参数有界约束下的最小二乘平差算法

第２４卷第９期　２０１５年９月　测绘工程　Ｖｏ１．２４。Ｎｏ．９　Ｓｅｐ．，２０１５　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｏｆ　Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ　ａｎｄ　Ｍａｐｐｉｎｇ　参数有界约束下的最　小二　乘平差算法　左廷英，陈仲儿，宋迎春　（中南大学地球科学与信息物理学院，湖南长沙４１００８３）　摘要：文中基于测量不确定度理论，建立参数有界约束下的平差模型及其解算方法。顾及变形监测网特点，将该　平差模型及算法应用到沉降监测网实例中，即利用已知先验信息，建立相应约束模型，求得有界条件下的参数最优　估值。通过与经典最小二乘平差法比较，结果证明模型的有效性，估计的参数值控制在给定范围内且不“失真”，其　沉降量更接近实际情况。　关键词：不确定度理论；平差模型；参数有界；最小二乘估计；沉降监测网　中图分类号：Ｐ２０７．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００６—７９４９（２０１５）０９—０００１—０４　Ｏｎ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ－ｂｏｕｎｄｅｄ　ｌｅａｓｔ　ｓｑｕａｒｅｓ　ａｄｊ　ｕｓｔｍｅｎｔ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ＺＵＯ　Ｔｉｎｇ－ｙｉｎｇ，ＣＨＥＮ　Ｚｈｏｎｇ—ｅｒ，ＳＯＮＧ　Ｙｉｎｇ—ｃｈｕｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｇｅｏｓｃｉｅｎｃｅｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏ—Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｓｏｕｔｈ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ　４１００８３，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ　ｉｓ　ｉｎｅｖｉｔａｂｌｅ，ｂｕｔ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄａｔａ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ　ｗｉｌｌ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｔｈｅ　ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ　ｔｈｅｏｒｙ，ａ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ—ｂｏｕｎｄｅｄ　ａｄｊ　ｕｓｔｍｅｎｔ　ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ　ｎｅｔｗｏｒｋ，ｉｔ　ｕｓｅｓ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅ１　ａｎｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｉｎｓｔａｎｃｅ　ｏｆ　ｓｕｂｓｉｄｅｎｃｅ　ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ　ｎｅｔｗｏｒｋ，　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｓ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ｍｏｄｅｌ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｋｎｏｗｎ　ｐｒｉｏｒ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ．