小波分析及其在勘查地球物理中的应用

物　探　与　化　探

GEOPHYSICAL&GEOCHEMICALEXPLORATION

Vol.22,No.1Feb.,1998

小波分析及其在勘查地球物理中的应用

侯　遵　泽

(地质矿产部地球物理地球化学勘查研究所,廊坊　065000)

摘　要　本文介绍小波分析的基本方法原理及其在地球物理方法研究中的应用成果,指出了小波分析具有更广阔的应用前景。关键词　小波分析,地球物理。多年来,地球物理信号数据处理的主要工具是富里叶分析。但它远不适应近年勘查技术必须面对“隐伏、深埋、难识别”问题的挑战。目前,勘查地球物理有许多需要解决的问题,例如位场分解问题、弱小信号提取问题、如何提高勘查资料的信噪比和分辨率等问题。根据地球物理的需求,选择先进的,行之有效的数学方法和计算技术来解决实际问题,这是长期以来地球物理研究中一贯追求并赖以取得不断发展的关键。

本世纪80年代后期至今,一种著名的、在各行各业有重要应用价值的数学理论和方法技

〔1〕〔2〕

术在科学技术界得到了广泛的重视和采用,它就是被誉为“数学显微镜”的小波分析。小

波分析的主要功能和特长是,它具有多分辨分析或多尺度分析功能,可以把信号分解成各种不同频道和频率成分,或者把信号分解成各种不同的尺度成分;它具有很强的局部分析功能,同时具有时间(或空间)域和频率域的局部分析性质,它可自动地通过伸缩、平移聚焦到信号的任一细节对其加以分析。无论从理论上还是从实践上,小波分析都显示出其重要的作用和价

3〕〔4〕值〔,它在地球物理中的应用已取得了较大的成果并越来越显示出广阔的应用前景。本文

首先介绍小波分析的基本方法原理,然后介绍小波分析在地球物理中所取得的主要成果。

1　小波分析基本方法原理

1.1　一维小波变换

设ψ(x)∈L2(R),满足条件

∫

-

+∞

2

|ψ^(ω)|dω<+∞

|ω|∞

(1)

其中ψ^(ω)是ψ(x)的Fourier变换,则称ψ(x)为小波函数。

对于任一函数f(x)∈L2(R),定义其小波变换为

Wf(a,b)=〈f,ψa,b〉=

1|

a|∫+∞-∞

f(x)ψ(

x-b)dxa

(2)

其中

ψa,b(x)=

1|a|

ψ(x-b)　　a,b∈R,a≠0

a

(3)

1997年8月15日收稿。

・72・

物　探　与　化　探

+∞-

22卷

令CΨ=

∫

|ψ^(ω)|2

dω,得相应的小波逆变换

|ω|∞

f(x)=

1CΨ

∫∫

a02

-m+∞+∞-∞-∞

Wf(a,b)ψa,b(x)

dadba2

(4)

mm

取a=a0,b=nb0a0,a0>1,b0>0,则有小波变换的离散形式

Cf(m,n)=

∫+∞-∞

-f(x)ψ(a0

m

x-nb0)dx(5)

ψm,n(x)=a0-2ψ(a0-此时,　

mm

x-nb0),　m,n∈Z。特别地,取a0=2,b0=1,有mψm,n(x)=2-2ψ(2-mx-n)Cf(m,n)=2-m(6)

2

∫f(x)ψ(2

-∞

+∞-m

x-n)dx(7)

可以证明,{ψm,n}m,n∈z构成空间L2(R)的一组标准正交基,亦即

∫

+∞-∞

ψm,n(x)ψj,k(x)dx=δmj,nk=

1,m=j,n=k时0,其他

(8)

并且有相应的小波逆变换

f(x)=

m,n∈z

∑C

f

(m,n)ψm,n(x)

可以证明,(1)式等价于

∫ψ(x)dx

-∞

+∞

=0(9)

