GPS动态定位序贯平差统一模型

第３０卷第３期　２　０　０　８年９月　地球科学与环境学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｅａｒｔｈ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ　ａｎｄ　Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ　Ｖｏ１．３　０　Ｎｏ．３　Ｓｅｐｔ．２　０　０　８　ＧＰＳ动态定位序贯平差统一模型　刘　忠　，黄观文　，丁晓光　（Ｌ西安市勘察测绘研究院，陕西西安７１００５４；２．长安大学地质工程与测绘学院，陕西西安７１００５４）　摘要：针对ＧＰＳ动态定位中模糊度参数个数的可变性和参考卫星变化时参数的不适用性，导致常规序贯平差　模型前后两个历元间承接关系异常复杂、计算量大、效率较低等问题，根据ＧＰＳ动态定位的特点，利用转移矩阵　的思想，推导了序贯平差统一模型，有效解决了变参数的问题。结果显示：推导的序贯平差统一模型计算正确，　点位计算精度优于０．４８２　ｍ，且计算效率明显优于常规模型，便于编程运算。　关键词：序贯最小二乘；相对定位；绝对定位；动态定位；转移矩阵　中图分类号：Ｐ２２８．４文献标志码：Ａ文章编号：１６７２—６５６１（２００８）０３—０３１９－０４　Ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ　Ａｄｊ　ｕｓｔｍｅｎｔ　Ｕｎｉｆｏｒｍ　Ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ＧＰＳ　Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　Ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ　ＬＩＵ　Ｚｈｏｎｇ　，Ｈ　ＵＡＮＧ　Ｇｕａｎ—ｗｅｎ　，ＤＩＮＧ　Ｘｉａｏ—ｇｕａｎｇ　（１．ｘｉ’ａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ　ａｎｄ　Ｍａｐｐｉｎｇ，Ｘｉ’ａｎ　７１００５４，Ｓｈａａｎｘｉ，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＧｅｏｌｏｇｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ，Ｃｈａｎｇ＇ａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ＇ａｎ　７１００５４，Ｓｈａａｎｘｉ，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｉｎｃｅ　ｔｈｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ａｎｄ　ｃｈａｒａｃｔｅｒ　ｏｆ　ａｍｂｉｇｕｉｔｙ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ａｒｅ　ｃｈａｎｇｅａｂｌｅ，ＳＯ　ｔｈｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ　ａｄｊ　ｕｓｔｍｅｎｔ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｗｏ　ｅｐｏｃｈｓ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｉｎｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｉｎ　ＧＰＳ　ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ．　Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ａｎ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ　ａｄｊ　ｕｓｔｍｅｎｔ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ＧＰＳ　ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ　ａｎｄ　ｔｒａｎｓｆｅｒ　ｍａｔｒｉｘ，ｗｈｉｃｈ　ｃａｎ　ｓｏｌｖｅｓ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｃｈａｎｇｅａｂｌｅ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ．　Ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｉｎｄｉｃａｔｅｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｍｏｄｅｌ　ｍａｙ　ｃａｌｃｕｌａｔｅ　ｒｉｇｈｔｌｙ，ｔｈｅ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｏｆ　ｐｏｉｎｔ　ｉｓ　ｂｅｔｔｅｒ　ｔｈａｎ　０．４８２　ｍ．　Ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｍｏｒｅ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ　ｔＯ　ｐｒｏｇｒａｍ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ　ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ；ｒｅｌａｔｉｖｅ　ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ；ａｂｓｏｌｕｔｅ　ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ；ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ；ｔｒａｎｓｆｅｒ　ｍａｔｒｉｘ　０　引言　模型，并通过算例验证了模型的正确性和高效性。　ＧＰＳ动态定位中，参数估计模型有动态卡尔曼　１序贯平差数学模型　滤波［】］、序贯最小二乘等。相比前者容易发散的特　将观测值Ｌ分成两组，分别记为　一　和　，它们　点，序贯最小二乘算法简单、规律性强，且不易发　的权阵分别为　一　和　。设两组观测值不相关，即有　散。因此，很多学者对序贯平差进行了深入研　究＿２。］。但大多数研究都局限于通过常规模型来处　Ｌ一　理ＧＰＳ定位数据，这样导致了模糊度参数变化以　Ｌ—ｌＬ　　ＪＬｋ＿］ｌ　，　Ｐ＝＝＝＝　｝Ｌ　　］４　及参考星升降时，前后历元的承接关系异常复杂，　当参数之间不存在约束条件时，误差方程式为　很大程度上制约了其在动态定位中的广泛应用。　Ｖ＾～ｌ—Ｂ＾一１　一Ｚ　一ｌ　（１）　如何使序贯平差模型简化统一，使定位程序更优　＾一Ｂ　一　（２）　化，笔者针对这些问题，详细推导了序贯平差统一　序贯平差的计算公式Ⅲ为　收稿日期：２００７—１０—２０　基金项目：中国地质调查局项目（１２１２０１０４４０４１０）；国家自然科学基金项目（４０６７２１７３）　作者简介：刘忠（１９７９～），男，山西文水人，工程师，从事工程测量及大地测量研究。Ｅ—ｍａｉｌ：ｈｕａｎｇ８３０９２８＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｒｎ．ｃｎ　维普资讯 http://www.cqvip.com ３２Ｏ　地球科学与环境学报　Ｗ１（ｉ～１）　第３Ｏ卷　Ｘｋ—ｘ　ｋ　＋Ｊｔ　ｋ　（３）　Ｑ　一（卜ＪＢ　）Ｑ　（４）　Ｉｎｖ（）为求逆符号。　