ａｎｄ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｓ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍｕｍ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｂｙ　ｃｏｍｐａｒｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｌｅａｓｔ　ｓｑｕａｒｅｓ　ａｄｊ　ｕｓｔｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ，ｉｔ　ｐｒｏｖｅｓ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ａｒｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｇｉｖｅｎ　ｒａｎｇｅｓ，　ｗｉｔｈｏｕｔ“ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ”，ｏｆ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｓｕｂｓｉｄｅｎｃｅｓ　ａｒｅ　ｃｌｏｓｅｒ　ｔｏ　ｔｈｅ　ａｃｔｕａｌ　ｓｉｔｕａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ　ｔｈｅｏｒｙ；ａｄｊ　ｕｓｔｍｅｎｔ　ｍｏｄｅｌ；ｐａｒａｍｅｔｅｒ—ｂｏｕｎｄｅｄ；ｔｈｅ　ｌｅａｓｔ　ｓｑｕａｒｅｓ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；　ｓｕｂｓｉｄｅｎｃｅ　ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ　ｎｅｔｗｏｒｋ　在测量平差中，通常以Ｇ—Ｍ模型为平差模型，　同时顾及非线性模型线性化的误差［１　］，求得的简化　真”。　在参数估计问题上，整体最小二乘法是对以上　不确定性的一个改进。其将系统中不确定因素扩　展到了模型问题上，综合考虑设计矩阵与观测噪声　误差，估计得到的参数值在某些场合下［５　优于最小　二乘解。　模型往往是不准确的，因而参数估值也非其准确　值，即参数存在不确定性［３　］。尤其是在一些特殊情　况下（如高精度ＧＰＳ变形监测网），由于模型给的不　准、观测误差、参数的不确定性等不确定性因素的　影响，从而使得参数的最小二乘估值可能是与实际　整体最小二乘参数估计方法存在不足，其最大　限制因素是必须了解观测信息的统计特性和隶属　函数，而由于不确定性因素的出现，往往较难获得　上述统计信息。最小二乘法、整体最小二乘法都是　通过人为的手段对其确定，这样显然是不合适的。　相违背的，即最小二乘的平滑、去噪性掩盖了形变　的真实信息，其原因在于没有考虑系统的物理特性　或先验信息，运用纯数学方法来处理，导致估值“失　收稿日期：２０１４—０７一Ｏｌ　相反，较之统计特性，获取参数的上下界、误差的极　限值等［８　相对较容易些。国内外学者对此类问题也　基金项目：国家自然科学基金资助项目（４９７７４２０９）　作者简介：左廷英（１９６４一），女，副教授，博士．　测绘工程　第２４卷　做探讨和研究，并成功摸索出一条求解上述不确定　问题的道路［９－ｎ］。就目前研究情况而言，较为成熟　的解决办法是区间分析，其已在岩土力学、结构力　学等地质、材料方面取得了一些成绩［９。　。