山东省济南市济阳区2021届九年级上学期期末考试数学试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A．x＝﹣2 B．x﹣2x+1＝0

2

3

C．x+3xy+1＝0 D．

2

2．由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的主视图是（ ）

A．

B． C． D．

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinB等于（ ） A．

B．

C．

D．

4．将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x﹣1）2﹣2

B．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x+1）2+2

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则 ∠A的度数为（ ）

A．30° B．25° C．15°

D．10°

6．已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，当x1＜x2＜0＜x3时，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3

B．y1＜y3＜y2

C．y2＜y1＜y3

D．y3＜y2＜y1

7．若关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围为（ ） A．k≥

B．k

且k≠0

C．k＜且k≠0

D．k

8．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（ ） A．

B．

C．

D．

1

第8题 第9题

9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（ ） A．9：16

B．3：4

C．9：4

D．3：2

10．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

11．如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠 使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）

A．6π﹣C．12π﹣

12．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论： ①AD＝BE＝5；②

；③当0＜t≤5时，

；④当

秒时，

B．6π﹣9D．

△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）

A．①②③ C．①③④

B．②③ D．②④

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上） 13．已知

≠0，则

＝ ．

14．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝50°，则∠B的度数为 ．

2

15．已知P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝6cm，则AP长为 cm．

16．如图，直线AB过原点分别交反比例函数y＝于A、B，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，则△ABC的面积为 ．

第14题图 第16题图 第17题图

17．已知二次函数y1＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分（抛物线向右平移时在x轴下方扫过的部分）的面积为 ．

18．将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD，则得下列结论：

①△ADF是等边三角形；②tan∠EBF＝2﹣③S△ADF＝S正方形ABCD；④BF2＝DF•EF． 其中正确的是 ．

三、解答题（本大题共9个小题，共78分．写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(6分)计算：

20．(6分)如图，某班数学小组要测量某建筑物的高度，在离该建筑物AB底部B点18m的C处，利用测角仪测得其顶部A的仰角∠EDA＝36°，测角仪CD的高度为1.5m，求该建筑物AB的高度．（精确到0.1m）【参考数据：sin36°＝0.59，cos36°tan36°＝0.73】

3

；

tan30°+（π+4）0﹣|﹣

|

＝0.81，

21．(6分)2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1、A2，正面印有雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．

22．(8分)如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60° （1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）若BD＝2，CE＝，求等边△ABC的边长．

4

23．(8分)如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线． （2）如果BE＝2，CE＝4，求线段AD的长．

24．(10分)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S． （1）求S与x的函数关系式；

（2）并求出当AB的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？

25．(10分)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C、D在函数y＝（x＞0）的图象上，其中0＜m＜n，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4． （1）当m＝4，n＝20时，

①点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，

5

BD的长为 ．

②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积． ③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．

（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．

26．(12分)如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P．

（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是 ．

（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由． （3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．

6

27．(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时： ①求PD+PC的最小值；

②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．

7

九年级期末质量检测 数 学 试 题 参 考 答 案(2020.1)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．） 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 D 5 C 6 C 7 B 8 C 9 C 10 C 11 A 12 D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 题号 答案 13 14 6 15 80° 16 1 17 18 ①③④ x10或x23 1x3 三.解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解方程（本小题每题6分）

x28x90

x28x9 ……………1分

x28x1625 ……………3分 (x4)225

x45 ……………5分

∴x11，x29 ……………6分

20. （本小题6分）

解：证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴AO＝CO，AD∥BC，

∴∠EAC＝∠FCO， ……………3分 在△AOE和△COF中

，

∴△AOE≌△COF（ASA）， ……………5分

8

∴AE＝CF． ……………6分

21．（本小题6分）

解：（1）PA为圆O的切线，

BAAP，

BAP90， ……………1分

在RtAOP中，P20，

AOP70， ……………2分 ACAC，

1BAOP35； ……………4分

2（2）OAP90，AP3，COA60， OA3AP3， ……………5分 3O的直径为23． ……………6分

22. （本小题8分）

解：（1）设y1＝kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得，

，解得

．

∴y1＝﹣x+7． ……………2分 设y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得， 4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝．

∴y2＝（x﹣6）2+1，即y2＝x2﹣4x+13． ……………4分 （2）收益W＝y1﹣y2

＝﹣x+7﹣（x2﹣4x+13） ……………5分 ＝﹣（x﹣5）2+， ……………6分

9

∵a＝﹣＜0，

∴当x＝5时，W最大值＝． ……………7分 故5月出售每千克收益最大，最大为． ……………8分

23．（本小题8分） 【知识回顾】 sin30°=

21；sin45°=；. ……………2分

22【深入探究】 （1）

作BD⊥AC于点D

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠A=45°

BBD2∴sinA AB2∴ABADC2BD ……………3分

在Rt△CBD中，∠CDB=90°，∠C=30° ∴sinCBD1 BC2∴BC2BD ∴thiA=（2）

作BD⊥AC于点D

在Rt△CBD中，∠CDB=90°，∠C=30° ∴sinCBC2BD=AB2BD2. ……………4分

BBD1 BC2∴BC2BD ∵thiA=A3.