由式（７）直接得　Ｍ２（　１）Ｎ（　１）一Ｂ２（　１）　（８）　式中：Ｊ为序贯平差的增益矩阵，Ｊ—Ｑ　Ｂ　（Ｐ　＋Ｂ　Ｑ　Ｂ　）一；Ｘ　和Ｑ　是利用第一组观测　同理，第ｉ历元时刻可得　Ｍｚ（　）Ｎ（　）一Ｂ２（　）　（９）　数据求得的未知参数估计和协方差阵。而参数向　量的序贯解溉为其先验值ｘ　一　与观测向量ｋ的　２．２固定参数序贯模型　当』、，（　一１）和Ｎ（　）包含相同参数时，序贯平差　加权平均值。　公式（３）～（４）仅仅适用于参数不随时间变化　计算公式为　的情况，一旦观测方程中出现参数增加或减少的情　Ｎ—Ｉｎｖ（Ｍ２（　一１）ｑ－Ｍ２（　））（Ｂ２（　一１）＋Ｂ２（　））　（１０）　况，序贯公式的推导将变得比较复杂，不同的参数　ＱＮ　Ｍｚ（Ｈ）＋Ｍ２（　）　（１１）　变化情况，推导的序贯模型也不相同，可变参数的　２．３变参数的序贯平差模型　序贯平差模型可见文献Ｅｓ］。　式（１０）～（１１）仅限于两历元观测卫星相同的　情况，当卫星数目增加或减少时不再适用。鉴于　２　ＧＰＳ动态定位中的序贯平差模型　此，笔者提出用扩展和收缩矩阵的方法，很容易解　２．１　观测方程　决了可变参数的问题。为便于公式推导，首先作如　ＧＰＳ动态定位过程中，由于测站坐标向量是变　下定义：　化的，序贯平差实际上只是针对模糊度参数进行。　令Ｎ　为最大空间模糊度解向量。　设第ｉ一１历元观测到的卫星数为ｔ，线性化后的观　Ｎ　一ＥＮ１＾…Ｎ，　…Ｎ　］　（１２）　测方程为　～　式中：Ｎ　为第　号卫星相对参考卫星ｋ的模糊度。　Ｖ（Ｈ）一Ａ１（Ｈ）ＸＨ）＋Ａ２（Ｈ）Ｎ（Ｈ）－－Ｌ（　一１）Ｐ（Ｈ）　（５）　Ｊ一１，…，ｇ，　≠ｋ，ｇ表示最大的卫星号。　对于相对定位，ｘ　为未知观测站的点位坐标，　令　为最大观测模糊度解向量。　为　一１历元时的双差模糊度参数；对于绝对　Ｎ　（ｆ　１）一ＥＮｆ（１）　…Ｎ　）＾…Ｎ　（…）　］　（１３）　定位，ｘ　包括未知观测站的点位坐标和接收机　式中：ｍａｘ为截至到当前历元观测的卫星总数。ｍ　一钟差，Ｎ　为ｉ一１历元时的模糊度参数（也可认　［１，…，ｍａｘ］；　（ｍ）表示第　颗卫星对应的卫星　为是相对模糊度参数，如是相对模糊度，则参考星　号，ｚ（　）４：ｋ；定义ｚ（　）按值的大小顺序排列。　的模糊度被接收机钟差吸收）；这里假设第ｋ号卫　令Ｔｌ（ｆ＿１］为Ｎ　到Ｎ（Ｈ，的转换矩阵；Ｔｌ（ｆ）为Ｎ　星为参考卫星。式（５）平差，得法方程　到～㈤的转换矩阵。　Ｎ（　１）一Ｔ１（　１）Ｎ　（１４）　ＬＭ“　，　。Ｍ２２（“　一１　，）Ｊ］　　ＬＮ（　一１）Ｊ］：　一，］（６）　式中：Ｔ１　）的维数为（￡～１）×（ｇ一１），根据第ｉ一１　２１（　一１）　　Ｌｗ２（　一１）Ｊ　其中　。　ＬＭ１Ｍ２Ｅｉ川　－１　　Ｍ１２历元观测卫星的数目和对应的卫星号，容易确定矩　（ｉ－１　阵Ｔ　－¨，其公式为　………　），，　１一　广Ａ　（　１）Ｐｕ～１）Ａｌ（　一１）　ＡＴｌ（　１）Ｐｕ一１）Ａ２（　一１）－Ｉ　ＬＡ　１）Ｐ（　～１）Ａ１（　Ａ　Ｔ２（　Ｐ（　１）Ａ２（　一１）＿Ｊ　Ｔ１（　１）　１）１）厂　“　～ｉ）］　厂Ａ　（　一１）Ｐｕ一】）Ｌ７　Ｌｗ２（　～１）　ＬＡ　１）Ｐ（　１）Ｌ　．厂（ｍ）表示第Ｄ＇ｔ颗卫星对应的卫星号，对应矩阵的　式（６）对角化后得　列数，厂（　）≠　；　一１…，（ｐ一１）；Ｔ１（７．１）性质为　Ｌ　”　Ｘ　（ｉ－１）（　１）　（　１）一Ｅ　０　Ｍ　。　儿ＮＬ　ｊ］一［—Ｌ　；Ｂ　ｊ］㈩　　…　同理，第ｉ历元相应的转换矩阵ＴⅢ　，其具有相　其中Ｍ２（Ｈ）＝Ｍ２２（　）一Ｍ２川　Ｉｎｖ（Ｍ…Ｈ））・　同的性质Ｔ１㈨Ｔ　—Ｅ。　Ｍｌ２（　一】），　由式（８）～（９）、（１４）可得类似式（１０）的方程　Ｂ２（　１）：　２（　１）～＾　ｌ（　１）Ｉｎｖ（Ｍｕ（　ｌ））・　Ｍ　Ｎ　一Ｂ　（１　５）　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　刘　忠，等：ＧＰＳ动态定位序贯平差统一模型　这里：Ｍ　一　Ｈ）Ｍ２（Ｈ）Ｔ１（Ｈ）＋靠｛）Ｍ２∽Ｔ１㈤，　Ｎ—ｒｒ３∽　∽Ｉｎｖ（　）Ｍ＂Ｔ２∽）（豫　）　（２５）　一（　—１）Ｂ２（　一１）＋　）Ｂ２（　））　ＱＮ一　㈤Ｔ２∽　）Ｍ＂Ｔ２∽砭　）豫　）　（２６）　式（１５）系数矩阵Ｍ　不可逆，需要进行可逆化　其中：　一豫Ｈ）Ｍ２（　）　（Ｈ）＋豫　）Ｍ２∽　（ｆ），　处理。