但由于　区间分析的缺点和不足，多数学者更多关注的是其　理论研究［１ｚ－１３］。在测绘领域方面，陶本藻、王新洲　和杨元喜等都对测量不确定度理论进行研究，拓展　了测量平差数据处理的理论和方法。本文基于参　数有界性，构建了参数有界约束下的平差模型，利　用最小二乘原理，将问题转化为附有箱型约束的二　次规划问题，运用最优化理论知识［］４　１５］来处理，进　而得到参数的一个可行解，并将其应用到沉降监测　网实例中，得出较为合理的结果。　１　参数有界约束下的最小二乘平差算法　１．１建立平差模型　参数有界约束下的平差模型：　ｆＬ—ＢＸ＋Ａ，　…　≤Ｘ　≤ｄ　，ｉ一１，２，…，ｔ．　其中，Ｂ是一个　×ｔ的设计矩阵；Ｘ一［ｚ１…西］　是　ｔ×１的参数向量；厶是随机误差向量，△～Ｎ（Ｏ，　Ｊ），　Ｊ是单位矩阵；ｆ一［　・・Ｃｔ］　，ｄ＝＝＝［　…ｄ　］　分别为　参数的上、下界。　１．２转化为附有箱型约束的二次规划问题　式（１）的解不只一组，故需附加最小二乘约束　来求得参数的最优解。　ｆａｒｉｎ　厂（Ｘ）一Ｖ　一（Ｌ—ＢＸ）　Ｐ（Ｌ—ＢＸ），　【Ｓ．ｔ．　ｃ　≤Ｘ　≤ｄ　，ｉ一１，２，…，ｔ．　（２）　从而转化为附有箱型约束的二次规划问题：　＜　ｆｒａｉｎ－厂（Ｘ）一Ｌ　ＰＬ一２Ｌ　ＰＢＸ＋Ｘ　Ｂ　ＰＢＸ，　Ｉ　Ｓ．ｔ．　Ｃ　≤Ｘ　≤ｄ　，ｉ一１，２，…，ｔ．　（３）　当网中各观测量为等权观测量时，上式转化为　ｆｍｉｎ　厂（Ｘ）一Ｌ　Ｌ一２Ｌ　ＢＸ＋Ｘ　Ｂ　ＢＸ，　【Ｓ．ｔ．　ｃ　≤Ｘ　≤ｄ　，ｉ一１，２，…，ｔ．　其中，Ｂ　ＰＢ是一个对称正定（半正定）矩阵，式（３）　中可简化为　厂（Ｘ）＝＝＝Ｘ　ＮＸ一２ＷｒＸ＋Ｌ　ＰＬ．　上式是一个凸函数。其中，Ｎ—Ｂ　ＰＢ，Ｗ—Ｂ　ＰＬ。　故式（３）可等价为一个凸二次规划问题：　ｆｒａｉｎ　Ｆ（Ｘ）＝＝＝Ｘ　ＮＸ一２ＷｒＸ，　ＩＳ．ｔ．　Ｃ　≤Ｘ　≤ｄ　，ｉ＝＝＝１，２，…，ｔ．　其中，Ｆ（Ｘ）一＿厂（Ｘ）一Ｌ　ＰＬ。　１．３　由分解算法计算参数估值　求解上述凸二次规划问题的算法有很多，如内　点算法、积极集法、对偶方法等［１６　１８］，需要具有深厚　的最优化理论及数学知识，且没有一个通用、简单　的算法来实现。本文采用文献［１９］中提到的一种　分解算法来处理，以下称“分解算法”。具体内容　如下：　Ｎ∈　是对称矩阵，且Ｎ满足下述条件：　Ｎ—Ｎ　＋Ｎｚ；Ｎ　一Ｎｚ是对称正定矩阵，其中　Ｎｌ，Ⅳ２∈　。　则称（Ｎ　，Ｎｚ）为Ｎ的一正则分裂。　设叉为问题（１）的最优解，显然有Ｘ一　＋　（Ｘ一　），因此　Ｆ（Ｘ）一Ｆ（　＋（Ｘ一　））一　Ｆ（　）＋△Ｆ（　）　（Ｘ一　）＋（Ｘ一　）　Ｎ（Ｘ一叉）一　Ｆ（　）＋（Ｘ一　）　Ｎ１（Ｘ　）＋△Ｆ（　）’ｒ（Ｘ～　）＋　（Ｘ一　）　（Ｘ一　）．　（５）　其中，△Ｆ（　）表示Ｆ（　）的导数，令　（Ｘ，　）一　Ｆ（　）＋（Ｘ一　）　Ｎ　（Ｘ一　），因此　Ｆ（Ｘ）一　（Ｘ，　）＋（Ｘ一又）　Ｎ２（Ｘ一　）．（６）　故而转化为等价问题：　ｍｉｎ　（Ｘ，　），　（７）　Ｓ．ｔ．Ｘ∈　．　其中，　是式（３）的解集。　当Ｍ选取对角矩阵时，算法可大大简化。令　Ｎ１一Ｄ，Ｄ是元素全为正的对角矩阵。Ｄ—ｄｉａｇ（ｄ　），　若取ｄ　＞∑Ｊ　ｌ，显然有Ｎ　一Ｎ２—２Ｄ—Ｎ是　Ｊ一１　正定矩阵。　箱型约束二次规划问题的分解算法：　１）令　一Ｘ　，△　一２　一Ｗ，以ｚ　，Ａ　分　别为Ｘ　，△　的第ｉ个分量，则对１≤ｉ≤ｔ．　垒　＜Ｃｉ，　ｌ　Ｓｉ　ｌ　ｚ　一ｌＩ　一　，　　Ｃｉ≤　一垒　≤ｄ　，　ｚ　一　＞ｄ　．　Ｌ　５　２）若ｌｌ　Ｘ川一　ｌｌ＜￡，终止计算，Ｘ川为式　（３）的近似解，否则令是一是＋１，返回步骤（１）。　２算例与分析　图１所示为南方某城市工业区部分沉降监测网　略图，由于工业需要，大量开采地下水造成较为严　重的地面下沉，为避免安全事故及不必要的人员和　财产损失，在近几年已响应相关部门要求，禁止了　第９期　左廷英，等：参数有界约束下的最小二乘平差算法　地下水的过度开采，同时采用二等水准测量方法获　得了前后两期高差观测值，其中ＢＭ　点为已知点　（国家二等水准点），高程为２７．