这说明小波函数ψ(x)具有振荡性。从(3)式可看出ψa,b(x)的振荡性随

1|a|

的增大而增大,

因此,a是频率参数,b是空间参数;从(5)式看出,小波变换对不同的频率成分(相应于a0-m),

m

)是具有调节作用的,高频者(对应于小的m值)取样步长小,在空间域上的取样步长(即b0a0

低频者(对应于大的m值)取样步长大,说明小波变换在空间域和频率域同时具有良好的局部

化性质;此外,小波变换对于平移和伸缩是共变的,即对于固定的小波函数ψ(x),若Wf(a,

b)是f(x)的小波变换,则Wf(a,b-b0)就是f(x-b0)的小波变换,Wf((xλλ

a,

b)就是

1λf

)(λ)“变焦距”的特性。λ的小波变换这里>0,这说明小波变换可以通过伸缩,平移而具备1.2　二维小波变换

设Ψ(x,y)∈L2(R2),对任意的(ωx,ωy)∈R2,Ψ(x,y)的Fourier变换Ψ^(ωx,ωy)满足

CΨ=

∫

0

+∞|Ψωx,sωy)|2^(ss

+∞+∞-∞-∞

ds<+∞,　s>0,(10)

则任一函数f(x,y)∈L2(R2)的小波变换定义为

Wf(s,u,v)=〈f,Ψs,u,v〉=s

∫∫f(x,y)Ψ(s(x-

u),s(y-v))dxdy(11)(12)

Ψs,u,v(x,y)=sΨ(s(x-u),s(y-v))与一维情形相似,小波函数Ψ(x,y)满足其中

∫∫Ψ(x,y)dxdy=0

-∞-∞

+∞+∞

(13)

1期侯遵泽:小波分析及其在勘查地球物理中的应用

・73・

相应的小波重构为

f(x,y)=

1CΨ

∫∫∫W(s,u,v)Ψ

-∞-∞0

f

Ni=1

+∞+∞+∞

s,u,v

(x-u,y-v)sdsdudv(14)

i

可以定义N个小波函数Ψi(x,y),1≤i≤N,其Fourier变换Ψ^(ωx,ωy)满足

∑|

i22

Ψ^(ωx,ωy)|=|Ψ^(ωx,ωy)|

(15)

对应于每一个i,有其小波变换

Wf(s,u,v)=s

i

∫∫

-

+∞+∞-∞-∞

i

f(x,y)Ψ(s(x-u),s(y-v))dxdy(16)

相应地,其小波重构为

f(x,y)=W∫∫∫CΨ∑∞∞0

i=1

1N+∞+∞+∞-ifi

(s,u,v)Ψs,u,v(x-u,y-v)sdsdudv

(17)(18)

其中

Ψsi,u,v(x,y)=sΨi(s(x-u),s(y-v))

特别地,取i=1,2,3,s=2-j,函数族

-j-jj

2-jΨ12(x-2n,y-2m)

-j-jj2-jΨ22(x-2n,y-2m)-j-jj2-jΨ32(x-2n,y-2m)

(n,m,j)∈Z

3

(19)

构成空间L2(R2)的一个标准正交小波基。

2　小波分析在地球物理中的应用

在地球物理方法研究中,小波分析得到了广泛的应用,取得了较大的成果。

在地震时变资料滤波除噪应用中,将每个地震道记录信号进行小波变换,得到地震信号在不同频率刻度上的时间特征,然后根据采样率、地层特性以及采集仪器的频率特性等先验知识,灵活地选择滤波器响应,对地震道信号进行滤波。实际地震信号处理结果表明,通过用小波变换进行滤波后,噪声被抑制,地震记录的质量明显改善。

在全波列声波测井中,斯通利波与地层的岩性、孔隙度有较密切的关系,因此,从全波列声波测井信号中分离出斯通利波具有十分重要的意义。对声波全波列信号进行小波变换得到信号的时—频特性曲线,然后利用横波、纵波、斯通利波及伪瑞利波等在到达时间上的差异以及频谱特性的不同进行信号分离,这样处理的结果比以往仅从时间或从频谱特性上进行分离效果要好。