所谓可逆化处理就是去掉矩阵Ｍ　的行列元　一（碍Ｈ）Ｂ２（Ｈ）＋豫　）Ｂ　）　素都为０的对应行列，缩小矩阵的维数，直到Ｎ　中　的参数与Ｎ　保持一致。对于Ｂ　，也应相应的缩小　３推导序贯平差统一模型　维数。首先定义：　第ｉ一１历元的法方程　令　为　到Ｎ　的转移矩阵。　Ｍ２（　１）Ｎ（　１）＝Ｂ２（　１）　（２７）　Ｎ　一Ｔ２　（１６）　提供转移矩阵Ｔ１　Ｈ　；如参考卫星发生变化，提供　为ｇ×ｍａｘ矩阵，矩阵　同样具有如下性质　（ｆ一１）。　一Ｅ　（１７）　第ｉ历元的法方程　式（１６）可写成　Ｍ２（　Ｎ（　）一Ｂ２（　）　（２８）　Ｎ　一砭Ｎ　１８）　提供转移矩阵　∽、　∽；如参考卫星发生变化，提　对于转换矩阵　的确定，可通过截至到本历　供　㈤。　元观测的卫星总数和卫星号确定；还可通过搜寻矩　序贯平差的统一解为　阵Ｍ　中行元素都为０的对应行号来确定。　的具　Ｎ　ｌ　＿体形式类似于　。　根据式（１８），式（１５）可写成　Ｍ　Ｔ。　一　Ｂ　（１９）　式（１９）可直接求解　的值。　Ｍ考叁ｆ　㈤　∽豫　＿删考　；叁　）Ｍ＇Ｔ２∽　。　）　利用式（１４）～（１６），得序贯平差的统一解为　卫　卫　Ｎ—Ｔ１㈤　㈤Ｉｎｖ（　）Ｍ　Ｔ２∽）（豫　）Ｂ　）（２Ｏ）　星　星　ｚ　Ｔ　ＱＮ＝＝＝Ｔ１（ｆＪ　（ｆ］砭　）Ｍ　Ｔ２（ｆ）砭。靠。（２１）　【　参考卫星发生变化　如果观测卫星没有变化，即ＴⅢ　㈤一Ｅ，　Ｂ’、咳化砭　、姗生　变　Ｍ　、变　化　救　发　生　　。　ｏ　Ｔｌ（ｆ　＝Ｔ１（ｆ］；式（２Ｏ）～（２１）简化为　对于ＧＰＳ实时动态定位，通过序贯平差公式　Ｎ—Ｉｎｖ（Ｍｚ（　１）＋Ｍ２（　））（Ｂ２（　１）＋Ｂ２（　））（２２）　（２９）～（３Ｏ）直接求解。对于ＧＰＳ后处理动态定位，　ＱＮ—Ｍｚ（ｉ一１）＋Ｍｚ（　）　（２３）　每个历元可不求模糊度参数，直接求解矩阵　，结束　式（２２）～（２３）同式（１０）～（１１）完全相同，说明了固　后对最后一个历元的＾　进行可逆化处理得到　，进　定参数序贯平差是模型式（２０）～（２１）的一个特解。　而求解　，回代时直接从　中选出对应的模糊度参　２．４参考星变化的序贯平差模型　数进行后处理平差，这样避免每个历元矩阵求逆的　ＧＰＳ动态定位程序设计中，一旦参考星发生变　过程，可大大减少运算量，提高计算效率。　化，模糊度参数就需要重新设置，其上下历元的传　平差模型式（２９）～（３０）同样适用于静态定位　递关系将变得非常复杂，序贯平差模型也随之需要　的情况，只是序贯平差估算参数中增加了测站的坐　改动；笔者提出对上述转移矩阵Ｔ１稍加改动，很容　标＿８］，系数矩阵进行相应的扩展。另外，如认为接　易解决了这个问题。设参考卫星由第愚号卫星变　收钟差稳定不变，也可把其归人估算参数中，推导　成了第ｋ１号卫星，原模糊度由Ｎ　变成了Ｎ　，根据　公式类似。　模糊度参数之间的相对关系，对』ｖ　进行分解，得　Ｎ　１一Ｎ　—Ｎ　１　（２４）　４　算例分析　在序贯平差模型推导过程中，只需对转移矩阵　采用机载ＧＰＳ航空测量的观测数据，数据采　稍加改动即可。设改动后的转移矩阵为　，矩阵　集时间为２００５年５月１２日，采样间隔为１　Ｓ，时间　中对应第忌１号卫星的那一列元素均为一１，其余　长度为４．２８　ｈ。程序编写语言为ｃ＋＋语言，运行环　元素不变，即可得到矩阵　。相对方程式（２１）～　境为ＶＣＨ　６．０。计算方案有２套。　（２２），参考星变化的序贯平差模型为　（１）采用文中所示序贯平差统一模型和常规序　维普资讯 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３２２　地球科学与环境学报　第３ｏ卷　贯平差模型，分别进行后处理动态精密单点定位计　态单点定位的要求。