３２９　ｍ，观测周期为１　年，观测精度为０．８６　ｍｍ。表１为两期高差观测成　果。通过前后两期水准测量获得的高差观测值来　分析地面沉降量。在具体处理过程中，以网中ＢＭ　点为固定点，其他点为待定点，由此建立参数有界　约束下的平差模型：　ｆＬ＝ＢＸ＋△，　（　≤Ｘ　≤ｄ　，ｉ一１，２，３，４．　１　０　Ｏ　Ｏ　Ｏ　０　Ｏ　１　１　０　Ｏ　１　其中，Ｂ一　１　Ｏ　１　Ｏ　，Ｌ一［　…ｈ　］Ｔ，　０　０　—１　１　０　１０　—１　０　１　１　Ｏ　Ｏ　Ｘ一［Ｈ　…ＨＰ　］　。　相应的附有箱型约束的凸二次规划问题为　ｆｍｉｎ　Ｆ（Ｘ）一Ｘ　ＮＸ一２Ｗ　Ｘ，　ｌＳ．ｔ．　Ｃ　≤Ｘ　≤ｄ　，ｉ一１，２，３，４．　其中，Ｎ对称正定，Ｆ（Ｘ）为严格凸函数。　Ｐ　Ｐ２　ＢＭ　图１沉降监测网　表１两期高差观测成果　解决上述问题关键在于如何确定参数（高程）　的上下界，ＨＩＪ＿ｋ述模型中的Ｃ，ｄ值。经过对工期水　准网做经典自由网平差处理，可以得到参数的最或　然值，在做Ⅱ期平差处理时，以工期平差得到的参　数值作为本次平差参数初值。根据已有资料显示，　在过去几年，该地区年沉降量最大值不超过１０　ｍｉＴ１，由变形机理可知，由于禁止令的实施，其沉降　量不应超过往年最大值，故可近似认为前后两期沉　降量不超过一个ｌＯ　ｍｍ，如此就确定了参数的上下　界。即　一１Ｏ≤　ｌＩ一　≤０，　Ｃ一　Ｉ一１０。ｄ一　Ｉ．　其中，　，　分别为工、Ⅱ期平差得到的参数　估值。　为了比较传统最小二乘平差法与参数有界约　束下的最小二乘平差算法的优劣性，在具体处理过　程中，本文还对前后两期水准网做了经典自由网平　差处理。同时为便于描述，分别将经典自由网平差　法和参数有界约束下的最小二乘平差算法记为ＬＳ、　ＢＬＳ。经过ＭＡＴＬＡＢ编程实现，两种方法求得的　参数估值及沉降量如表２、表３所示。　表２两种方法的参数估计结果　一　７．９５８　——７．５０８　８．２０４　１Ｏ　ｌＯ　由上述结果可见，当限定前后两期网中待定点　沉降量不超过１０　ｍｍ时，由经典自由网平差得到的　参数估值已明显不能满足该要求，如Ｐ　点的沉降　量已超出约束界限。而在同一个水准网中，各待定　点沉降量应该相差不大，故参数有界约束下的最小　二乘平差算法得到的结果较符合真实情况。　３　结束语　经典最小二乘平差法基于传统高斯～马尔科　＆　８　・４・　测绘工程　第２４卷　夫模型，具有诸多优良特性，可以得到参数的最优　估值，但由于不确定性问题的出现，依靠其单一平　滑去噪的特点已然不能满足高精度变形监测数据　处理要求，因此亟待构建一个与真实系统更为接近　的模型并提出相应算法，较为有效的解决办法是利　用已知的先验信息或通过其他相关途径，对模型附　加约束条件，如参数有界，建立参数有界约束下的　平差模型，并运用相关知识来求解。实践证明，经　过最优化处理，得到的模型全局最优点为参数的最　佳估值，且满足在参数有界下残差平方和最小的原　则，得到的估计结果在某些情况下可能比最小二乘　更能反映系统真实状态。对于小型变形监测网数　据处理较为适用。　本文以某一沉降监测网为算例，分别采用经典　最小二乘法和基于参数有界约束下的最ｄ￣，－－乘平　差算法来处理，新算法的估值更符合实际。但在实　际工作中，往往无法获知系统的先验信息，因此如　何更为有效确定参数初值及上下界还有待深入研　究。事实上，多数情况下的变形监测网为ＧＰＳ变形　监测网，此时参数为三维且方程维数较大，对于该　类问题，需进一步延伸。同时，分解算法虽简单实　用，但在具体执行时，效率不高，需迭代多次才接近　收敛，故迫切需要提出一种新的最优化算法来解决　参数有界问题。　参考文献：　Ｅｌｉ王新洲．非线性模型能否线性化的实用判据［Ｊ］．武汉　测绘科技大学学报，１９９９，２４（２）：１４５—１４８．　Ｅ２］张朝玉，陶本藻．平差系统的模型误差及其识别方法研　究ＥＪ］．武汉大学学报：信息科学版，２００５，３ｏ（１０）：８９７—　８９９．　