高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件讲义新人教A版必修第一册

最新课程标准：(1)通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(2)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(3)通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.

知识点一 充分条件与必要条件

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由

p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的

必要条件(necessary condition)．

状元随笔 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．

知识点二 充要条件

如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary condition)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．

状元随笔 p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．

[教材解难]

1．教材P17思考

(1)(4)是真命题，(2)(3)是假命题． 2．教材P18思考

不唯一，两组对边分别平行，一组对边平行且相等． 3．教材P19思考

不唯一，两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等． 4．教材P20思考

命题(1)(4)和它的逆命题是真命题． 命题(2)是真命题，它的逆命题是假命题． 命题(3)是假命题，它的逆命题是真命题．

1

5．教材P21探究

“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件．

[基础自测]

1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．

答案：B

2．设p：x<3，q：－1解析：因为(－1,3)(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件． 答案：C

3．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：A、B是两个集合，则由“A∩B＝A”可得“A⊆B”，由“A⊆B”可得“A∩B＝A”，所以A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.

答案：C

4．用符号“⇒”与“”填空： (1)x>1________x>1；

(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．

解析：(1)命题“若x>1，则x>1”是假命题，故x>1x>1.

(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．

答案：(1) (2)⇒

2

2

2

2

题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 [教材P18例1、P19例2]

例1 (1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； ③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； ④若x＝1，则x＝1； ⑤若a＝b，则ac＝bc；

⑥若x，y为无理数，则xy为无理数．

(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ ①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； ②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边对应成比例； ③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； ④若x＝1，则x＝1； ⑤若ac＝bc，则a＝b；

⑥若xy为无理数，则x，y为无理数．

【解析】 (1)①这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． ②这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． ③这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． ④由于(－1)＝1，但－1≠1，pq，所以p不是q的充分条件． ⑤由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件．

⑥2为无理数，但2×2＝2为有理数，pq，所以p不是q的充分条件． p⇒q由充分条件的定义来判断．

(2)①这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件． ②这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件．

③如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，pq，所以，q不是p的必要条件．

④显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件．

⑤由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，pq，所以，q不是p的必要条件．

⑥ 由于1×2＝2为无理数，但1，2不全是无理数，pq，所以，q不是p的必要条件.

p⇒q由必要条件的定义来判断．

3

2

2

2

教材反思

充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

1．定义法

(1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论． (2)找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假． (3)根据推式及条件得出结论． 2．等价转化法

(1)等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题． (2)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．

若綈p⇒綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件； 若綈p⇒綈q，且綈q 綈p，则p是q的必要不充分条件； 若綈p⇔綈q，则p与q互为充要条件；

若綈p綈q，且綈q 綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．

3．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断． 4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．

5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．

跟踪训练1 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．

(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.

解析：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．

(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．

(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件． 判断p⇒q，q⇒p是否成立→结合定义得出结论

题型二 求条件(充分条件、必要条件和充要条件) [经典例题]

例2 使不等式2x－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是( )

4

2

A．x≥0 B．x<0或x>2 C. x∈{－1,3,5} 1

D．x≤－或x≥3

2

12

【解析】 由2x－5x－3≥0，得x≥3或x≤－，所以选项中只有x∈{－1,3,5}是使

2不等式2x－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件．

【答案】 C

结合集合关系

先求出满足题意的充要条件―――――――→从选项中选出充分不必要条件 方法归纳

1本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据{x|x≥3或x≤－}

2

2

2

{x|x>2或x<0}，误

选B.事实上，“不等式2x－5x－3≥0成立”为结论q，我们只需找到条件p使p⇒q且q p即可．

跟踪训练2 2x－5x－3<0的必要不充分条件是( ) 1

A．－2B．0D．－2

12

解析：2x－5x－3<0⇒－2

2

11∵－，3－，4， 22

12

∴－2答案：D

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使2x－5x－3<0成立的x为－2题型三 充分条件、必要条件、充要条件的应用 [经典例题]

5

例3 已知p：2x－3x－2≥0，q：x－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．

1x≤－或x≥2【解析】 令M＝{x|2x－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝x2

2

22



； 

N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}，

由已知p⇒q且q p，得MN. 1a－2≥－，

2∴

a<2

1a－2>－，

2或

a≤2，

333

解得≤a<2或222

3即所求a的取值范围是，2.

2

状元随笔

构造集合M＝{x|px}； N＝{x|qx}

求解构造a的―――→由已知M N―――→解关于a的不等式组―→结果 M、N不等式 方法归纳

根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．

跟踪训练3 已知M＝{x|(x－a)<1}，N＝{x|x－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求

2

2

a的取值范围．

解析：由(x－a)<1得，x－2ax＋(a－1)(a＋1)<0， ∴a－1则M＝{x|a－1∵M是N的充分条件，∴M⊆N，

a－1≥－3，∴a＋1≤8，

2

2

2

解得－2≤a≤7.

6

故a的取值范围是－2≤a≤7.

先求M、N，再利用充分条件得M⇒N，即M⊆N来求a的取值范围．

课时作业 5

一、选择题

1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒

A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆Ba＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必

要条件．

答案：A

2．函数f(x)＝x＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( ) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1

解析：函数f(x)＝x＋mx＋1的图象关于x＝1对称⇔－＝1⇔m＝－2.

2答案：A

3．王昌龄的《从军行》中有两句诗：“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”．其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B. 答案：B

4．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]

解析：令A＝{x|x>1或x<－3}，B＝{x|x>a}， ∵q是p的充分不必要条件， ∴B22

mA，

∴a≥1.

7

答案：A

二、填空题

5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．

(1)“x－1＝0”是“|x|－1＝0”的________； (2)“x<5”是“x<3”的________．

解析：(1)设A＝{x|x－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．

(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件． 答案：(1)充要条件 (2)必要不充分条件

6．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．

解析：因为逆否命题为假，那么原命题为假，即AB，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．

答案：必要不充分

7．函数y＝x＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________． 解析：对称轴x＝－≤0，即b≥0.

2答案：b≥0 三、解答题

8．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)已知x，y∈R，p：(x－1)＋(y－2)＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解析：(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件． (2)因为p⇒q，但qp，所以p是q的充分不必要条件． (3)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A必要条件．

9．已知p：x－8x－20>0，q：x－2x＋1－m>0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围．

解析：由命题p得：x>10或x<－2，

由命题q得：x－2x＋1－m>0(m>0)⇔[x－(1＋m)]·[x－(1－m)]>0⇔x<1－m，或x>1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

bB，所以p是q的充分不

8

＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件，

所以p⇒q，且qp，{x|x>10或x<－2}{x|x<1－m或x>1＋m(m>0)}，

所以

1－m≥－2，m≤3，1＋m≤10，

两等号不能同时成立，解得

m≤9，

即m≤3.

所以正实数m的取值范围为(0,3]．

[尖子生题库]

10．求关于x的方程ax2

＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． 解析：(1)a＝0时，可得x＝－1

2

，符合题意．

(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，若方程有两个异号的实根， Δ＝4－4a>0，则解得a<0；

1

a<0，

若方程有两个负的实根，

1

a>0，

则必须满足－2

<0a，Δ＝4－4a≥0，

解得0综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1. 反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．

因此，关于x的方程ax2

＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.

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