DCBC2BD=ABAB∴AB23BD ……………5分 310

在Rt△ABD中，∠ADB=90°， ∴sinABD3 AB2∴∠A=60°. ……………6分 （3）thiA=2sinA ……………8分 24.（本小题10分）

解：（1）m＝50，b＝28， ……………2分 （2）a＝50×24%＝12，补全图形如下： ……………3分

……………4分

（3）估计选修“声乐”课程的学生有1500×28%＝420（人）． ……………5分 （4）画树状图为：

……………8分

共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，

……………9分

则所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为

25. （本小题10分） （1）将A（2，6）代入y将A（2，6）代入y＝． ……………10分

3xb得：-3+b=6，解得：b=9 ……………1分 2k得：k=12 x∴反比例函数的表达式为y（2）2x4……………4分

12. ……………2分 x11

（3）将B（a，3）代入y∵OC平分∠BOD ∴∠BOC=∠COD ∵BC//x轴 ∴∠BCO=∠COD ∴∠BOC=∠BCO

1212得：3，解得：a=4， xa∴OB=BC ……………5分 ∵B（4，3） ∴OB=BC=5

∴C（9，3） ……………6分 ∴E（9，

4），D（9，0） 3∴DE=∴

45，CE= 33CE5 ……………7分 ED4（3）

作AH⊥BC交于点H，则H（2，3）. ∴AH=3，BH=2

∵四边形ABDF为平行四边形 ∴AB//DF，AB=DF ∴∠CFD=∠CBQ

∵∠AHB=∠DCF=90°，∠ABH=∠CBQ ∴∠CFD=∠ABH

∴△ABH≌△DFC ……………8分 ∴CF=BH=2 ∵F为BC中点

∴BF=CF=2 ……………9分 ∵B（4，3）

∴F（6，3） ……………10分

法2：过点F作x轴的垂线，利用相似或者三角函数求解 法3：用含m的式子表示平行四边形四个点的坐标，利用坐标关系求m

12

26. （本小题12分）

解：（1）（2）DF＝

＝

， ……………3分

AE， ……………4分

BE，BD＝

AB，

理由：由（1）知，BF＝∴

， ……………6分

由旋转知，∠ABE＝∠DBF，

∴△ABE∽△DBF， ……………7分 ∴∴DF＝

＝

，

AE； ……………8分

（3）如图3，连接DE，CE，

如图3，∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，……………9分 如图4，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°+60°＝150°， ……………10分

α＝30°或150°． … …………12分

13

27. （本小题12分）

（1）将A（－1，0）、B（3，0）代入yaxbx3得：

2ab30， ……………1分 9a3b30解得：a1b2 ……………2分

∴抛物线的解析式为yx2x3. ……………3分 顶点坐标为（1，4） ……………4分 （2）过点P作PH//y轴，交线段BC于点H 当x=0时，y=3，即C（0，3） 设直线BC的表达式为y=kx+b 将B（3，0）、C（0，3）代入得： 2k13kb0，解得： b3b3∴直线BC的表达式为y=-x+3， ……………5分 设点P的坐标为（m,m2m3），则点H坐标为（m,m3） ∴PH=m2m3m3m3m； ……………6分 ∴S222PBC139PH(xBxC)m2m ……………7分 222∵a30 2b3时，S2a227. 8∴当mPBC最大值∴此时y15， 4315,）. ……………8分 24∴点P的坐标为（（3）存在 ……………9分 在y轴上取N（0，-3），连接BN，过直线BE与y轴的交点G作GK⊥BN. ∵P（1，4），C（0，3），B（3，0）

14

∴BC=32，PC∴BCPC222，BP25 BP2 ∴△BCP为直角三角形，∠PCB=90° ∴tan∠PBCPC1 BC33过点B（3，0） 2∵直线ykx∴3k310，解得：k. 22313x，且点G坐标为（0,） 222∴直线BE的表达式为y313xxx3y2， 由解得：或22y0y9yx22x34即点E的坐标为（39,） ……………10分 243292，BK， 44解得：BN32，NKGK∴tan∠GBK∴∠CBP=∠GBK ∵∠BEM=∠PBC ∴∠GBK=∠BEM ∴EM//BN GK1 BK3∵N（0，-3），B（3，0） ∴直线BN的表达式为y=x-3 ∴设直线EM的表达式为yxb， 将点E（39393,）代入得：b，解得：b 24244 15

∴设直线EM的表达式为yx3 ……………11分 4533xxyx22， 由解得：或4yx22x3y7y94即点M的坐标为（52,74）

4 ……………12分16