ｒ３］ＣＨＡＮＤＲＡＳＥＫＡＲＡＮ　Ｓ，ＧＯＩ　ＵＢ　Ｃ　Ｈ，ＧＵ　Ｍ，ｅｔ　ａ１．　Ｐａｒａｍｅｔｅｒ　Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｐｒｅｓｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｂｏｕｎｄｅｄ　Ｄａｔａ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｅｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｎ　Ｍａｔｒｉｘ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，１９９８，１９（１）：２３５—２５２．　Ｅ４］　ｃＨＡＮＤＲＡＳＥＫＡＲＡＮ　Ｓ，（Ｘ）ＬＵＢ　Ｃ　Ｈ，ＧＵ　Ｍ，ｅｔ　ａ１．　Ｐａｒａｍｅｔｅｒ　Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｊｎ　ｔｈｅ　Ｐｒｅｓｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｂｏｕｎｄｅｄ　Ｍｏｄ—　ｅｌｉｎｇ　ＥｒｒｏｒｓＥＪ］．ＩＥＥＥ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　Ｌｅｔｔｅｒｓ，１９９７，　４（７）：１９５—１９７．　ｒ－ｓ］丁克良．整体最小二乘法及其在测量数据处理中的若　干应用研究［Ｄ］．武汉：中国科学院测量与地球物理研　究所，２００６．　［６］楚彬，范东明．基于比例整体最小二乘的ＧＰＳ高程拟　合ＥＪ］．测绘工程，２０１４，２３（４）：３７—３９．　ＥＴ］袁豹，岳东杰，张亮，等．基于总体最小二乘的相似变换　模型及其在地图扫描数字化中的应用ＥＪ］．测绘工程，　２０１３，２２（４）：４５－４７．　Ｅ８］刘世君，徐卫亚，王红春．不确定性岩石力学参数的区　间反分析ＥＪ］．岩石力学与工程学报，２００４，２３（６）：８８５　８８８．　１－９２　罗麟．区间分析法在滑坡灾害风险评价中的应用研究　ＥＤ］．北京：中国地质大学，２００８．　Ｅｌ０］邱天．区间分析在边坡工程中的应用ＥＤ］．南京：河海　大学，２００６．　［１１］于生飞．基于区间不确定方法的边坡稳定性分析及非　概率可靠度评价研究［Ｄ］．南京：南京大学，２０１２．　－１１２］邱志平，顾元宪．有界不确定参数结构位移范围的区间　摄动法Ｉ－Ｊ］．应用力学学报，１９９９，１６（１）：１—９．　Ｅ１３］苏静波．工程结构不确定性区间分析方法及其应用研　究［Ｄ］．南京：河海大学，２００６．　Ｅ１４］袁亚湘，孙文瑜．最优化理论与方法ＥＭ］．ｊＥ京：科学出　版社，１９９７：４２２—４５１．　Ｅ１５］寇述舜．凸分析与凸二次规划［Ｍ］．天津：天津大学出　版社，１９９４：１４８—１８２．　［１６］张艺．框式约束凸二次规划问题的内点算法ＥＪ］．高等　学校计算数学学报，２００２（２）：１６３—１６８．　－１１７］ＣＯＬＥＭＡＮ　Ｔ　Ｆ，ＬＡＵＲＩＥ　Ａ　Ｈ．Ａ　Ｄｉｒｅｃｔ　Ａｃｔｉｖｅ　Ｓｅｔ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　Ｌａｒｇｅ　Ｓｐａｒｓｅ　Ｑｕａｄｒａｔｉｃ　Ｐｒｏｇｒａｍｓ　ｗｉｔｈ　Ｓｉｍｐｌｅ　Ｂｏｕｎｄ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，１９８９，　４５：３７３—４０６．　Ｅ１８］马圣容．杨正豪．一类凸二次规划的对偶方法１－Ｊ］．南京　师大学报：自然科学版，２００３，２６（１）：３９—４４．　－１１９］卢战杰，魏紫銮．边界约束二次规划问题的分解方法　－１Ｊ￣１．计算数学，１９９９，２１（４）：４７５—４８２．　［责任编辑：李铭娜］