在地震层析成像的应用中,用小波变换获得声波向下延拓算子的稀疏表达式,从而加速这些算子在地震层析成像中的应用,提高了计算效率。利用小波变换对声波进行向下延拓,分离了脉冲响应波场的不同成分,它们分别对应于小波空间算子的四个子矩阵,证明了波场的缓慢变化部分(低频成分)占有主导地位,地震数据往往是随某些水平空间变量而呈缓慢变化,这说明用小波分析来分离地震波场可以获得非常高效的向下延拓结果。

在如何提高地震资料分辨率的应用中,将地震资料进行小波变换,分解成不同的频道和频率成分,对分频后的记录进行增益处理和控制,使各频带记录的振幅谱叠加结果逼近于一个标准子波的振幅,以达到增强有效波、压制干扰、消除地层对地震高频成分的吸收,恢复地震记录的理想状态,提高地震资料的分辨率和信噪比。还可根据地震剖面上不同的频段和时段有不同的信噪比以及相邻地震道反射波有效成分在波形和能量上具有较强的相关性的特点,应用

・74・

物　探　与　化　探22卷

小波包变换和多项式拟合理论消除噪声和提高信号的分辨率。

在CSAMT法、MT法等频率域电磁测深中,其振幅测量的结果均表示为卡尼亚电阻率,而电场水平分量对浅层的电阻率横向变化敏感,从而实测数据中常常包含静态效应。利用小

j

ρ(n)},波空间局部分析的特长,对原始卡尼亚电阻率{ρ(n)},首先计算其离散小波变换{W2

j

ρ(n)}中的极大值,每一对极大值对应一异常,尔后结合带约束条件的最优化方然后选出{W2

法求出每一异常的Lipschitz指数α的最优解,根据异常的Lipschitz指数α的正与负则可较容易地区分大构造异常与静态效应,再结合小波变换的极大模与异常体边界的对应关系,还可圈定出异常体的横向分布范围。

在识别储煤薄地层的应用中,对于探测煤层的地震资料进行小波变换,分辨薄煤层的能力明显改善,主要体现在垂直分辨率上,频率分辨从原来的40～50Hz提高到80～100Hz,薄煤层可以清晰地显示出来,能反映薄层的分叉与合并。在识别薄油气储层的应用中,通过选择零通小波变换,推断出用相位个数的增加来判别薄层存在的标准。结果表明,所能分辨的地层厚度达λ/6。对于地震信号分析,运用复值连续小波变换,可很好地反映频谱随时间的变化趋势和频谱随时间的变化细节,抗干扰能力强。这在地震资料分频道处理及利用多频道成像技术研究薄层厚度变化等方面非常重要。

重力方法能提供关于地壳和地幔中质量分布的概念,可推断地壳内部物质成分的密度不均匀性。但重力异常是由不同规模、不同形态和不同埋藏深度的不均匀地质体的重力作用叠加而形成的,因此,必须把实测的重力异常场分解为许多由不同尺度的地质体所引起的异常场成分,以便确定地壳内物质的分布及莫霍面。数值试验表明,小波分析是重力场分解的有效方法。利用小波多尺度分析方法原理,我们研究了重力异常小波多尺度分析方法,对中国布格重力异常进行了多尺度分解,得到了一系列与地质体尺度和埋深相对应的重力异常成分结果图。其中,重力异常的一阶小波变换细节以反映上地壳密度的不均匀性为主。二阶小波变换细节以反映上中地壳的结构为主,可看出地体与地体之间明显的密度差别;三阶小波变换细节大致反映了莫霍面的起伏,但仍含有地壳中物质成分的影响,用不同尺度小波变换细节的差即可较好地消除它们之间的重叠,例如用一阶与三阶小波变换细节之差便可消除莫霍面起伏对地壳上层质量重力异常的影响,对地壳上层密度不均匀性进行填图;重力异常的高阶小波变换逼近结果,反映了中国莫霍面起伏的总趋势及其与岩石圈大尺度的密度差异。在对中国布格重力异常多尺度分解的基础上,反演了中国大陆地壳及上地幔各深度层间的密度差异,首次给出了中国大陆地壳中相对密度差异的空间分布。

