵

u2x xu2y y

(1分)

∴f(z)uvuvii2z xxxx2(3分)

∴f(z)=z2

∴f(z)zc

∵f(0)=0 (1分)

(1分)

112.解:(1)n(z1)n

z1z1n0(4分)

∴f(z)(1)(z1)nn0n2 (2分)

五、解:

itF()(2分)(t)edt



(2分)0eteitdt=(2分)

-t

1 i2.解:∵F [y2y3y]=F [e]

∴S2Y(S)SY(0)Y(0)2[SY(S)Y(0)]3Y(S)∴(S22S3)Y(S)∴Y(S)1 S1(2分)

2 S1S2

(S1)(S1)(S3)∴y(t)Res[Y(S)est,Sk]

S2est(S1)(S3)S2est(S1)(S3)s1

(S2)est(S1)(S1)s1

s3(2分)

311=etete3t 848

(1分)

7

8

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