线性代数的一些证明题

设n阶可逆矩阵A满足A2=A，求A的特征值。 知识点

特征值与特征向量

矩阵的行列式

解题过程

解：因为A2=A

所以A2－A=0

所以det(A2－A)=det[A(A－E)]=det(A)det(A－E)=0 A为可逆矩阵，所以det(A)≠0 所以det(A－E)=0 所以A的特征值为1.

常见错误

设存在λ，使Ax=λx成立 则 det(Ax)=det(A)det(x)

=det(x)

=ndet(x) (错误在于向量取行列式)

所以 有ndet(A)成立.

又因为A2=A

det(A)2=det(A), 即det(A)=0或det(A)=1.

由于A为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A)=1

n1

当n为奇数时，λ=1. 当n为偶数时，λ=1.

相关例题

设A为n阶矩阵,若A2=E，试证A的特征值是1或-1. 2题目

设A是奇数阶正交矩阵，且det(A)=1，证明det(E-A)=0. 知识点

①正交矩阵的定义：ATA=E

②单位矩阵的性质：EA=AE=A ET=E

③矩阵运算规律

④转置矩阵的性质：(A+B)T=AT+BT

⑤det(A)=det(AT)

⑥det(AB)=det(A)det(B) ⑦det(-A)=(-1)ndet(A)

解题过程

∵A是正交矩阵

∴E－A= ATA－A= ATA－EA=( AT－E)A ∵det(A)=1

∴det(E－A)=det((AT－E)A)=det(AT－E)det(A)=det(AT－E) ∵det(E－A)=det(E－A)T=det(E－AT)

∴det(AT－E)= det(E－AT)= det(－(AT－E))= (－1)n det(AT－E) ∵n为奇数 ∴(－1)n= －1 ∴det(AT－E)=0 ∴det(E－A)=0

常见错误

①误以为det(E－A)= det(E)－ det(A)，于是det(E－A)=1－det(A)=1－1=0

②∵det(A)=1

∴a1·a2·…·an=1(其中a1,a2,…,an为A作初等变换变为上三角形后对角线上的元素).

∴det(E－A)=（1-a1）（1-a2）…（1-an）.

∵det(E-A)=det((AT-E)A)=det(AT-E)det(A)=det(AT-E) 且det(AT-E)= （a1-1）（a2-1）…（an-1）.

∴（1-a1）（1-a2）…（1-an）=（a1-1）（a2-1）…（an-1） = (-1)n（1-a1）（1-a2）…（1-an） ∵n为奇数 ∴(－1)n= －1

∴（1－a1）（1－a2）…（1－an）=0

∴det(E－A)=0

以上证法先把A变为上三角，再用E减去变化后的A，再求行列式，这是错误的。

相关例题

证明：若A为正交矩阵，则det(A)=±1. 3 题目

试就a,b的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。

x1x2x312x1(a2)x2(b2)x33 （1） 3ax(a2b)x323

知识点 线性方程组解的结构

解题过程

1 1 11 1 11 1 r2r 21 0  2 a2 b2 3a  b 1解：B= 3 a2b 3a2b 30 0 3a r33r2

1 1 1 1  0 a b 1 0 ab 00 (1)当a—b0,且a0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于3，而且等于未知数的个数，故方程组（1）有唯一解。其解为： x30, x2, x1 1;

(2)当a-b=0，且a0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2，秩小于未知数的个数，此时故方程组（1）有无穷多解。

其解可由ax2bx31，解得x2x3,，代入第一个方程

1bx1x2x31得到x111x3；

aa1a1a1abaa1ab1xx131aaa1b1一般解为： xxx323aaax3x3(任意）（3）当a=0，b 为任意数，

1 1 11  0 a b 1此时增广矩阵可化为：0 ab 00 1 1 11 0  0 b 10 0 10 可见，rank(B)=2, 但增广矩阵的秩为3，所以方程组（1）无解， 常见错误

在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。

如，当ab时，就说原方程有唯一解，没有指出a0，当a=b时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b0，等等。