此外,小波分析在地震数据压缩、地震剖面的棱边描述、一维波动方程反演、超声固井质量检测、跨孔地震资料处理、三维粘弹性波动方程反演、声波瞬时参数计算等方面都有非常优越的特性并取得了良好的应用效果,限于篇幅,本文不予赘述。

由于小波分析所具有的多尺度(多分辨)分析功能和局部分析的显微特长以及目前它在地球物理中的应用探索和收获,其进一步应用研究的前景极为广阔,例如可利用小波分析方法进一步研究地球物理位场(包括重、磁、电场等)分离,地球物理异常奇性分析,检测油储薄地层,进行地质总体分解等等。

3　结论

小波分析在地球物理中具有重要的作用和应用价值,它在地震资料处理及层析成像、电磁测深、重力异常多尺度分析等应用中取得了丰硕成果,并且已经显示出其广阔的应用前景。在

1期侯遵泽:小波分析及其在勘查地球物理中的应用

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地球物理场的分离、地质总体分解、信号参数求取及奇性分析等方面行将发挥更大的作用。小波分析的广泛应用将极大地推动地球物理方法研究更有效、更深入的发展。

参　考　文　献

〔1〕　邓东皋、彭立中,小波分析,数学进展,20(3),1991。

〔2〕　李世雄、刘家琦,小波变换和反演数学基础,地质出版社,1994。

〔3〕　侯遵泽、杨文采,中国重力异常的小波变换与多尺度分析,地球物理学报,40:85～95,1997。〔4〕　侯遵泽、杨文采,小波分析应用研究,物探化探计算技术,17:1～9,1995。WAVELETANALYSISANDITSAPPLICATION

TOEXPLORATIONGEOPHYSICS

HouZunze

(InstituteofGeophysicalandGeochemicalExploration,MinistryofGeologyandMineralResources,Langfang　065000)

Abstract　　Thispaperdiscussestheprincipleofwaveletanalysisandtheresultsofitsapplicationtoexplorationgeophysics.Itispointedoutthatthistechniquehasbroadprospects.Keywords　　waveletanalysis,explorationgeophysics.

作者简介　侯遵泽,男,1956年生,山东平度人。分别于1982、1992、1997年在山东大学、北京大学、哈尔滨工业大学取得学士、硕士、博士学位。现就职于地矿部物化探研究所,高级工程师。主要从事地球物理数据处理和方法理论研究工作,已发表论文50余篇。

(上接70页)

ACOMPUTERSPECTRUM-STABILIZINGTECHNIQUE

BYREWRITINGSPECTRALDATADOCUMENT

WeiBiao

(ICTResearchCenterofChongqingUniversity,Chongqing　630044)

JiaWenyi

(ChengduGollegeofTechnology,Chengdu　610059)

Abstract　　Thepresentpaperputsforwardanewtechniqueforstabilizingspectrumbyrewritingspectraldatadoc2umentwithcomputersoftware,which,basedongamma-rayholospectralsurveyandgettingridofradioactivenu2clidesource,canremedythedefectsexistentinhardwarespectrum-stabilizingtechniqueandfurtherimprovethespectrum-stabilizingtechnique.

Keywords　　fieldgammaspectrumsurvey,holospectralsurvey,rewritespectraldocument,spectrum-stabilizingtechniquewithcomputersoftware

第一作者简介　魏彪,男,1963年4月生,浙江桐乡人,毕业于成都理工大学核地球物理专业,获博士学位,现在重庆大学ICT研究中心从事核技术及应用博士后的研究工作,已发表论文15篇以上。