另外，对比两种模型解算结　算；观测方程采用双频无电离层组合，对流层、地球　果，数值完全一致，进一步证明了序贯平差统一模　自转等误差项用模型进行改正。　差模型在单点定位实时和后处理时的计算时间。　型与常规模型的等价性。对于表１中　、　方向上　在未消除的系统误差造成的，对研究分析影响不　（２）以２　０００个历元为例，比较方案１中两种平　存在较大的均值偏差，笔者认为这是观测方程中存　增加地面参考站的数据，利用德国ＧＦＺ科研　大。方案２的时间统计结果如表２。　软件ＭＦＧｓｏｆｔ解算差分定位结果，以差分定位结　表２两种平差模型单点定位计算时间统计结果　果为真值，分析方案．１中采用序贯平差统一模型计　Ｔａｂ．２　Ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　Ｔｉｍｅ　ｏｆ　Ｐｏｉｎｔ　Ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ　算的单点定位误差，结果如图１。　Ｂｅｔｗｅｅｎ　Ｔｗｏ　Ｍｏｄｅｌｓ　ｔ／Ｓ　量　谪　《　通过表２可以看出，无论实时还是后处理，序　贯平差统一模型的效率都要优于常规序贯平差模　鲁　型，特别是在后处理过程中，使用序贯平差统一模　型时执行只存储不解算的预处理方法，算法效率显　《　著优于常规序贯平差模型。　：噩－　５　结语　宣　（１）推导的ＧＰＳ动态定位序贯平差模型，统一　谪　账　了模糊度参数个数变化以及参考星变化时的模型，　《　舟　简化了前后两个历元之间的序贯承接关系，便于编　程计算。　（２）算例表明，序贯统一模型用于ＧＰＳ动态单　图１　单点定位的误差分布　点定位，点位计算精度优于０．４８２　ｍ，完全可满足　一Ｆｉｇ．１　Ｅｒｒｏｒ　Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｐｏｉｎｔ　Ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ　般工程要求，且计算效率明显高于常规模型。　通过图１可以看出，采用序贯平差统一模型进　（３）序贯统一模型同样适用于ＧＰＳ静态定位。　行动态单点定位解算，解算结果比较平稳，　、　、　参考文献：　的中误差都在１／１０米量级。比较方案１中两种平　张双成，高为广．基于系统误差及其协方差阵拟合的抗差自　差模型单点定位误差统计结果，如表１。　适应滤波［Ｊ］．地球科学与环境学报，２００５，２７（２）：６０—６２．　表１　两种平差模型单点定位误差统计结果　曾安敏，张丽萍．多种序贯平差方法的比较［Ｊ］．大地测量与　Ｔａｂ．１　Ｅｒｒｏｒ　Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｐｏｉｎｔ　地球动力学，２００７，２７（２）：８４　８８．　Ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ　Ｂｅｔｗｅｅｎ　Ｔｗｏ　Ｍｏｄｅｌｓ　隋立芬，刘雁雨，王　威．自适应序贯平差及其应用ＥＪ］．武汉　大学学报：信息科学版，２００７，３２（１）：５１－５４．　武汉大学测量平差编写组．测量平差基础ＥＭ］．北京：测绘　出版社，２００３．　黄维彬．近代平差理论及应用［Ｍ３．北京：解放军出版社，　１９９２．　Ｘｕ　Ｇｕｏｃｈａｎｇ．ＧＰＳ　Ｔｈｅｏｒｙ，Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ＥＭ］．Ｂｅｒｌｉｎ：ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，２００３．　张勤，李家权．ＧＰＳ测量原理及应用［Ｍ３．北京：科学出版　通过表１可以看出，采用序贯平差模型解算动　社，２００５．　叶世榕．ＧＰＳ非差相位精密单点定位理论与实现［Ｄ］．武汉：　态单点定位，３个坐标分量的中误差都在１／］ｏ米量　武汉大学，２００２．　级，点位精度优于０．４８２　ｍ，完全可以满足ＧＰＳ动