相关例题

确定a,b的值，使下列方程组

x2 x31x1  2x1(a2)x2(b2)x33

 3ax2(a2b)x33（1） 有唯一解； （2） 无解；

有无穷多解，并求出通解。 4 题目

若1,2,3线性无关，4k11k22k33，其中k1,k2,k3全不为0. 证明2,3,4线性无关. 知识点 向量线性相关

解题过程

证法一：（从定义出发）

设存在常数k1,k2,k3，使得k12k23k340 已知4k11k22k33，代入上式，得

k12k23k3(k11k22k33)0

化为： k1k31(k1k2k3)2(k2k3k3)30 由题意知：1,2,3线性无关

kk＝013 k1k2k3＝0

k2k3k3＝0Q k1,k2,k3全不为0

 解得k1＝k2＝k3＝0

由定义，知2,3,4线性无关 证毕

证法二：（由初等列变换，秩相等）

由4k11k22k33(2,3,4)(2,3,k11k22k33)

(2,3,k11)

c3/k1(2,3,1)

c3k2c2c3k3c2由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由1,2,3线性无关，知

(2,3,1)

的秩为3，所以(2,3,4)秩也为3，推出2,3,4线性无关

证法三：（反证法） 假设(2,3,4)线性相关.

则存在不全为0的常数k1,k2,k3，使得k12k23k340

已知4k11k22k33，代入上式，得

k12k23k3(k11k22k33)0

化为： k1k31(k1k2k3)2(k2k3k3)30

Q k1,k2,k3全不为0

 k1k3,k1k2k3,k2k3k3不全为0

（否则，由 k1k3＝k1k2k3＝k2k3k3＝0得k1＝k2＝k3＝0） 即 1,2,3线性相关, 与题目已知条件矛盾. 所以假设不成立, 即 (2,3,4)线性无关. 5

题目

设1,2,L,nr1是AXB的解且线性无关，R(A)r，试证AXB的任一解可表示为

Xk11k22Lknr1nr1，

其中k1k2Lknr11

知识点 基础解系 方程组解的结构

解题过程

证明 Q1,2,L,nr1是AXB的解

1nr1,2nr1,L,nrnr1是AX0的解

 由(1,2,L,nr,nr1)(1nr1,2nr1,L,nrnr1Mnr1)

c1cnr1c2cnr1Lcnrcnr1因为 1,2,L,nr1线性无关，所以

1nr1,2nr1,L,nrnr1,nr1线性无关，

1nr1,2nr1,L,nrnr1也线性无关，且

R(1nr1,2nr1,L,nrnr1)nr

所以 1nr1,2nr1,L,nrnr1是AX0的基础解系

因为AX0的任一解X可以表示为：

Xk1(1nr1)k2(2nr1)Lknr(nrnr1)

AXB的任一解X可以表示为：

XX ①

其中是AXB的一个特解

扩展①式，取nr1，得

Xk1(1nr1)k2(2nr1)Lknr(nrnr1)nr1

化简得

Xk11k22Lknrnr(1k1k2Lknr)nr1 令knr11k1k2Lknr，k1k1,k2k2,L,knrknr

则AXB的解可以表示为

Xk11k22Lknr1nr1

且k1k2Lknr1k1k2Lknr(1k1k2Lknr)1 命题得证

另外取i(1inr)时

Xk1(1nr1)k2(2nr1)Lknr(nrnr1)i

化简得

Xk11k22Lki1i1(1ki)iki1i1Lknrnr

(k1k2Lknr)nr1 此

时

令

k1k1,k2k2,L,ki1ki1,ki1ki,ki1ki1,L,knrknr

knr1k1k2Lknr 则AXB的解可以表示为

Xk11k22Lknr1nr1

且k1k2Lknr1

k1k2Lki1(1ki)ki1Lknr(k1k2Lknr)1

此时命题也成立

常见错误

不会应用定理. 不知两个非齐次组的解的差是齐次线性方程组的解. 6 题目

x1、x2分别属于1、2的特 设1、2是矩阵A的两个不同的特征值，

征向量，证明x1x2不是矩阵A的特征向量. 知识点

特征值 特征向量 解题过程

用反证法.

设 x1x2是A的对应的特征向量，则有

A(x1x2)(x1x2)x1x2 (1)

已知 Ax11x1，Ax22x2

所以 A(x1x2)Ax1Ax21x12x2 (2) 由(1)(2)知 x1x21x12x2

(1)x1(2)x20 (3)

因为x1、x2线性无关，所以120，12与已知矛盾.

常见错误

由(1)(2)直接推出12，只从形式上来看有这个结论，没有利用不同特征值所对应的特征向量是线性无关的性质， 因为有了这个性质才能推出 (3)的系数为0. 这在证明中不够严密.